Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Các quy luật phân phối xác suất - Phạm Trí Cao

m, trong đó có 600 sản phẩm
loại I. chọn NN 10 sản phẩm từ lô hàng. Tính xác suất trong 10
sp lấy ra có 6 sp loại I?
Giải VD1:
Gọi X = số sp loại I trong 10 sp lấy ra.
XH(1000, 600, 10)
Ta thấy n=10 << N=1000 nên ta xấp xỉ: XB(n,p)
Với p= 600/1000 =0,6
vậy XB(10; 0,6)
P(X=6)= C(6,10)(0,6)6(0,4)4 34
VD2: sản phẩm do 1 máy tự động sản xuất ra. Tỷ lệ sản phẩm
hỏng do máy sản xuất là 1%. Khảo sát 100 sản phẩm do máy
sản xuất. Tính xác suất có 30 sp hỏng?
Giải VD2:
Gọi X= số sp hỏng trong 100 sp do máy sản xuất.
XB(100; 0,01)
n=100 lớn, p=0,01 nhỏ gần 0 nên ta xấp xỉ XP()
với =np=100(0,01)=1
Vậy XP(1)
P(X=30)= exp(-1) 130/30!
35
VD3: Sản phẩm do một máy tự động sản xuất ra.
Tỷ lệ phế phẩm do máy sản xuất ra là 0,4667. lấy
100 sản phẩm do máy sản xuất ra để kiểm tra.
 1)Tính xác suất trong 100 sp này có 50 phế phẩm?
 2)Tính xác suất có ít nhất 60 phế phẩm?
36
Giải VD3:
Gọi X = số phế phẩm trong 100 sản phẩm kiểm tra
X B(100; 0,4667)
Ta thấy n=100 lớn và p không quá gần 0 và 1 nên ta xấp xỉ
XN(np, npq)
Vậy XN(46,67 ; 24,8891)
1)














)4667.01(*4667.0*100
4667.0*10050
)4667.01(*4667.0*100
1)50( XP
= 0.06393187.0*2004.0)67.0(
8891.24
1
 (tra bảng E)
2) )67.2()69.10(
24.8891
46.6760
24.8891
46.67100)10060(  
















XP
= 0.5–0.4962 =0.0038 (tra bảng F)
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
10
37
VI)QUY LUẬT PP CHI BÌNH PHƯƠNG
Giả sử Xi (i =1, .., n) là các ĐLNN độc lập tuân theo quy luật
phân phối chuẩn tắc N(0,1). Đặt:

2 = 

n
i i
X
1
2
thì 2 tuân theo quy luật Chi bình phương với n bậc tự do, ký
hiệu 2 ~ 2(n).
Hàm mật độ xác suất của ĐLNN 2 xác định bởi:










0,0
0,2.
12.)(
x
x
x
e
n
xCxf
với : 2/2).2/(
1
nn
C

 ; 


0
1)( dxxex ,  > 0.
Tính chất : 2 ~ 2(n)
E(2)= n, var(2)=2n.
Lưu ý : Ta không xét bài tập cho quy luật Chi bình phương.
38
VII)PHÂN PHỐI T-STUDENT
Giả sử hai ĐLNN độc lập X có phân phối chuẩn tắc N(0,1) và Y
có phân phối theo quy luật Chi bình phương với n bậc tự do

2(n). Khi đó :
nY
Xt
/

có phân phối t-student với n bậc tự do (Degrees of freedom), ký
hiệu t ~ t(n). Hàm mật độ xác suất của t-student xác định bởi
biểu thức:
2
1
)
2
1.()(


n
n
xCxf Với )2/(.
)2
1(
nn
n
C





Tính chất: t ~ t(n)
-E(t)= 0, var(t)= 2n
n
-Đồ thị phân phối xác suất của t đối xứng qua trục tung. Khi
bậc tự do n tăng lên thì phân phối t-student xấp xỉ với
phân phối chuẩn tắc N(0,1).
Lưu ý : Ta không xét bài tập cho quy luật Student.
39
VIII)Phân phối Fisher (F)
X1, X2 là các ĐLNN liên tục độc lập có phân phối Chi bình
phương, trong đó X12(n1), X22(n2).
Đặt
2/2
1/1
nX
nX
F  F(n1,n2)
Ta nói F có phân phối Fisher với hai bậc tự do, trong đó bậc tự
do thứ nhất là n1, bậc tự do thứ hai là n2. Hàm mật độ của phân
phối F xác định bằng biểu thức:
40



















