Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Quy luật phân phối xác suất thường gặp

-Q plot (biểu đồ so sánh các phân
vị)
39
Ví dụ 17
• Tập hợp 19 số dưới đây được phát sinh ngẫu
nhiên từ phân phối U(0,1) bằng phần mềm
Minitabs. Hãy xem xét xem các số này có phù hợp
với mô hình xác suất cho bởi f(x)=1 với 0<x<1 hay
không?
40
Phân phối lũy thừa
Định nghĩa. Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối
lũy thừa E(𝜆) nếu hàm mật độ có dạng:
Trong đó: 0≤ 𝑥, 𝜆 > 0
41
( )   xf x e
Phân phối lũy thừa
• Các tham số đặc trưng
• Thời gian giữa hai lần xuất hiện trong phân phối
Poisson P(𝜆 ) có phân phối lũy thừa E(1/ 𝜆)
42
   
 
2
1 1
)
ln 2
) 0
) 1 
 


 
 
  x
i E X V X
ii MedX ModX
iii F x e
2/15/2019
8
Ví dụ 18
• Các cuộc gọi đến một tổng đài điện thoại tuân theo
một quy trình Poisson gần đúng với tốc độ trung bình
30 cuộc gọi mỗi giờ. Xác suất để tổng đài viên phải chờ
hơn 3 phút để có cuộc gọi tiếp theo là bao nhiêu?
43
Ví dụ 19
• Quãng đường (km) một chiếc xe hơi có thể chạy
trước khi phải thay pin ắc quy có phân phối lũy
thừa với trung bình là 10.000 km. Chủ xe muốn đi
du lịch bụi với quãng đường khoảng 5000km. Xác
suất để anh ta có thể hoàn thành chuyến đi mà
không cần phải thay pin ắc quy là bao nhiêu?
44
Phân phối chuẩn N(, 2)
• Định nghĩa. Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân
phối chuẩn N(, 2) nếu hàm mật độ có dạng:
• Trong đó:
• Ký hiệu: X ~ N(, 2)
45
, , 0           x
 
2
2
2
1
)
2
(


 



x
f x e
Tính chất
46
 
   
2
2
~ ,
)
)
Neáu thì: 
 
 
 
 
X N
i E X V X
ii ModX MedX



  
Đối xứng
Dạng hình chuông “bell sharped”
 lim 0


x
f x
Chuẩn hóa phân phối chuẩn
• Định lý. Nếu 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎2 thì biến ngẫu nhiên
chuẩn hóa của nó, 𝑍 =
𝑋−𝜇
𝜎
, cũng có phân phối
chuẩn. Cụ thể là:
• Phân phối N(0,1) được gọi là phân phối chuẩn
tắc.
• Standard Normal Distribution
47
   2~ , ~ 0,1 .Neáu thì:
X
X N Z N

 



Xác suất của phân phối chuẩn
Ta có thể tìm xác suất dạng P(a<X<b) của biến ngẫu
nhiên 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎2 như sau:
• 1) Xác định miền tính xác suất theo X.
• 2) Biến đổi X, a, b theo công thức:
• 3) Sử dụng bảng Phụ lục xác suất N(0,1) để tìm xác
suất mong muốn.
48




X
Z
 
b a
P a X b
 
 
 
    
      
   
2/15/2019
9
Bảng phân phối chuẩn tắc
• Đồ thị của N(0,1)
• Bảng phụ lục xác suất N(0,1) thể hiện giá trị xác
suất dạng:
49
   0   P Z z z
z
 
2 /2
0
1
2
z
xz e dx

 
Tính chất của hàm 𝜑(x)
50
   
   
 
)
) 0,5 0,5
) 0,5 5
i z z
ii
iii z khi z
 
 

  
     
 
z
 
2 /2
0
1
2
z
xz e dx

 
Giá trị tới hạn Zα
• Giá trị tới hạn chuẩn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là số
thực ký hiệu Zα sao cho với Z~N(0;1) thì:
• Chú ý:
51
 P Z Z  
0 1
0,5 10
Z Z
Z Z Z 
   
  
Z
Quy tắc k-sigma
• Trong thực nghiệm, nếu một tập số liệu có phân phối
chuẩn thì:
• Khoảng 68% dữ liệu nằm trong một độ lệch chuẩn so với
trung bình
• Khoảng 95% dữ liệu nằm trong hai độ lệch chuẩn so với
trung bình
• khoảng 99,7% dữ liệu nằm trong ba độ lệch chuẩn so với
trung bình
52
     
   
   
2
) 0,6826 ) 2 0,9544
) 3 0,9974 ) 4 1

  
  
   
    
    

