Bài giảng Vật lý đại cương - Chương 1: Trường tĩnh điện - Đỗ Ngọc Uấn

;điện tr−ờng lan truyền với c-> 
vận tốc t−ơng tác giới hạn
->điện tr−ờng của điện tích nμy tác dụng lực
lên điên tích kia
3.2. Véc tơ c−ờng độ điện tr−ờng
Định nghĩa:Véc tơ c−ờng độ điện
tr−ờng tại một điểm lμ đại l−ợng
có giá trị bằng lực tác dụng của
điện tr−ờng lên một đơn vị điện
tích d−ơng đặt tại điểm đó
0q
FE
rr =
Thứ nguyên: 
q0
⊕q 
⊕ 
F
r
)
m
V(
Véc tơ c−ờng độ điện tr−ờng
gây ra bởi điện tích điểm
M
E
r
r
r
r4
qqF 2
0
0
rr
πε=
rr
r
r
r4
qE 2
0
rr
πε=
2
0r4
|q|E πε=
Véc tơ c−ờng độ điện tr−ờng gây ra bởi hệ
điện tích điểm
⊕ 
⊕1q
1F
r
⊕iq
iF
r
-
2F
r
q2
∑
=
=+++=
n
1i
in21 FF...FFF
rrrrr
∑ ∑∑
= =
= ====
n
1i
n
1i
i
0
i
0
n
1i
i
0
E
q
F
q
F
q
FE
rr
r
rr ∑
=
=
n
1i
iEE
rr
...tại M bằng tổng các véc tơ c−ờng độ điện
tr−ờng gây ra bởi các điện tích điểm tại điểm
đó
-> nguyên lý chồng chất điện tr−ờng
q0
M
Véc tơ c−ờng độ điện tr−ờng gây ra bởi vật
mang điện tích dq
Mr
r
r
r
r4
dqEdE
tbv
2
0
rrr ∫∫ επε== vật bộ Toμn
Ed
r
Trong tr−ờng hợp cụ thể phải xác định ph−ơng
vμ chiều bằng hình vẽ, tích phân chỉ xác định
giá trị của E
r
r
r4
dlE
tbv
2
0
rr ∫ επελ=
Dây:λ(C/m)
dq= λdl
Mặt:σ(C/m2)
dq= σdS
Khối:ρ(C/m3)
dq= ρdV
r
r
r4
dSE
tbv
2
0
rr ∫ επεσ= rrr4 dVE tbv 20
rr ∫ επερ=
dqi
ir
r iEd
r
3.3. Thí dụ
•L−ỡng cực điện
⊕l
r
-
-q q
lqpe
rr =
α
α
r1 r r2
1E
r2
E
r
E
r
M
21 EEE
rrr += E=2E1cosα
3
101
2
10 r4
ql
r2
l
r4
q2E επε=επε=
r
4
lrrlr
2
2
1 ≈+=⇒>> qlpe =
3
0
e
r4
pE επε= 30
e
M r4
pE επε−=
rr
N•
3
0
e
N r4
p2E επε=
rr
r
E ~ mômen l−ỡng cực điện pe
•Tác dụng điện tr−ờng đều lên l−ỡng cực điện
+q
-q
l
θ
0E
r
'F
r
F
r
00 ElqEqlFl
rrrrrrr ì=ì=ì=μ
0e Ep
rrr ì=μ μ=qlE0sinθ
•Véc tơ c−ờng độ điện tr−ờng gây ra bởi dây dẫn
vô hạn tích điện đều
+
+
+
+ Ed
r nEd
r
//Ed
r
M
r
x α
α+επε
λ== ∫∫ cos)rx(4 dxdEE tbd 220tbd n
)rx/(rcos 2222 +=α α
α= 2cos
rddx
ααεπε
λ= ∫
π
π−
dcos
r4
E
2/
2/0 r2
||E
0επε
λ=
dq=λdx
• Véc tơ c−ờng độ điện tr−ờng gây ra bởi đĩa
tròn phẳng tích điện đều
dq=σdS=σxdxdϕ
αr
h
2Ed
r
1Ed
r Ed
r
dE=2dE1cosα
2/322
d 0 )xh(
xdxd
2
hE +
ϕ
επε
σ== ∫ ∫
tb tbd
dE
∫∫
π
ϕ+επε
σ=
0
R
0
2/322
0
d
)xh(
xdx
2
hE
dϕ
x dx
ϕ
R
)
)h/R1(
11(
2
E 2/122
0 +
−εε
σ=
đĩa phẳng vô hạn
R →∞
εε
σ=
02
E
E
r
2/122 )xh(
hcos +=α
x
M
4. Điện thông
4.1. Đ−ờng sức điện tr−ờng lμ đ−ờng cong mμ
tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó trùng với
ph−ơng của véc tơ c−ờng độ điện tr−ờng tại 
điểm đó chiều của đ−ờng sức điện tr−ờng lμ
chiều của véc tơ c−ờng độ điện tr−ờng
2E
r1E
r
4E
r3E
r
Tập hợp đ−ờng sức của
điện tr−ờng = điện phổ
⊕⊕⊕
Đặc điểm: Đ−ờng sức của tr−ờng tĩnh điện lμ các
đ−ờng hở
4.2. Sự gián đoạn đ−ờng sức
của điện tr−ờng
⊕ε1ε2
Nếu 2ε1 = ε2 gián đoạn tại 
biên giới hai môi tr−ờng
=>Véc tơ cảm ứng điện
ED 0
rr εε= ED 0εε=
r
r
r4
qD 2
rr
π= 2r4
|q|D π=
Thứ nguyên
C/m2Điện tích điểm
dS
D
r
n.dSSd r
r =
nr
α
dSn
4.3. Thông l−ợng cảm ứng điện
/điện thông
lμ đại l−ợng có độ lớn bằng số
đ−ờng sức vẽ vuông góc qua 
diện tích
nne DdSdSDcosDdSSdDd ==α==Φ
rr
qua diện tích S 
SdDd
S
e
S
e
rr∫∫ =Φ=Φ
nr
nr
nr
mặt kín
5. Định lý ôxtrôgratxki-Gauox (Ô-G)
5.1. Góc khối: góc nhìn một diện tích từ một
điểm
dS n.dSSd
rr =
dΩO nr 2r
cosdSd α=Ωαr
r
dScosα=dSn
Góc nhìn mặt cầu (pháp tuyến ra):
π==α=Ω ∫∫ 4rdSrcosdS S 2
n
S
2
O
nr
nr
nr
Góc nhìn mặt cầu
(pháp tuyến vμo): Ω’=-4π
'nr' n
r
'nr
5.2. Điện thông xuất phát từ điện tích điểm q
2r4
|q|D π=
Điện thông qua dS α==Φ cosDdSSdDd e
rr
Ωπ=απ=Φ d4
qcosdS
r4
qd 2e
Điện tích điểm q trong mặt kín S
qd
4
qd
SS
ee =Ωπ=Φ=Φ ∫∫
Điện tích điểm q ngoμi mặt kín S
S2 S1
)dd(
4
q
1 2S S
e ∫ ∫ Ω+Ωπ=Φ
0)(
4
q =ΔΣ−ΔΣπ=
q
q
Sd
r
nr
nr nr
ΔΣ
5.3.Định lý ôxtrôgratxki-Gauox (Ô-G) 
Điện thông qua mặt kín bất kỳ bằng tổng đại số
các điện tích chứa trong mặt kín ấy:
∑∫∫ ==Φ
i
i
S
e qSdD
rr Σqi Tổng đại số (dấu
của điện tích)
5.4. Dạng vi phân định lý ôxtrôgratxki-Gauox
∫∫∫∫∫ =
VS
dVDdivSdD
rrr
z
D
y
D
x
DDdiv zyx ∂
∂+∂
∂+∂
∂=r
∫∫∫∑ ρ=
Vi
i dVq Ddiv
r=ρ
Ph−ơng trình Poisson (Poát Xông)
5.5. ứng dụng: Tính D & E
5.5.1 Cầu bán kính R tích điện
mặt q
Xác định điện tr−ờng tại điểm:
• Ngoμi cầu(r>R): 
• Trong cầu (r’<R):
∑∫∫ ===Φ
i
i
S
e qqSdD
1
rr
D4πr2=q 2r4
qD π= 2
00 r4
qDE επε=εε=
∑∫∫ ===Φ
i
i
S
e 0qSdD
2
rr
D=0, E=0
• Trên mặt cầu (R):
2R4
qD π= 20 R4
qE επε=
R
qr’
S2
S1
r
5.5.2 Mặt phẳng vô hạn tích điện đều
nr D
r
σ>0
∫∫∫∫∫∫ +==Φ
2dáynbêmặt trụmặt 
SdDSdDSdDe
rrrrrr
0SdD =∫∫
nbêmặt 
rr
S2DSdD Δ=∫∫
2day
rr
ΔS
σΔ==Φ ∫∫ SSdDe
2dáy
rr 2D
σ= εε
σ=
02
E
5.5.3 Giữa 2 mặt phẳng vô hạn tích điện đều
σ0
D=0 D= σ D=0
Giữa: E đều εε
σ=
0
E
Ngoμi: E=0
5.5.4 Mặt trụ vô hạn tích điện đều
l r
R
D
r
Δ
Vẽ mặt trụ: qua M, bán kính r, cao l 
∫∫∫∫∫∫ +==Φ
2dáynbêmặt trụmặt 
SdDSdDSdDe
rrrrrr
rl2DSdD π=∫∫
nbêmặt 
rr
0SdD =∫∫
2dáy
rr
lRl2QSdDe λ=σπ===Φ ∫∫
nbêmặt 
rr
r2r
R
rl2
QD π
λ=σ=π=
r2r
R
rl2
QE
000 επε
λ=εε
σ=επε=
nr
M
Q - Điện tích trên mặt trụ
trong, cao l
r
σ -Mật độ điện mặt
λ - Mật độ điện dμi
6. Điện thế
6.1 Công của lực tĩnh điện. Tính
chất thế của tr−ờng tĩnh điện
q
q0
Nr
r
Mr
r
sdrαF
r
sdEqsdFdA 0
rrrr ==
sdr
r4
qqdA 3
0
0
rr
επε=
2
0
0
2
0
0
r4
qdrqcosds
r4
qq
επε=αεπε=
ds.cosα=dr
N
M
N
M
r
r
0
0
r
r
2
0
0
MN |)r
1(
4
qq
r
dr
4
qqA −επε=επε= ∫
N0
0
M0
0
MN r4
qq
r4
qqA επε−επε=
Công của lực tĩnh điện
Trong điện
tr−ờng của q
=> Tính chất thế
rr
M
N
Trong điện tr−ờng bất kì
q0 ch động trong điện tr−ờng của hệ q1,q2,...qn
∑∑
==
==
n
1i
i0
n
1i
i EqFF
rrr
∑∑
== επε
−επε=
n
1i iN0
i0
n
1i iM0
i0
MN r4
qq
r4
qqA
Công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển
điện tích q0 trong điện tr−ờng bất kì:
• Không phụ thuộc vμo dạng của đ−ờng cong 
dịch chuyển
0sdEqsdFA 0 === ∫∫ rrrr
•Chỉ phụ thuộc vμo điểm đầu
vμ cuối của chuyển dời
•=> Tính chất thế:
 L−u số véc tơ c−ờng độ đtr−ờng
dọc theo một đ−ờng cong kín bằng
không:
0sdE =∫ rr
6.2 Thế năng của một điện tích trong điện
tr−ờng
N0
0
M0
0
MN r4
qq
r4
qqA επε−επε=
Công bằng độ giảm thế năng dA=-dW
N
N
M
N
M
MMN WWdWdAA ∫ ∫ −=−==
M0
0
M r4
qqW επε=
N0
0
N r4
qqW επε=
C
r4
qqW
0
0 +επε=
W∞ = 0 =>C=0
r4
qqW
0
0
επε=
r
W
0
q0q>0
q0q<0
∫
∞
=
M
0M sdEqW
rr

 Thế năng q0 tại M trong điện
tr−ờng lμ đại l−ợng về trị số
bằng công của lực tĩnh điện
trong sự dịch chuyển q0 từ M ra
xa vô cùng
6.3. Điện thế
6.3.1 Định nghĩa: W/q0 không phụ thuộc vμo
điện tích q0 mμ chỉ phụ thuộc vμo vị trí trong
điện tr−ờng vμ điện tích gây ra điện tr−ờng
Điện thế tại điểm đang xét của đt
0q
WV =
r4
qV
0επε
=Điện thế q gây ra tại r
Điện thế hệ qi
gây ra tại r ∑∑ επε== i i0ii i r4
qVV
∫
∞
=
M
M sdEV
rr
AMN=WM-WN=q0(VM-VN)
 Điện thế tại M trong điện tr−ờng lμ đại 
l−ợng về trị số bằng Công của lực tĩnh điện
trong sự dịch chuyển đơn vị điện tích d−ơng từ
M ra ∞
Công dịch chuyển q0 từ M ->N:
6.3.2 ý nghĩa
0
MN
NM q
AVV =−q0=+1 => VM-VN=AMN

 Hiệu điện thế giữa 2 điểm M,N = Công của
lực điện tr−ờng dịch chuyển đơn vị điện tích
d−ơng từ M->N.
VM-V∞=AM∞ -> VM = AM∞
 Điện thế tại điểm M = Công dịch chuyển đơn 
vị điện tích d−ơng từ M-> ∞.
• Điện thế tại 1 điểm trong điện tr−ờng của hệ
điện tích: dq
Mr
r
dV
∫∫ επε== t hệ Cảt hệ Cả d 0d r
dq
4
1dVV
thứ nguyên V lμ vôn
7. Mặt đẳng thế
7.1. Định nghĩa: Quỹ tích của những điểm có
cùng điện thế. V = C =const
Điện tích điểm: r = const
7.2. Tính chất mặt đẳng thế:
 Công của lực điện tr−ờng dịch chuyển q0:
AMN=q0(VM-VN)=0 (M,N trên mặt đt)
 Véc tơ c−ờng độ điện tr−ờng tại một điểm trên
mặt đt luôn vuông góc với mặt đt tại điểm đó
0sdEqdA 0 == r
r
0sdE =rr
E
r
sdr
⊕
 Các mặt đẳng 
thế không cắt nhau
sdEqdA 0
rr=
8. Liên hệ giữa véc tơ c−ờng độ
điện tr−ờng vμ điện thế
V V+dV
nr
sdrE
r s
E
dA=q0[V-(V+dV )]=-q0dV
 dVsdE −=rr
2
 0cos
π>α→<α
α
Véc tơ c−ờng độ điện tr−ờng
theo chiều giảm điện thế
dVdsEs −==αEdscos
 Hình chiếu véc tơ c−ờng độ điện tr−ờng trên
một ph−ơng nμo đó có trị số bằng độ giảm điện
thế trên đơn vị dμi của ph−ơng đó
0Edscos 0dV 
ds
dVEs −=→
z
VE;
y
VE;
x
VE zyx ∂
∂−=∂
∂−=∂
∂−=
zyx EkEjEiE
rrrr ++=
)
z
Vk
y
Vj
x
Vi(E ∂
∂+∂
∂+∂
∂−= rrrr
VgradE −=r
Hệ thức

 Véc tơ c−ờng độ điện tr−ờng tại một điểm
bằng về giá trị nh−ng ng−ợc chiều với gradien
của điện thế tại điểm đó
En lμ hình chiếu của trên pháp tuyếnE
r
E
dn
dVEn =−=đối với mặtđẳng thế:
|
dn
dV||
ds
dV| ≤ Điện thế biến thiên nhiều nhất
theo pháp tuyến với mặt đẳng thế
α=−= cos.E
ds
dV
sE
ứng dụng
a, Hiệu điện thế giữa hai mặt
phẳng song song tích điện đều
V1
+
+
+
V2
-
-
-
dd
VVE 21 −= εε
σ=
0
E εε
σ=−
0
21
dVV
d=1m, V1-V2=1vôn ->E=1V/m
V/m lμ c−ờng độ điện tr−ờng trong ĐT đồng tính
mμ hiệu điện thế trên mỗi m lμ 1vôn
b,Hiệu điện thế giữa hai mặt cầu mang điện đều
2
0 r4
qdrEdrdV επε==− R1 R2
r)R
1
R
1(
4
q
r4
qdrVV
210
R
R
2
0
21
2
1
−επε=επε=− ∫
c, Hiệu điện thế giữa hai điểm trong điện
tr−ờng của mặt trụ tích điện đều
1
2
0
R
R
21 R
Rln
l2
QEdrVV
2
1
επε==− ∫
r2r
R
lr2
QE
000 επε
λ=εε
σ=επε=
1
2
01
2
0 R
Rln
2R
RlnR επε
λ=εε
σ=
21
21
02010 rr
rr
4
q
r4
q
r4
qV −επε=επε+επε
−=
d, Véc tơ c−ờng độ điện tr−ờng
gây bởi l−ỡng cực điện
⊕l
r
-
-q q
αr
dsd =α r1 r r2
αE
r
rE
rE
r
MLấy -q lμm gốc
α+= EEE r
rrr
r1 -r2=lcosα vμ r1r2≈r2
2
0
e
2
0 r4
cosp
r
cosl
4
qV επε
α=αεπε=
ds
⊕l
r
-
-q q
rr
α
Toạ độ cực
phân tích
12cos33r04
ep2E2rEE +αεπε
=α+=
3
0
e
r r4
cosp2
r
VE επε
α=∂
∂−=
3
0
e
r4
sinp
r
VE επε
α=α∂
∂−=α