Bài giảng Toán 5 Xác suất & Thống kê - Tuần 2 - Nguyễn Văn Đắc

u được tạo ra sao cho khả năng xuất hiện mặt ngửa gấp hai lần khả năng xuất 
hiện mặt sấp. Tung đồng tiền đó 3 lần. Tính xác suất để nhận được hai lần sấp và một lần ngửa. 
Giải 
Không gian mẫu của phép thử gồm 8 phần tử 
S = { NNN, NNS, NSN, SNN, NSS, SNS, SSN, SSS } 
Tuy nhiên đối với đồng xu không cân bằng ta không thể giả sử xác suất của mỗi điểm mẫu là như 
nhau. Để tìm xác suất trước hết ta xét không gian mẫu S 1 = { N, S }, nó cho thấy các kết quả khi 
đồng xu được tung một lần. Giả sử ω và 2ω tương ứng là xác suất để nhận được một mặt sấp và một 
mặt ngửa, ta có 3ω = 1 hay ω =1/3. Do đó P(N) = 2/3 và P(S) = 1/3. Gọi A là biến cố nhận được hai 
lần sấp và một lần ngửa trong ba lần tung đồng xu ta có: A = { SSN, SNS, NSS } 
Vì các kết quả trong mỗi lần tung độc lập nhau nên theo Định nghĩa về sự độc lập của các biến cố, ta 
có 
P( SSN ) = P(S). P(S). P(N) = 
3
1 . 
3
1 . 
3
2 = 
27
2 . 
Tương tự P( SNS ) = P( NSS ) = 
27
2 . 
Do đó P(A) = 
27
2 + 
27
2 + 
27
2 = 
9
2 . 
I.6 Quy tắc nhân xác suất 
Quy tắc nhân cho ta biết có thể tính xác suất của biến cố tích theo xác suất của một biến cố thành 
phần và xác suất điều kiện của biến cố kia. 
Từ Định nghĩa 1.5, ta có 
Quy tắc nhân 
Cho A và B là hai biến cố của một phép thử với P(A) > 0, ta có 
P(AB) = P(A) P(B/A). 
 Khi P(B) > 0 thì P(AB) = P(BA) = P(B)P(A/B). 
 Nếu A, B là độc lập thì P(AB) =P(A)P(B). 
Ví dụ 1.18 Một thủ kho có một chùm chìa khoá gồm 8 chiếc với bề ngoài giống hệt nhau trong đó có 
đúng hai chìa mở được cửa kho. Do đãng trí, người này không còn nhớ chìa nào có thể mở được khoá 
cửa kho. Ông ta thử ngẫu nhiên từng chìa, chìa nào không mở được thì bỏ ra. Tính xác suất để chỉ sau 
hai lần thử, ông ta mở được cửa kho? 
Giải 
Đặt Ai = “mở được cửa kho lần thử thứ i”, i =1,..,9. 
 A = “mở được cửa kho sau hai lần thử”. Ta có A = (A1)’A2. 
Theo quy tắc nhân, thì P(A) = P((A1)’A2) = P((A1)’)P(A2/A1’) = 6 2 38 7 14 . 
6 | P a g e 
Ở trong Ví dụ trên, nếu đặt ra câu hỏi là tính xác suất để sau ba lần thử ông ta mở được cửa kho, thì ta 
phải tính xác suất của biến cố là tích của ba biến cố. Do vậy, một cách tự nhiên ta cần phải mở rộng quy 
tắc trên cho tích nhiều biến cố của cùng một phép thử. Bằng quy nạp ta có 
Quy tắc nhân tổng quát 
Nếu trong một phép thử, các biến cố A 1 , A 2 ,,A k thoả mãn P(A 1 A 2 A 1k ) > 0, thì 
P(A 1 A 2 A k ) = P(A 1 )P(A 2 /A 1 )P(A k /A 1 A 2 A 1k ) 
Nếu trong một phép thử, các biến cố A 1 , A 2 ,,A k độc lập, thì 
P(A 1 A 2 A k ) = P(A 1 )P(A 2 )P(A k ). 