     
P X k P Z k k
a P X b P X
c P X d P X
Nhận biết phân phối chuẩn
• Q-Q plot
• 
quantile-plots/
• Ví dụ. Liệu các giá trị sau đây có phải được lấy ra
từ một phân phối chuẩn?
• 7.19; 6.31; 5.89; 4.5; 3.77; 4.25; 5.19; 5.79; 6.79.
53
Ví dụ 20
1) Cho X là bnn có phân phối chuẩn với E(X)=10 và
P(10<X<20)=0,3. Tính xác suất P(0<X<15)?
2) Cho X~N(3,1) và Y~N(4,2) là hai biến ngẫu nhiên
độc lập. Tìm xác suất P(X>2Y).
54
2/15/2019
10
Ví dụ 21
Giả sử thời gian khách phải chờ để được phục vụ tại
một cửa hàng là bnn X, biết X~N(4,5; 1,21)
a) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 đến 5 phút?
b) Tìm t biết xác suất khách phải chờ không quá t là
không quá 5%?
55
Ví dụ 22
• Tuổi thọ một loại máy lạnh A là bnn X có phân
phối N(10; 6,25). Khi bán một máy thì lời 1,4 triệu
đồng nhưng nếu máy lạnh phải bảo hành thì lỗ 1,8
triệu đồng. Vậy để có tiền lãi trung bình khi bán
loại máy lạnh này là 0,9 triệu đồng thì cần qui định
thời gian bảo hành là bao lâu?
56
Phân phối Khi bình phương
• Bnn X gọi là có phân phối Khi bình phương với n
bậc tự do nếu hàm mật độ có dạng:
• Ký hiệu:
• Là trường hợp riêng của pp Gamma.
57
 
1
2 2
2
1
, 0
2
2
0 , 0
n x
n
x e x
n
f x
x


  
   
 
 
 2~X n
Khi bình phương và Chuẩn
• Định lý. Nếu 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎2 thì:
• Định lý. Cho n biến ngẫu nhiên độc lập cùng có
phân phối chuẩn tắc.
• Khi đó:
58
 2 2
1
~
n
i
i
X n


 
2
2 2~ 1



 
  
 
X
Z
 ~ 0,1iX N
Phân phối Khi bình phương
• Nếu X~χ2(n) thì
• Đồ thị dạng:
59
   ; 2 E X n V X n
Bậc tự do n và dạng đồ thị
60
   2~ ,2Neáu thì 
F
n
X n X N n n
2/15/2019
11
Giá trị tới hạn 𝜒2 (n; α)
• Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là số thực ký
hiệu 𝜒2(n;𝛼) sao cho với Z~ 𝜒2(n) thì:
61
  2 ;nP Z   
 2 ;n 
Bảng giá trị tới hạn Khi bình phương
62
Ví dụ 23
• Cho 𝑍~𝜒2 20
• Tìm các xác suất sau:
63
 
 
 
2) 20;0,95
) 8,2604 ?
) 10,8508 31,4104 ?

 
  
a
b P Z
c P Z
Phân phối Student
• Định nghĩa. Nếu 𝑋~𝑁 0,1 và 𝑌~𝜒2 𝑛 là hai
biến ngẫu nhiên độc lập thì biến ngẫu nhiên:
có phân phối Student hay phân phối t với n bậc tự
do.
• Ký hiệu: T~𝑡 𝑛
64
 
X X n
T
Y Y
n;
Phân phối Student t(n)
• Định nghĩa. Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối
Student với n bậc tự do nếu hàm mật độ có dạng:
• Kí hiệu: X ~ t(n)
65
 
 1
2 2
,
1
1 2
1
2

 
   
 
      
    
 
n
x
n
x
f x
n nn
Tính chất
66
• Nếu X ~ t(n) thì:
   
   
 
) 0 1 ;
) 2 .
2
) 0,1

 
 

F
n
a E T n
n
b V T n
n
c T N
2/15/2019
12
Giá trị tới hạn 𝑡(𝑛, 𝛼)
• Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là số thực ký
hiệu 𝑡(𝑛, 𝛼) sao cho với Z~ 𝑡(n) thì:
67
  ;nZ tP   
   
     
 
;0 ;1
;0,5 ;1 ;
;
0
n n
n n n
n
n
t t
t t t
t Z
 



   
  

Bảng giá trị tới hạn Student
68
Ví dụ 24
• Cho 𝑍~𝑡 15 . Tìm các giá trị tới hạn và xác suất
sau:
69
   
 
 
   
15;0,025
15;0,975
) 0,025 ?
) 2,602 ?
) 2,0343 2,9467 ?
) 0,975 ?
a P Z a hay t
b P Z
c P Z
d P Z b hay t
  
 
  
  
Phân phối Fisher - Snedecor
• Định nghĩa. Nếu 𝑋~𝜒2 𝑛 ; 𝑌~𝜒2 𝑚 là hai biến
ngẫu nhiên độc lập nhau thì biến ngẫu nhiên:
• có phân phối Fisher – Snedecor với (n,m) bậc tự do.
• Ký hiệu:
70
/
/

X n
F
Y m
 ~ ;F F n m
Đồ thị hàm mật độ
71
   , 1,0Fm
n
F n m N



Tính chất
• Cho X~F 𝑛,𝑚 thì:
72
   
 
 
   
   
2
2
, 2
2
2 2
2 4
, 1,0


 

 

 
F
m
n
m
E X m
m
m n m
V X
n m m
F n m N
   , 1,0Fm
n
F n m N



𝑛,𝑚
2/15/2019
13
Giá trị tới hạn phân phối Fisher
• Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là số thực ký
hiệu F(n,m, α) hay 𝑓(n,m, α) sao cho với F~
𝐹(n,m) thì:
• Tính chất:
73
  , ,P F f n m   
 , ,f n m 
( )
1
, ,1
, ,( )
f n m
f n m


 
Bảng giá trị tới hạn Fisher
74
Ví dụ 25
• Cho F~F(20; 30). Tìm a, b, c sao cho:
75
 
 
 
) 0,05
) 0,01
) 0,95
a P F a
b P F b
a P F c
 
 
 
3.3 Định lý giới hạn trung tâm
• Central Limit Theorem
• Giả sử X1, X2, ... , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và
có cùng phân phối xác suất (bất kỳ dạng nào) với kỳ
vọng μ và phương sai hữu hạn σ2. Khi n đủ lớn thì:
a) Trung bình cộng của Xi, ký hiệu 𝑋, có phân phối xấp xỉ
với phân phối chuẩn.
b) Với kỳ vọng là 𝐸 𝑋 = 𝜇
c) Và phương sai là V 𝑋 =
𝜎2
𝑛
76
2
1 ... ,



  
   
 
n
n
X X
X N
n n
Ví dụ 28
• Gọi Xi biểu thị thời gian chờ đợi (tính bằng phút)
của khách hàng thứ i. Một trợ lý quản lý tuyên bố
rằng, thời gian chờ đợi trung bình của toàn bộ
khách hàng, là 2 phút. Người quản lý không tin
vào tuyên bố của trợ lý, vì vậy anh ta quan sát một
mẫu ngẫu nhiên gồm 36 khách hàng. Thời gian
chờ trung bình cho 36 khách hàng được quan sát
là 3,2 phút. Người quản lý có nên bác bỏ tuyên bố
của trợ lý (... và sa thải anh ta) không?
77
Xấp xỉ xác suất
78
 ~ ,X B n p
 ~
.
X P
n p

 
 ~ , ,AX H N N n
n<<N
 Y ~
.
P
n q

 
n rất lớn
p rất nhỏ n rất lớn
p rất lớn
2/15/2019
14
Xấp xỉ pp chuẩn
79
 2~ ,X N   ~ ,X B n p
n rất lớn
 
 2
E X np
V X npq


 
 
0,1<p<0,9
5; 5
30
0,1 0,9
np nq
n
p
 


  
20npq 
Công thức xấp xỉ
• Cho 𝑋~𝐵(𝑛; 𝑝) ≈ 𝑁(𝜇; 𝜎2)
80
   
 
2 /2
2 1
1 2
1 1
) ;
2
0,5 0,5
)
xk npi P X k f f x e
npq npq
k np k np
ii P k X k
npq npq

 

 
    
 
      
         
   
Xấp xỉ Poisson bằng N(0,1)
• Cho bnn X có phân phối Poisson
• Ta chứng minh được:
• Trong thực hành, ta xấp xỉ được khi 𝜆 > 20. Nghĩa là:
81
 ~ 0,1
X
N khi




 
     ~ ? ?X P E X V X   
   0,1 ~ , 20
X
N khi X P

 


 
Ví dụ 30
• Khảo sát một lô thuốc viên, trọng lượng trung bình của
một viên thuốc là 252,6 mg và có độ lệch chuẩn 4,2
mg. Giả sử trọng lượng pp theo quy luật chuẩn.
• A. Tính tỷ lệ viên thuốc có trọng lượng lớn hơn 260
mg.
• B. Tính trọng lượng x0 sao cho 30% viên thuốc nhẹ
hơn x0.
• C. Viên thuốc đạt tiêu chuẩn phải có trọng lượng xung
quanh trung bình với độ lệch tối đa 5%. Tính tỷ lệ viên
thuốc đúng tiêu chuẩn của lô thuốc được khảo sát.
82
Bài tập chương 3
• 3.1; 3.2; 3.3; 3.6; 3.7; 3.8; 3.11; 3.12; 3.16
• 3.17; 3.22; 3.23; 3.29; 3.32; 3.37; 3.38
• 3.39; 3.40; 3.42
• Tất cả 19 bài
83