0,0
0,
2
21
)12(
2
21
.
)(
x
xnn
xnn
nn
xC
xf
Với
)2
2().2
1(
2/22.
2/11).2
21(
nn
nnnn
nn
C




Tính chất: F  F(n1,n2)
22
2)(

 n
n
FE ,
)42(
2)22(1
)2221(
2
22)var(



nnn
nnn
F
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
11
41
CÁC ĐỊNH LÝ
X1 , X2 là 2 đại lượng ngẫu nhiên độc lập
1) X1  B(n1, p) , X2  B(n2, p)
 X1+X2  B(n1+n2, p)
2) X1  P(1) , X2  P(2)
 X1+X2  P(1+2)
3) X1  N(1, 21 ) , X2  N(2,
2
2 )
 X1+X2  N(1+2, 22
2
1   )
4) X1  2(n1) , X2  2(n2)
 X1+X2  2 (n1+n2)
5) X1  N(0,1) , X2  N(0,1)
 22
2
1 XX   
2(2)
42
IX)CÁC MỨC PHÂN VỊ CỦA QLPP
Phân vị mức , /2 của phân phối chuẩn tắc
Phân vị mức , /2 của phân phối Student
Phân vị mức , /2 của phân phối Chi bình phương
43
PHÂN VỊ MỨC /2 CỦA PP CHUẨN TẮC
44
PHÂN VỊ MỨC  CỦA PP CHUẨN TẮC
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
12
45
PHÂN VỊ MỨC /2 CỦA PP STUDENT
46
PHÂN VỊ MỨC  CỦA PP STUDENT
47
PHÂN VỊ MỨC /2 CỦA PP CHI BÌNH
PHƯƠNG
48
PHÂN VỊ MỨC  CỦA PP CHI BÌNH
PHƯƠNG
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
13
49
X)BÀI TẬP
Trong thực hành, người ta ít khi xét các quy luật pp
một cách « lẻ loi một mình », người ta thường « hợp
hôn » 2 hoặc 3 quy luật với nhau trong 1 bài toán.
Điều này đòi hỏi người làm phải biết :
 phân biệt các quy luật pp
 khi nào thì áp dụng các quy luật pp nào được
 và áp dụng như thế nào
Cuộc « hợp hôn » này có hoàn hảo hay không là do ta
có « khéo tay hay làm » không!
50
Bài 11: Một sọt cam có 1000 trái trong đó có 400
trái hư. Lấy ngẫu nhiên ra 3 trái.
Tính xác suất lấy được 3 trái hư
Tính xác suất lấy được 1 trái hư
51
Giải bài 11:
Gọi X là số trái hư trong 3 trái lấy ra.
X  H(1000, 400, 3)
Ta thấy n = 3 << N = 1000 nên ta xấp xĩ :
X  B(3; 0,4)
với p = 400/1000 = 0,4
P(X = 3)= 06.034.033C
P(X = 1) = 26.014.013C 52
Bài 10: Sản phẩm sau khi hoàn tất được đóng thành
kiện, mỗi kiện gồm 10 sản phẩm với tỷ lệ thứ phẩm là
20%. Trước khi mua hàng, khách hàng muốn kiểm tra
bằng cách từ mỗi kiện chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm.
 1) Tìm luật ppxs của số sp tốt trong 3 sp lấy ra.
 2) Nếu cả 3 sp được lấy ra đều là sp tốt thì khách
hàng sẽ đồng ý mua kiện hàng đó. Tính xác suất để
khi kiểm tra 100 kiện:
 a) Có đúng 50 kiện hàng được mua.
 b) Có ít nhất 60 kiện được mua.
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
14
53
Giải bài 10:
1) X = số sp tốt trong 3 sản phẩm lấy ra. X ~ H(10,8,3)
P(mua) = P(X=3) = p = 0,4667
2) Y = số kiện được mua trong 100 kiện
Y ~ B (100 ; p ) = B(100; 0,4667)  N(np, npq)
a)














)4667.01(*4667.0*100
4667.0*10050
)4667.01(*4667.0*100
1)50( XP
= 0.06393187.0*2004.0)67.0(
8891.24
1
 (tra bảng E)
b) )67.2()69.10(
24.8891
46.6760
24.8891
46.67100)10060(  
















