Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương: Biến đổi z - Đặng Quang Hiếu

ET 2060
Biến đổi z
TS. Đặng Quang Hiếu
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Điện tử - Viễn thông
2011-2012
Giới thiệu về biến đổi z
Xét hệ thống LTI với đầu vào x [n] = zn
y [n] = H(z)zn
trong đó,
H(z) =
∞∑
n=−∞
h[n]z−n
◮ Do Ragazzini và Zadeh giới thiệu vào năm 1952.
◮ Tương đương với biến đổi Laplace trong hệ thống liên tục
◮ Chập trên miền n ≡ tích trên miền z
◮ Phân tích, đánh giá hệ thống LTI
Định nghĩa biến đổi z
n z
z
z−1
Biến đổi z:
x [n]
z←−→ X (z)
trong đó z là biến số phức z = rejω, và
X (z) =
∞∑
x=−∞
x [n]z−n
Ví dụ: Tìm biến đổi z của
(a) x [n] = δ[n]
(b) x [n] = u[n]
Liên hệ với biến đổi Fourier
◮ Biến đổi Fourier là biến đổi z xét trên vòng tròn đơn vị
z = ejω.
X (ejω) = X (z)|z=e jω
◮ Biến đổi z là biến đổi Fourier của x [n]r−n
X (z) =
∞∑
n=−∞
x [n](rejω)−n = FT{x [n]r−n}
◮ Miền hội tụ (ROC) là những giá trị của z trên mặt phẳng
phức sao cho X (z) <∞ (tức là tồn tại biến đổi Fourier của
x [n]r−n). Điều kiện hội tụ:
∞∑
n=−∞
|x [n]r−n|dt <∞
Ví dụ
Tìm biến đổi z và vẽ miền hội tụ cho các trường hợp sau:
(a) x [n] = 2δ[n − 2] + δ[n]− 3δ[n + 1]
(b) x [n] = anu[n]
(c) x [n] = −anu[−n− 1]
(d) x [n] = 2nu[n]− 3nu[−n − 1]
(e) x [n] = cos(ω0n)u[n]
X (z) hữu tỷ. Các điểm cực và không
X (z) =
N(z)
D(z)
=
b0 + b1z + · · ·+ bMzM
a0 + a1z + · · ·+ aNzN
◮ Các điểm không (zeros) z0r : X (z0r ) = 0 → nghiệm của N(z)
◮ Các điểm cực (poles) zpk : X (zpk) =∞ → nghiệm của D(z)
Ví dụ: Cho dãy x [n] = anrectN [n].
(a) Tìm biến đổi z và miền hội tụ.
(b) Tìm các điểm cực, điểm không và vẽ trên mặt phẳng phức.
Các tính chất của ROC
(i) Nếu X (z) hội tụ khi z = z0 thì cũng hội tụ ∀z : |z | = |z0|. Do
vậy ROC có dạng vành khăn: r1 < |z | < r2.
(ii) ROC không chứa các điểm cực
(iii) Nếu x [n] có chiều dài hữu hạn thì ROC sẽ là cả mặt phẳng
phức (có thể bỏ đi 0 hoặc ∞).
(iv) Nếu x [n] là dãy một phía (trái hoặc phải) thì ROC?
(v) Nếu x [n] là dãy hai phía thì ROC?
(vi) Nếu X (z) hữu tỷ với các điểm cực zpk?
Biến đổi z ngược
Áp dụng biến đổi Fourier ngược:
x [n]r−n =
1
2π
∫
2π
X (rejω)ejωndω
Ta có:
x [n] =
1
2πj
∮
C
X (z)zn−1dz
trong đó, C là đường cong khép kín nằm trong ROC.
Các tính chất
◮ Tuyến tính
◮ Dịch thời gian: x [n − n0] z←−→ z−n0X (z)
◮ Co dãn trên miền z : anx [n]
z←−→ X (z/a)
◮ Đảo trục thời gian: x [−n] z←−→ X (1/z)
◮ Liên hợp phức: x∗[n] z←−→ X ∗(z∗)
◮ Chập: x1[n] ∗ x2[n] z←−→ X1(z)X2(z)
◮ Đạo hàm trên miền z : nx [n]
z←−→ −z dX (z)dz
◮ Định lý giá trị đầu: Nếu tín hiệu nhân quả (x [n] = 0, ∀n < 0)
thì
x [0] = lim
z→∞X (z)
◮ Tương quan, tích?
Biến đổi z ngược: Khai triển thành chuỗi lũy thừa
Cho trước X (z) và ROC, khai triển X (z) thành chuỗi lũy thừa có
dạng
X (z) =
∞∑
n=−∞
cnz
−n
hội tụ trong ROC đã cho. Khi đó, x [n] = cn, ∀n.
Nếu X (z) là hàm hữu tỷ, khai triển thường được thực hiện bằng
phép chia đa thức (long-division).