Áp dụng quy tắc nhân tổng quát, ta có xác suất để người thủ kho mở được cửa sau ba lần thử là 
p = P(A1’)P(A2’/A1’)P(A3/A’1A’2) = 
6 5 2 5
8 7 6 28
 . 
Ví dụ 1.19 Lấy liên tiếp 3 con bài từ một bộ bài theo phương thức không hoàn lại. Tìm xác suất để 
biến cố tích A 1 A 2 A 3 xảy ra , trong đó A 1 là biến cố con bài thứ nhất là át đỏ, A 2 là biến cố con bài 
thứ hai là 10 hoặc J, còn A 3 là biến cố con bài thứ ba có số lớn hơn 3 nhưng bé hơn 7. 
Giải 
Ta có 
P(A 1 ) = 52
2 , P(A 2 /A 1 ) = 51
8 , P(A 3 /A 1 A 2 ) = 50
12 , 
 theo quy tắc nhân xác suất, 
P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )P(A 2 /A 1 )P(A 3 /A 1 A 2 ) = 52
2 . 
51
8 . 
50
12 = 
5525
8 . 
I.7 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes 
Giả sử trong một phép thử, ta đã biết các biến cố B1, B2,..,Bk là một phân hoạch của không gian mẫu 
S (hay còn gọi là hệ đầy đủ các biến cố). Công thức xác suất đầy đủ cho phép ta tính được xác suất 
của biến cố A nào đó của phép thử, nếu ta biết được P(Bi) và P(A/Bi), i =1,,k. Công thức Bayes 
được sử dụng để tính xác suất của biến cố Bi khi đã biết A xảy ra. 
Ta bắt đầu với một ví dụ đơn giản. 
Ví dụ 1.20 Có hai hộp đựng bu- lông. Hộp thứ nhất 
chứa 60 chiếc loại một và 40 chiếc loại hai, hộp thứ hai 
chứa 10 chiếc loại một và 20 chiếc loại hai. Chọn ngẫu 
nhiên một hộp và từ đó lấy ra một bu-lông. Tính xác 
suất để lấy được chiếc bu-lông loại một. 
Giải 
Đặt B1 = “hộp thứ nhất được chọn” 
 không gian mẫu 
 B2 = “hộp thứ hai được chọn”, 
A = “chiếc bu-lông lấy ra là bu-lông loại một”. 
A xảy ra khi và chỉ khi chọn được hộp thứ nhất và lấy từ hộp đó chiếc bu-lông loại một hoặc chọn 
được hộp thứ hai và lấy được từ đó chiếc bu-lông loại một, tức là 
B1 
B2 
A 
7 | P a g e 
A = AB1 + AB2 
Mặt khác AB1, AB2 là hai biến cố xung khắc nên 
P(A) = P(AB1) + P(AB2) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2). 
Dễ thấy P(B1) = P(B2) = 
1
2
 P(A/B1) = 
60 3
100 5
 P(A/B2) = 
10 1
30 3
 . 
Như vậy P(A) = 1 3 1 1 14
2 5 2 3 30
  . 
Trong phép thử trên các biến cố B1, B2 là một phân hoạch của không gian mẫu, còn A là một biến cố 
của phép thử. 
Tổng quát hoá ví dụ trên ta có bài toán sau. 
Bài toán: Cho phép thử với không gian mẫu S và các biến cố B 1 ,B 2 , , B k là một phân hoạch của S 
thoả mãn P(Bi)  0 với mọi i = 1, 2, , k . A là biến cố bất kỳ của phép thử. 
Hãy tính P(A) theo P(Bi) và P(A/Bi). 
Giải 
 Xét sơ đồ Venn trong hình 
 Phân hoạch không gian mẫu S 
Biến cố A bằng hợp của các biến cố xung khắc 
B 1 A, B 2 A, , B k A 
tức là A = (B 1 A ) ( B 2 A )   (B k A ) 
Do đó 
P(A) = P[ (B 1 A) (B 2 A)  ( B k A) ] 
 = P( B 1 A ) + P (B 2 A) + + P(B k A) 
=
1
( )
k
i
i
P B A

