Bài giảng Vật lý đại cương - Chương 6: Cơ học lượng tử - Đỗ Ngọc Uấn

Bμi giảng Vật lý đại c−ơng
Tác giả: PGS. TS Đỗ Ngọc Uấn
Viện Vật lý kỹ thuật
Tr−ờng ĐH Bách khoa Hμ nội
Ch−ơng 6
Cơ học l−ợng tử
1. Tính sóng hạt của vật
chất trong thế giới vi mô
1.1. Tính sóng hạt của ánh sáng
Tính sóng: Giao thoa, nhiễu xạ, phân cực; λ, ν.
Tính hạt: Quang điện, Compton; ε, p.
Liên hệ giữa hai tính sóng hạt:
Năng l−ợng: ν=ε h Động l−ợng: λ=
hp
Hμm sóng
Chiếu chùm ánh sáng
song song, các mặt
sóng cũng lμ mặt
phẳng song song
O d
M
rr nr
Tại O dao động sáng: x0 =Acos2πνt
Tại điểm cắt mặt chứa M ánh sáng đi đ−ợc d, vμ: 
xM =Acos2πν(t-d/c)= Acos2π(νt-d/λ)
n.rcosrd rr=α= )n.rt(2cosAx λ−νπ=
rr
Đây lμ sóng phẳng chạy, dạng phức:
)nrt(i2
0e λ
−νπ−ψ=ψ
rr
)rpt(i
0e
rr
h −ε−ψ=ψhay
λ
π= 2k kp rhr = Js10.05,12
h 34−=π=h
)rkt(i
0e
rr−ω−ψ=ψ
1.2. Giả thiết Đơbrơi (de Broglie)
Một vi hạt tự do tuỳ ý có năng l−ợng xác định, 
động l−ợng xác định t−ơng ứng với một sóng
phẳng đơn sắc;
a. Năng l−ợng của vi hạt liên hệ với tần số dao
động của sóng t−ơng ứng ε=hν hay ω=ε h
b. Động l−ợng của vi hạt liên hệ với b−ớc
sóng λ theo:
pr
kp
r
hr =λ=
hp hay
Tính sóng hạt lμ hai mặt đối lập biểu hiện sự
mâu thuẫn bên trong của đối t−ợng vật chất
1.3. Thực nghiệm chứng minh l−ỡng
tính sóng hạt của vi hạt
a. Nhiễu xạ điện tử: Chiếu chùm tia điện tử qua 
khe hẹp, ảnh nhiễu xạ giống nh− đối với sóng
ánh sáng
Nhiễu xạ điện
tử, nơtron trên
tinh thể
tia e,n
Phim
Nhiễu xạ điện tử
truyền qua trên
tinh thể Si
Nhiễu xạ truyền qua trên Bromid Thalium
2. Hệ thức bất định Haidenbéc
(Heisenberg) 2.1. Hệ thức bất định
pr
b ϕ1
x Toạ độ của điện tử trong khe:
0≤x≤b =>Δx=b
Hình chiếu của động l−ợng
lên trục x: 0 ≤px ≤p sin ϕ
ứng với hạt rơi vμo cực đại giữa
Δpx ≈p sin ϕ1 sin ϕ1=λ/bΔx.Δpx ≈pλ Δx.Δpx ≈hΔy.Δpy ≈hΔz.Δpz ≈h
ý nghĩa: Vị trí vμ động l−ợng
của vi hạt không xác định đồng
thời
Ví dụ: Trong phạm vi nguyên tử Δx~10-10m
Vận tốc điện tử có:
s/m10.7
1010.1,9
10.62,6
xm
h
m
pv 61031
34
ee
x
x ≈=Δ≈
Δ=Δ −−
−
me ~10
-31 vi hạt -> Vận tốc không xác định -> 
không có quỹ đạo xác định
m ~10-15kg, Δx~10-8m hạt lớn (Vĩ hạt): Vận tốc
xác định -> Quỹ đạo xác định:
s/m10.6,6
1010
10.62,6
xm
hv 11815
34
e
x
−
−−
−
≈=Δ≈Δ
ΔW.Δt ≈ hHệ thức bất định đối với năng l−ợng
ΔW≈ h/Δt
Trạng thái có năng l−ợng bất định lμ trạng thái
không bền, Trạng thái có năng l−ợng xác định lμ
trạng thái bền
2.2 ý nghĩa triết học của hệ thức
bất định Heisenberg:
Duy tâm: Hệ thức bất định phụ thuộc vμo chủ
quan của ng−ời quan sát: Xác định đ−ợc quỹ đạo 
thì không xác định đ−ợc năng l−ợng. Nhận thức
của con ng−ời lμ giới hạn
Duy vật: Không thể áp đặt quy luật vận động vật
chất trong cơ học cổ điển cho vi hạt. Cơ học cổ
điển có giới hạn, nhận thức của con ng−ời không
giới hạn, không thể nhận thức thế giơí vi mô
Không thể xác định chính xác vị trí của vi hạt mμ
chỉ đoán nhận đ−ợc khả năng tồn tại vi hạt ở một
trạng thái nμo đó.
