Bài giảng Trường Điện Từ - Chương 2, Lecture 9: Tính chất sóng của Trường Điện Từ biến thiên & biểu diễn trường điều hòa dùng phương pháp biên độ phức

mbert cho thế vô hướng: 
divD = vr
ur
Þ
divE = v
r
e
Þ
ur
A
div( grad ) =
t
vrj
e
¶
Þ - -
¶
ur
divA= -
t
vrj
e
¶
Þ D +
¶
ur 2 rj
j em
e
¶
D - -
¶
v
2
 = 
t
Þ
2
2
1
v
rj
j
e
¶
D - -
¶
v
2
 = 
t
1
v
em
=
4.1. Trường điện từ biến thiên và tính chất sóng 
ã Trần Quang Việt – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM a et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 
q Giải phương trình d’Alembert cho bài toán điện tích điểm q(t) 
2
2
1
0
v
j
j
¶
D -
¶ 2
 =
t
§ Chọn hệ tọa độ cầu gốc trùng q(t) à j=j(r,t) 
§ PT d’Alembert cho j được viết lại:
2
2
1
v
j j¶ ¶ ¶æ ö
Þ -ç ÷
¶ ¶ ¶è ø
2
2 2
1
 r = 0
r r r t
1
(r,t)= U(r,t)
r
j
2 2
2
1U U
v
¶ ¶
Þ -
¶ ¶2 2
 = 0
r t
, Đặt: 
t =
r
v
Þ
2 2U U
t
¶ ¶
-
¶ ¶2 2
= 0
t
(PT sóng) , Đặt: 
4.1. Trường điện từ biến thiên và tính chất sóng 
§ Lưu ý: 
U U
t t
¶ ¶ ¶ ¶æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷
¶ ¶ ¶ ¶è ø è ø
=
t t
U U
t t
¶ ¶ ¶ ¶æ öæ ö
+ -ç ÷ç ÷
¶ ¶ ¶ ¶è øè ø
= 0
t t
U U
t t
¶ ¶ ¶ ¶æ öæ ö
- +ç ÷ç ÷
¶ ¶ ¶ ¶è øè ø
= 0
t t
Þ
4 
ã Trần Quang Việt – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM a et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 
t t-1 2U=K f(t )+K g(t+ )
U U
t
¶ ¶æ ö
-ç ÷¶ ¶è ø
= 0
t
U U
t
¶ ¶æ ö
+ç ÷¶ ¶è ø
= 0
t
Þ Þ
t-U= f(t )
t+U= g(t )
Þ
4.1. Trường điện từ biến thiên và tính chất sóng 
§ Kết quả : 
Þ - +r r1 2v vU=K f t +K g t
1
j é ù- +ë û
r r
1 2v v(r,t)= K f t +K g t
r
§ Nhận xét : 
+r
0
-r
- rvf t
+ wave vận tốc v 
+ rvg t
- wave vận tốc v 
t 
Source@r=0: g(t)=f(t) 
ã Trần Quang Việt – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM a et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 
§ Do hệ tọa độ cầu nên chỉ có hướng +r:
( ) /vjÞ
K
 r,t = f(t-r )
r
với f(t) liên quan tới nguồn sinh ra j
§ Nếu q không thay đổi theo t thì: ( )
q
 r =
4 r
j
pe
§ Vậy khi q thay đổi theo t thì: 
/
( )
v
j
pe
q(t-r )
r,t =
4 r
§ Kết luận: điện tích điểm q(t) sinh ra trường biến thiên có 
 tính chất lan truyền --> sóng điện từ; vận tốc:
4.1. Trường điện từ biến thiên và tính chất sóng 
1
v
e m
= (m/s)
5 
ã Trần Quang Việt – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM a et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 
1
4 V
r
j
pe
-
ò
(t R/v)dV
(t)=
R
4.1. Trường điện từ biến thiên và tính chất sóng 
q Nghiệm PT d’Alembert - thế chậm 
m
p
-
ò
r
ur
V
J(t R /v)dV
A (t)=
4 R
q Ý nghĩa của thế chậm: 
§ Trường điện từ biến thiên có khả năng lan truyền trong 
 không gian dưới dạng sóng điện từ 
§ Công cụ toán quan trọng để tính trường điện từ bức xạ 
 bởi anten 
ã Trần Quang Việt – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM a et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 
4.2. Định lý Poynting 
q Áp dụng kết quả giải tích vectơ ta có:
div(E×H)=HrotE-ErotH
ur ur ur ur ur ur
q Áp dụng hệ phương trình Maxwell:
)
B D
div(E×H)=-H -E(J
t t
¶ ¶
+
¶ ¶
ur ur
ur ur ur ur r 1 1
2 2
=-JE- HB - ED
t t
¶ ¶æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷
¶ ¶è ø è ø
rur urur urur
q Lấy tích phân 2 vế trong V:
1 1
2 2V
div(E×H)dV=- JEdV- HBdV - EDdV
V V V
d d
dt dt
æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò ò ò ò
ur ur rur urur urur
m e
d
d(W +W )
(E×H)dS=P +
dtS
- ò
ur ur uur
 (Lưu ý: dS hướng ra khỏi V) 