YP
= 0.5–0.4962 =0.0038 (tra bảng F) 54
Bài 17: Xác suất để một ấn công lành nghề sắp lầm
một mẫu tự là 0,002. Tính gần đúng xác suất để
trong 2000 mẫu tự thì ấn công sắp lầm:
 1) Đúng 1 mẫu tự
 2) Ít hơn 5 mẫu tự
 3) Không lầm mẫu tự nào.
55
Giải bài 17:
Gọi X là số mẫu tự mà ấn công sắp lầm trong
2000 mẫu tự.
X B(2000; 0,002)
n = 2000 khá lớn và p = 0,002 khá bé
Áp dụng công thức gần đúng theo Poisson
Ta có : X  P() với  = np = 2000  0,002 = 4
1) P(X = 1) = 0733,0!1
14.4 e
2) P(0  X  4) = 0,6288
3) P(X = 0)
56
Bài 12: Ở một tổng đài điện thoại, các cú điện thoại
gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên, độc lập với nhau và tốc
độ trung bình 2 cuộc gọi trong 1 phút . Tìm xác suất
để:
 1) Có đúng 5 cú điện thoại trong 2 phút
 2) Không có cú nào trong khoảng thời gian 30 giây
 3) Có ít nhất một cú trong khoảng thời gian 10 giây.
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
15
57
Giải bài 12:
 1) X= số cú điện thoại xuất hiện trong khoảng thời
gian 2 phút. X ~ P(4)
P(X=5) = e-4 45/5! = 0,156
 2) X = số cú điện thoại xuất hiện trong khoảng thời
gian 30 giây . X ~ P(1)
P (X=0) = e-1 = 0,3679
 3) X = số cú điện thoại xuất hiện trong khoảng thời
gian 10 giây . X ~ P(1/3)
P (X  1) = 1 – P (X=0) = 1-e-1/3 = 0,2835
58
Bài 27: Trọng lượng của 1 loại trái cây có quy
luật phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình
là 250g, độ lệch chuẩn về trọng lượng là 5g.
1) Một người lấy 1 trái từ trong sọt trái cây ra.
Tính xác suất người này lấy được trái loại 1
(trái loại 1 là trái có trọng lượng > 260 g )
2) Nếu lấy được trái loại 1 thì người này sẽ
mua sọt đó. Người này kiểm tra 100 sọt, tính
xác suất mua được 6 sọt.
59
Giải:
1) X= trọng lượng của lọai trái cây này (g)
X ~ N (250g , (5g)2 )
P (X > 260)= 0,5–(2) = 0,0228
2) Y= số sọt được mua.
Y ~B (100 ; 0,0228)  P (2,28)
P(Y=6) = !6
628,228,2e
60
Bài 26: Độ dài của một chi tiết được tiện ra có phân
phối chuẩn N( cm ; (0,2cm)2). Sản phẩm coi là đạt nếu
độ dài sai lệch với độ dài trung bình không quá 0,3cm.
1) Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm thì
được sp đạt yêu cầu.
2) Chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Tính xác suất có ít nhất
2 sp đạt yêu cầu.
3) Nếu sản phẩm tốt mà bị loại trong kiểm tra thì mắc
phải sai lầm loại 1, nếu sản phẩm không đạt mà được
nhận thì mắc phải sai lầm loại 2 . Giả sử khả năng mắc
sai lầm loại 1, loại 2 lần lượt là 0,1 và 0,2. Tính xác suất
để trong 3 lần kiểm tra hoàn toàn không nhầm lần.
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3
16
61
Giải bài 26:
 1) Gọi X là ĐLNN biểu thị chiều dài của chi tiết.
X  N( cm , (0,2cm)2)
 p(đạt) = p(| X –  |  0,3 ) = 0,866
 2) Gọi Y là số sản phẩm đạt yêu cầu trong số 3 sản
phẩm được chọn ra. Ta có Y  B(3 ; 0,866)
P(Y  2) = P(Y = 2) + P(Y = 3)
 3) Chọn một sản phẩm, gọi T là biến cố gặp sản phẩm
tốt và H là biến cố gặp sản phẩm hỏng. Gọi F là biến
cố nhầm lẫn trong kiểm tra sản phẩm này.
P(F)= P(T)P(F/T)+P(H)P(F/H)= 0,8660,1+0,1340,2
Gọi Z là số sản phẩm bị nhầm lẫn trong 3 lần kiểm tra.
Ta có Z  B(3 ; P(F))
P(cả 3 lần không nhầm lẫn) = P(Z = 0)
62
MỜI GHÉ THĂM TRANG WEB:





www37.websamba.com/phamtricao
www.phamtricao.web1000.com