Quy luật vận động của vi hạt tuân theo nguyên lý
thống kê
3. Hμm sóng vμ ý nghĩa thống kê
của nó
3.1. Hμm sóng: Chuyển động của vi hạt tự do 
(không chịu tác dụng lực bên ngoμi) đ−ợc mô tả
bởi hμm sóng Đơ Brơi
)rkt(i
0e
rr−ω−ψ=ψ ψ0
2=|ψ|2=ψψ*
ψ*Liên hợp phức của ψ
bằng các khái niệm cổ điển.
3.2. ý nghĩa thống kê của hμm sóng
M
ΔV sóng ánh sáng chiếu lên M 
c−ờng độ sáng I ~ ψ02
|ψ|2 cμng lớn M cμng sáng
-> số photon cμng nhiều
|ψ|2 tỷ lệ với khả năng có mặt của vi hạt trong ΔV
|ψ|2 đặc tr−ng cho khả năng tìm thấy vi hạt trong
đơn vị thể tích quanh M gọi lμ mật độ xác suất
Xác suất tìm thấy hạt trong dV lμ |ψ|2dV
Xác suất tìm thấy hạt 
trong thể tích V lμ ∫∫∫ ψ
V
2 dV||
Trong toμn không gian 1dV||
Tkg
2 =ψ∫∫∫
Đây lμ điều kiện chuẩn hoá của hμm sóng
Hμm sóng không mô tả một sóng cụ thể nμo đó 
nh− sóng cơ hay sóng điện từ mμ nó chỉ cho
phép tính mật độ xác suất tìm thấy vi hạt ở một
trạng thaí nμo đó 
-> Hμm sóng ψ mang tính thống kê
Trong vật lý phân tử: Hệ nhiều hạt mới có tính
thống kê (theo qui luật thống kê)
Trong cơ học l−ợng tử qui luật thống kê có quan
hệ với ngay cả một vi hạt riêng biệt
3.3. Điều kiện của hμm sóng
a. Hμm sóng giới nội = Điều kiện chuẩn hoá
b. Hμm sóng phải đơn trị: mỗi trạng thái chỉ có
1 xác suất tìm hạt (theo lí thuyết xác suất)
c. Hμm sóng phải liên tục vì mật độ xác suất
không thể nhảy vọt.
d. Đạo hμm bậc nhất của hμm sóng phải liên
tục: rút ra điều kiện của ph−ơng trình hμm sóng
4. Ph−ơng trình cơ bản của cơ học
l−ợng tử
Trong cơ học cổ điển có f/t cơ bản: ma=F
Trong cơ học LT phải
tìm đ−ợc hμm sóng
của vi hạt
)rpt(i
0e)t,r(
rr
hr −ε−ψ=ψ
)r(.e)t,r(
ti rr h ψ=ψ ε−
ε lμ năng l−ợng của vi hạt.
)r(rψ lμ phần phụ thuộc vμo không gian đáp ứng
ph−ơng trình :
0)r()]r(U[m2)r( 2 =ψ−ε+ψΔ rrh
r
dingeroSchr &&
)x()x()]x(U
xm2
[ 2
22
εψ=ψ+∂
∂− h
Vai trò ph−ơng trình Schrodinger trong CHLT 
giống nh− f/t cơ bản trong cơ học cổ điển
Trong
không gian
một chiều:
Δ Toán tử Laplatz, trong toạ độ Đêcác:
)r()
zyx
()r( 2
2
2
2
2
2 rr ψ∂
∂+∂
∂+∂
∂=ψΔ
thế năng)r(U r
2
22
xm2 ∂
∂− h Toán tử
động năng x
ipˆx ∂
∂−= h
Toán tử động l−ợng
Δ−=
m2m2
pˆ 22 h Toán tử
Haminton
Uˆ
m2
pˆHˆ
2
+=
Ph−ơng trình Schrodinger: Tác động toán tử
Haminton lên hμm sóng cho giá trị riêng của
năng l−ợng vi hạt εψ=ψHˆ

 Trong cơ học l−ợng tử các đại l−ợng vật lý
đều lμ các toán tử, khi toán tử tác động lên hμm
sóng cho giá trị riêng của đại l−ợng vật lý đó:
ψ=ψ=ψ −ω− .kepˆpˆ )rkt(i0
r
h
rr
kp
r
hr = giá trị riêng của động l−ợng
Toán tử động năng: 
5. ứng dụng
5.1. Vi hạt trong giếng thế
U
x0 a
U=
U=0
U=∞ 0 khi 0<x<a
∞ khi x≤0 vμ x≥a
Trong giếng thế U(x)=0
Ph−ơng trình
Schrodinger:
)x()x(
xm2 2
22
εψ=ψ∂
∂− h
Toán tử động năng tác động lên hμm sóng của vi 