6 
ã Trần Quang Việt – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM a et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 
4.2. Định lý Poynting 
q Theo định luật bảo toàn & chuyển hóa NL:
m e
d
d(W +W )
PdS=P +
dtS
- ò
uruur

dP : Công suất tổn hao nhiệt trong V 
m ed(W +W )
dt
: Thay đổi NL điện từ trong V 
(E×H)dS
S
- ò
ur ur uur
 : Công suất gửi vào trong V qua S à CS điện từ 
P E×H=
ur ur ur
: Vectơ Poynting (mật độ dòng cs điện từ) 
: Định lý Poynting 
q Tính công suất điện từ qua mặt S: ( )EMP PdS S
W= ò
uruur
ã Trần Quang Việt – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM a et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 
4.3. Trường điện từ biến thiên điều hòa 
q Quy luật biến thiên theo thời gian của trường phụ thuộc vào 
 quy luật biến thiên của nguồn (mật độ điện tích và mật độ 
 dòng điện). Trong kỹ thuật ta thường gặp tín hiệu nguồn biến 
 thiên điều hòa, mặt khác một tín hiệu bất kỳ đều có thể biểu 
 diễn thành tổng các tín hiệu điều hòa dùng chuỗi Fourier (tín 
 hiệu tuần hoàn) hoặc tích phân Fourier (tín hiệu không tuần 
 hoàn) à khảo sát trường điều hoàn là cơ bản và thực tế. 
q Một vectơ trường biến thiên điều hòa sẽ có dạng: 
) ) )x y zxm x ym y zm zX=X cos( t+ a +X cos( t+ a X cos( t+ aw w wY Y + Y
ur r r r
xm xm ym ym zm zmX =X (x,y,z);X =X (x,y,z);X =X (x,y,z)
x x y y z z(x,y,z); (x,y,z); (x,y,z)Y =Y Y = Y Y = Y
7 
ã Trần Quang Việt – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM a et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 
4.3. Trường điện từ biến thiên điều hòa 
q Biểu diễn phức trường biến thiên điều hòa: 
)) )yx zj( t+j( t+ j( t+
x y zxm ym zmX=Re{X e }a +Re{X e }a Re{X e }a
ww wYY Y+
ur r r r
)) )yx zj( t+j( t+ j( t+
cx y zxm ym zmX=Re{X e a +X e a +X e a }=Re{X }
ww w
·
YY Y
ur r r r ur
)) )yx zj( t+j( t+ j( t+
c x y zxm ym zmX =X e a +X e a +X e a
ww w
·
YY Y
ur r r r
j tXe w
·
=
ur
yx z
jj j
x y zxm ym zmX=X e a +X e a +X e a
·
YY Y
ur r r r
X
ur
cX
·ur
X
·ur
Vectơ vật lý 
(miền thời gian) 
Vectơ biên độ 
phức tức thời 
Vectơ biên độ phức 
(miền phức – tần số) 
ã Trần Quang Việt – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM a et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 
4.3. Trường điện từ biến thiên điều hòa 
q Ví dụ về biểu diễn phức trường biến thiên điều hòa: 
2 2
25 ) 5 ) z
pw w- -Þ - - - -
ur r r
x x
yE=3e cos( t x a 2e cos( t x a
2 25 ) 5 ) zw w- -- - -
ur r r
x x
yE=3e cos( t x a 2e sin( t x a
2
5 )2 5 ) 2
c z
pww - -- - -Þ -
ur r r
j( t xx j( t x x
yE =3e e a 2e e a
22 5 2 5 ]c z
p w-- - - -Þ -
ur r r
jx j x x j x j t
yE =[3e e a 2e e e a e 2 5]z - -Þ
ur r r
x j x
yE=[3a +j2a e e
6]z -
ur r r
j y
xH=[j2a +3a e
2
6 )6 6 )]c z z
pww w-- -=
ur r r r r
j( t y+j y j t j( t y
x xH =[j2a +3a e e 2e a +3e a
2Re{ 6 ) 6 )c z
pw w= - -
ur ur r r
xH H }=2cos( t y+ a +3cos( t y a
Re{ 6 ) 6 )c zw w= - - -
ur ur r r
xH H }= 2sin( t y a +3cos( t y a
8 
ã Trần Quang Việt – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM a et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 
4.3. Trường điện từ biến thiên điều hòa 
q Hệ phương trình Maxwell dạng phức: 
D
rotH J
t
¶
= +
¶
ur
ur r
Þ
E
rotH E
t
s e
¶
= +
¶
ur
ur ur
Þ
E
rot H E
t
C
C Cs e
·
· · ¶
= +
¶
ur
ur ur
)j t j t j trot( H E j Ee e ew w ws we
· · ·
= +
ur ur ur
Þ Þ ( )rot H j Es we
· ·
= +
ur ur
Tương tự, ta có hệ phương trình Maxwell dạng phức: 
( )rot H j Es we
· ·
= +
ur ur
rot E j Hwm
· ·
= -
ur ur
/div E vr e
· ·
=
ur
0divH
·
=
ur
(1)
(2)
(3)
(4)
~
rot H j Ewe
· ·
=
ur ur
rot E j Hwm
· ·
= -
ur ur
/div E vr e
· ·
=
ur
0divH
·
=
ur
(1)
(2)
(3)
(4)
Hoặc 
~
( / )je e s w= - : độ thẩm điện phức 
ã Trần Quang Việt – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM a et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 
q Vectơ Poynting trung bình – Công suất ĐT trung bình:
Re{ } Re{ }c cP(t)=E×H E H= ´
 ur ur ur ur ur
*1
2Re{ } Re{ } ( )cE E E E
j t j t j te e ew w w-= = +
   ur ur ur ur
*1
2Re{ } Re{ } ( )cH H H H
j t j t j te e ew w w-= = +
   ur ur ur urVới: 
2 * * 2 * *1 1 1 1
4 4 4 4P(t)= E H E H E H E H
j t j te ew w-´ + ´ + ´ + ´
       ur ur ur ur ur ur ur ur ur
Þ
2 *1 1
2 2Re{ } Re{ }P(t)= E H E H
j te w´ + ´
   ur ur ur ur ur
Þ
Þ *1
2 Re{ } E H= ´
 ur ur ur
4.3. Trường điện từ biến thiên điều hòa 
S
>= ò
ur uur
EM<P P dS Þ2
W
m
W
(MĐCSĐT trung bình ) (CS điện từ trung bình)
9 
ã Trần Quang Việt – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM a et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 
q Mật độ CS tổn hao trung bình – CS tổn hao trung bình:
( ) Re{ }Re{ } Re{ }Re{ }c c c cs= = =
rur r ur ur ur
dp t JE J E E E
4.3. Trường điện từ biến thiên điều hòa 
*1
2Re{ } Re{ } ( )cE E E E
j t j t j te e ew w w-= = +
   ur ur ur ur
* 2
4( ) ( )
j t j te ew ws -= +
 ur ur
dp t E E
2 2 2
2 2( ) Re{( ) } | |
j te ws s= +
 ur ur
dp t E EÞ
2 2 * 2 2 2
4 4 2( ) ( ) ( ) | |
j t j te ew ws s s-= + +
  ur ur ur
dp t E E E
Þ
Þ
Þ 21
2 | |s>=
ur
d<p E 3
W
m
21
2 | |V
s>= ò
ur
d<P E dVÞ W
(MĐCSTH trung bình ) (CS tổn hao trung bình)
ã Trần Quang Việt – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM a et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 
4.3. Trường điện từ biến thiên điều hòa 
q Ví dụ về tính trường điều hòa dùng pp biên độ phức: 
Trong môi trường có m=m0, tồn tại trường điện có vectơ 
cường độ trường điện: 
810 cos(2 .10 3 ) ( / )E z xe t z a V mpp p p-= -
ur r
Hãy xác định vectơ cường độ trường từ gắn với trường 
điện trên? Tính CSĐT trung bình qua hình vuông a=2m 
trong măt phẳng z=1cm 
10 
ã Trần Quang Việt – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM a et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 
4.3. Trường điện từ biến thiên điều hòa 
810 cos(2 .10 3 )z xe t z app p p-= -
ur r
E 310 z j z xx xe e a ap pp - -Þ = =
 ur r r
E E
Áp dụng hệ pt Maxwell dạng phức ta có: 
0j jwm wm= - = -
  ur ur ur
rot E H H 2
0
1
80
j
jwm p-
Þ = =
  ur ur ur
H rot E rot E
2 2
3
80 80
( 3 )
8
0 0
x y z
xj j z j z
y yx y z
x
a a a
j
a e e a
z
p p
p p
- -¶ ¶ ¶
¶ ¶ ¶
¶ -
Þ = = =
¶



r r r
ur r rE
H 
E 
6 30.25
j z j z
ye e e a
p
p p- - -Þ =
ur r
H
8
60.25 cos(2 .10 3 )
z
ye t z a
p pp p-Þ = - -
ur r
H
ã Trần Quang Việt – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM a et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/12-13 
4.3. Trường điện từ biến thiên điều hòa 
310 z j z xe e a
p pp - -=
ur r
E
Áp dụng: 
6 3..... 0.25
j z j z
ye e e a
p
p p- - -Þ =
ur r
H
*1
2 Re{ } E H= ´
 ur ur ur
62 2
61.25 Re{ } 1.25 cos( )
jz z
z ze e a e a
p
p ppp p- -Þ = =
ur r r
2
23.4 ( )z Wz
m
e ap-Þ =
ur r
x
y z
ur
0
a
a
z
2
0 0
2 2 2
3.4
3.4 13.6 ( )
a a
z
EM z
z z
e dxdy
a e e W
p
p p
-
- -
> =
= =
ò ò<P
22 10
1 13.6 12.77( )EM z cm e W
p --
=Þ > = =<P