 =

k
i
ii BAPBP
1
)|()( . 
Tóm lại, ta có 
B1 
B2 
B3 B4 
Bi 
Bk 
A 
8 | P a g e 
 Công thức xác suất đầy đủ 
Nếu các biến cố B 1 ,B 2 , , B k là một phân hoạch của không gian mẫu S, trong đó P(B i )  0 
với mọi i = 1, 2, , k , thì 
P(A) = )(
1
ABP
k
i
i 

 = 
1
( ) ( / )
k
i i
i
P B P A B


với A là biến cố bất kì của phép thử với không gian mẫu là S. 
Ví dụ 1.21 Trong một dây chuyền sản xuất, ba máy B1, B2, và B3 tạo ra 30%, 45%, và 25% sản 
phẩm tương ứng. Biết rằng tỷ lệ phế phẩm của mỗi máy tương ứng là 2%, 3% và 2%. Chọn ngẫu 
nhiên 1 sản phẩm. Tính xác suất để nó là phế phẩm. 
Giải 
Xét các biến cố sau: 
 A: sản phẩm được chọn là phế phẩm 
 B1: sản phẩm được làm bởi máy B1 
 B2: sản phẩm được làm bởi máy B2 
 B3 sản phẩm được làm bởi máy B3 
Áp dụng định lý xác suất toàn phần ta có: 
P(A) = P(B1)P(A|B1)+ P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3) 
Từ giả thiết(để dễ hình dung, xem sơ đồ cây) ta có 
P(B1)P(A|B1) = 0,3. 0,02 = 0,006 
 P(B2)P(A|B2) = 0,45.0,03 = 0,0135 
P(B3)P(A|B3) = 0,25. 0,02 = 0,005 
Do đó 
P(A) = 0,006 + 0,0135 + 0,005 = 0,0245. 
Giả sử chọn ngẫu nhiên một sản phẩm và sản phẩm đó bị lỗi. Xác suất để sản phẩm này 
thuộc máy B i bằng bao nhiêu? Câu hỏi dạng này có thể trả lời nhờ Công thức Bayes. 
Công thức Bayes 
Nếu các biến cố B 1 ,B 2 , , B k là một phân hoạch của không gian mẫu S, trong đó 
P(B i )  0 với mọi i = 1, 2, , k, thì 
P(B r /A) = 
1
( )
( )
r
k
i
i
P B A
P B A


 = 
1
( ) ( / )
( ) ( / )
r r
k
i i
i
P B P A B
P B P A B


 , với r = 1, 2, , k. 
với biến cố A bất kì của phép thử với không gian mẫu là S và P(A)  0. 
Chứng minh Theo xác suất điều kiện ta có 
9 | P a g e 
( )( )
( )
r
r
P B AP B A
P A
 
 Sử dụng công thức xác suất đầy đủ vào mẫu thức ta được P(B r |A) = 
1
( )
( ) ( )
r
k
i i
i
P B A
P B P A B


 Sử dụng quy tắc nhân cho tử thức, ta có P(B r |A) =


k
i
ii
rr
BAPBP
BAPBP
1
)|()(
)|()(
Ví dụ 1.22 Quay về Ví dụ 1.21, nếu chọn ngẫu nhiên một sản phẩm và thấy nó bị lỗi, thì xác suất để 
sản phẩm đó thuộc B3 thế nào? 
Giải 
Sử dụng công thức Bayes ta có 
P(B3/A) = 
)|()()|()()|()(
)|()(
332211
33
BAPBPBAPBPBAPBP
BAPBP