hạt cho giá trị riêng của động năng vi hạt
Dạng hμm sóng: ψ(x)=Asinkx+Bcoskx
Điều kiện biên cố định ψ(0)= ψ(a)=0
ψ(x)=Asinkx
0 a
2
na λ=λ
π= 2k
a
nk π=
n = 0, 1, 2...)x
a
nsin(A)x(n
π=ψ
Thay ψn(x) vμo ph−ơng trình Schrodinger 
)x()x()
a
n(
m2 nn
2
2
εψ=ψπh
1dx)x
a
n(sinA 2
a
0
2 =π∫ a2A =
Mỗi trạng thái vi hạt 
ứng với một hμm sóng
ψn(x) 
)x
a
nsin(
a
2)x(n
π=ψ
λ lμ b−ớc sóng Đơ brơi của vi hạt
2
2
)
a
n(
m2
π=ε h ε ~ n
2 Năng l−ợng vi hạt biến
thiên gián đoạn: Năng l−ợng bị
l−ợng tử hoá
Mật độ xác suất tồn tại vi hạt
)x
a
n(sin
a
2 2* π=ψψ=ρ
39
24
11
3
2
1
a/2a/4 3a/4
0
2
2
)
a
(
m2
πh
n
0
ε đv( )
0
ρ n
5.2. Hiệu ứng đ−ờng hầm
U
Umax W
x
Đối với cơ cổ điển nếu năng
l−ợng hạt W<U thì hạt 
không v−ợt qua đ−ợc hμng
rμo thế
Đối với cơ học LT vi hạt có khả năng xuyên qua 
hμng rμo thế cao hơn năng l−ợng của nó: Hiệu
ứng xuyên hầm
U
x
a0
U0I II IIIψ1(x) ψ2(x)
ψ3(x)
U=
0 x≤0 miền I
U0 0<x<a miền II
0 x≥a miền III
Ph−ơng trình Schrodinger cho ba vùng
21
2
12
1
2 mW20k
dx
d
h==ψ+
ψ 2
1 kvới 
)WU(m20k
dx
d
022
2
22
2
2
−==ψ+ψ h
2
2 kvới 
23
2
12
3
2 mW20k
dx
d
h==ψ+
ψ 2
1 kvới 
miền I
miền II
miền III
Nghiệm của các ph−ơng trình:
xik
1
xik
11
11 eBeA)x( −+=ψ
xk
2
xk
22
22 eBeA)x( −+=ψ
)ax(ik
3
)ax(ik
33
11 eBeA)x( −−− +=ψ
Hệ số truyền qua 
/xuyên hầm 2
1
2
3
*
11
*
33
|A|
|A|D =ψψ
ψψ=
Theo tính chất liên tục của hμm sóng vμ đạo hμm
bậc nhất của hμm sóng. 
Tại các bờ:
ψ1(0)= ψ2(0)ψ’1(0)= ψ’2(0)ψ2(a)= ψ3(a)ψ’2(a)= ψ’3(a)
Các hệ thức:
A1+B1= A2+B2
ik1(A1-B1)= -k2(A2+B2)
A2e
-k2a +B2e
k2a = A3
-k2(A2e
-k2a +B2e
k2a)=ik1A3
B3=0, không có sóng phản xạ từ vô cùng
Từ 2 ph−ơng trình cuối xác định A2, B2 qua A3
ak
32
2eA
2
in1A −=
ak
32
2eA
2
in1B −+= WU
W
k
kn
02
1
−==
Coi W<<U0 hoặc
bề rộng của hμng
rμo lớn k2a>>1
ak
31
2eA
4
)
n
i1)(in1(
A
+−
=
ak2
2
2
2e
)n1(
n16D −+=
1~
)n1(
n16
2
2
+ (U0 ~10W)
)WU(m2a2ak2 02 eeD
−−− == h
Mặc dù W<U0 vẫn có hạt xuyên qua hμng rμo thế
Với điện tử m=9,1.10-31kg, U0-W=1,28.10
-31J
a(m) 10-10 1,5.10-10 2.10-10 5.10-10 
D 0,1 0,03 0,008 5.10-7
D đáng kể khi a nhỏ: Hiệu ứng xuyên hầm chỉ
xảy ra ở kích th−ớc vi mô
=> Tính sóng của vi hạt
Phát xạ điện tử lạnh
Phân rã hạt α
5.3.Dao tử điều hoμ
Vi hạt chuyển động theo
ph−ơng x trong tr−ờng thế
2kx
2
1U =
Thế năng
2
xmU
22ω=
ph−ơng trình
Schrodinger 0)2
xm(m2
dx
d 22
22
2
=ψω−ε+ψ h
Giải ra có
năng l−ợng )2
1n(n +ω=ε h n=0 có 20
ω=ε h
Năng l−ợng “Không”: ngay cả khi T=0 vẫn có
dao động => Phù hợp với hệ thức bất định:
Δx=0 thì Δpx vẫn khác 0
dao động
ion,ngtử
5.4. Quay tử
Vi hạt chuyển động tự do trên một mặt cầu xác
định
=>ứng dụng N/C phân tử 2 nguyên tử, H
V(r)=V(a)=const -> Chọn V(a)=0
0m2 2 =ψε+ψΔ h
2
2
ma2
)1( +=ε llhlGiải ra tìm đ−ợc năng l−ợng
năng l−ợng quay tử cũng gián đoạn: l−ợng tử hoá
,...3,2,1,0 =l