Ví dụ: Tìm biến đổi z ngược của
X (z) =
1+ 2z−1
1− 2z−1 + z−2
khi
(a) x [n] là dãy nhân quả
(b) x [n] là dãy phản nhân quả
Khai triển thành các phân thức tối giản (1)
X (z) =
N(z)
D(z)
=
b0 + b1z + · · ·+ bMzM
a0 + a1z + · · ·+ aNzN
Xét M < N, khai triển X (z) về dạng
X (z) =
N∑
k=1
Ak
z − zpk
trong đó zpk là các cực đơn của X (z) và
Ak = (z − zpk)X (z)
∣∣
z=zpk
Nếu M ≥ N thì chia đa thức: X (z) = G (z) + N′(z)D(z) với M ′ < N.
Ví dụ: Cho biến đổi z
X (z) =
1
1− 1.5z−1 + 0.5z−2
Tìm x[n]?
Khai triển thành các phân thức tối giản (2)
Trường hợp điểm cực bội zpk bậc ℓ, khai triển của X (z) phải chứa
các phân thức tối giản sau:
A1k
z − zpk +
A2k
(z − zpk)2 + · · ·+
Aℓk
(z − zpk)ℓ
◮ Phương pháp tính Aik?
◮ Biến đổi ngược của 1(z−zpk)m ?
Ví dụ: Tìm biến đổi z ngược của
X (z) =
z
(z − 12 )2(z − 1)
Trường hợp nghiệm phức? Tự đọc!
Hàm truyền đạt H(z) của hệ thống LTI rời rạc
x [n] y [n]h[n]
y [n] = x [n] ∗ h[n]
Biến đổi z cả hai vế, áp dụng tính chất chập, ta có hàm truyền đạt
của hệ thống:
H(z) =
Y (z)
X (z)
X (z) Y (z)H(z)
Hàm truyền đạt (2)
Hệ thống LTI được biểu diễn bởi phương trình sai phân tuyến tính
hệ số hằng
y [n] = −
N∑
k=1
aky [n − k] +
M∑
r=0
brx [n − r ]
Biến đổi z cả hai vế, rút gọn
H(z) =
∑M
r=0 brz
−r
1+
∑N
k=1 akz
−k
→ Hệ thống cực - không (pole-zero system).
◮ Nếu ak = 0, 1 ≤ k ≤ N → hệ thống FIR gồm toàn điểm
không và một điểm cực bội bậc M tầm thường tại gốc.
◮ Nếu br = 0, 1 ≤ r ≤ M → hệ thống IIR gồm toàn điểm cực
và một điểm không bội bậc N tầm thường tại gốc.
Hệ thống LTI nhân quả và ổn định
◮ Nhân quả: ROC{H(z)} nằm ngoài vòng tròn và có chứa ∞.
◮ Ổn định: ROC{H(z)} chứa vòng tròn đơn vị (z = ejω).
◮ Nhân quả, ổn định, H(z) hữu tỷ: Tất cả các điểm cực của
H(z) nằm bên trong vòng tròn đơn vị.
◮ Tiêu chuẩn ổn định Jury, Schur-Cohn: Kiểm tra xem liệu tất
cả các nghiệm của một đa thức có nằm trong vòng tròn đơn
vị không. Thường được thực hiện trên máy tính.
Hàm truyền đạt và sơ đồ khối của hệ thống
Hãy viết phương trình sai phân của hệ thống LTI được biểu diễn
bởi sơ đồ dưới đây
X (z) Y (z)b
b
z−1
z−1
−1
−2
2 3
b
z−1
0.5
−1
Biến đổi z một phía
X+(z) = ZT+{x [n]} =
∞∑
n=0
x [n]z−n
Các tính chất tương tự như biến đổi z hai phía, ngoại trừ:
◮ Trễ
ZT+{x [n − k]} = z−k [X+(z) +
k∑
n=1
x [−n]zn], k > 0
ZT+{x [n + k]} = z−k [X+(z)−
k−1∑
n=0
x [n]z−n], k > 0
◮ Định lý giá trị cuối
lim
n→∞ x [n] = limz→1
(z − 1)X+(z)
Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng
Ví dụ: Giải phương trình sai phân (tìm y [n], n ≥ 0):
y [n]− 3y [n − 1] + 2y [n − 2] = x [n]
với đầu vào x [n] = 3n−2 và các điều kiện đầu:
y [−2] = −4
9
, y [−1] = −1
3
Bài tập Matlab
1. Sử dụng hàm zplane để vẽ cực và không của một hệ thống
LTI rời rạc.
2. Dùng hàm residuez để thực hiện biến đổi z ngược trong
trường hợp X (z) là một hàm hữu tỷ.
3. Viết chương trình kiểm tra tính ổn định của hệ thống theo
tiêu chuẩn Jury, Schur-Cohn