Thay các xác suất đã được tính trong Ví dụ 1.21 ,ta có 
P(B3/A) = 005,00135,0006,0
005,0

 = 
0245,0
005,0 = 10 0.2
49
 
Kết quả này cho ta thấy nếu sản phẩm bị lỗi được chọn thì chắc nó không được làm bởi máy B3. 
Công thức Bayes có nhiều ứng dụng trong sản xuất công nghiệp, y học, xã hội học,, sau đây là 
một ví dụ 
Ví dụ 23 Một người ốm được cho là mắc bệnh A hoặc bệnh B. Thống kê tình hình mắc bệnh trong 
nhiều năm cho thấy xác suất mắc bệnh A cao gấp đôi xác suất mắc bệnh B. Bệnh viện thực hiện hai xét 
nghiệm y học T1 và T2 một cách độc lập cho bệnh nhân. Biết rằng nếu có bệnh A thì xét nghiệm T1 cho 
dương tính với xác suất 0.9, còn xét nghiệm T2 cho dương tính với xác suất 0.75. Nếu có bệnh B, xét 
nghiệm T1 cho dương tính với xác suất 0.05 và xét nghiệm T2 cho dương tính với xác suất 0.1.Giả sử cả 
T1 và T2 đều cho dương tính. Tìm xác suất người bệnh mắc bệnh A? 
Kết quả: 0.996, tức là nếu T1 và T2 đều dương tính thì có tới 99,6% là mắc bệnh A. 
Các ý chính trong bài giảng tuần 2 
 Xác suất điều kiện: P(B/A) = P(AB):P(A), với P(A) > 0. 
 Quy tắc nhân xác suất: P(AB) = P(A)P(B/A) với P(A)> 0. 
 Công thức xác suất đầy đủ: 
 P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) + + P(Bk)P(A/Bk) với 
B1, B2,, Bk là phân hoạch của không gian mẫu và P(Bi) > 0, i = 1,k . 
 Công thức Bayes: 
P(Bk/A) = P(Bk)P(A/Bk): [ P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) + + P(Bk)P(A/Bk)] 
với P(A) > 0. 
10 | P a g e 
 * Bài tập: 2.6 Xác suất có điều kiện, 
 2.7 Quy tắc nhân 
2.5 (2.t51) (ĐS: 1/5) 
2.6 (3.t51) (ĐS: (a) 14/39 (b) 95/112) 
2.7 (5.t52) (ĐS: (a) 5/34 (b) 3/8) 
2.8 (13.t53) (ĐS: 0,27) 
 * Bài tập: 2.8 Quy tắc Bayes 
2.9 (1.t58) (ĐS: 0,609) 
2.10 (8.t59) (ĐS: 6/7) 
 * Các bài toán ôn tập chương II 
2.11 (6.t60) (ĐS: (a) 0,0001 (b) 0,82) 
2.12 (9.t61) (ĐS: (a) 0,096 (b) 0,512) 
Bài tập bổ xung 
 1. Trong một vùng dân cư, tỉ lệ người nghiện thuốc lá và mắc chứng ung thư họng là 15%. Có 
25% số người nghiện thuốc nhưng không ung thư họng, 50% số người không nghiện thuốc và cũng 
không bị ung thư họng và có 10% số người không nghiện thuốc nhưng cũng bị ung thư họng. Sử 
dụng số liệu thống kê trên để đưa ra kết luận về mối quan hệ giữa thói quen hút thuốc lá và bệnh ung 
thư họng trong vùng nói trên? 
 2. Ba xạ thủ A, B và C độc lập nhau cùng nổ súng vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng của các 
xạ thủ tương ứng là 0.4; 0.5 và 0.7. 
a) Tính xác suất để có duy nhất một xạ thủ bắn trúng; 
b) Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng.