Bài giảng Toán A2 - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính - Nguyễn Anh Thi

i niệm chung
Nghiệm của hệ
phương trình tuyến
tính
Giải hệ phương trình
tuyến tính
Định lý
Kronecker-Capelli
Nội dung
Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Giải hệ phương trình tuyến tính
Định lý Kronecker-Capelli
Quy tắc Cramer
Giải hệ phương trình

x + y − 2z = 4;
2x + 3y + 3z = 3;
5x + 7y + 4z = 10.
∆ = |A| =
∣∣∣∣∣∣
1 1 −2
2 3 3
5 7 4
∣∣∣∣∣∣ = 0; ∆1 = |A1| =
∣∣∣∣∣∣
4 1 −2
3 3 3
10 7 4
∣∣∣∣∣∣ = 0;
∆2 = |A2| =
∣∣∣∣∣∣
1 4 −2
2 3 3
5 10 4
∣∣∣∣∣∣ = 0;
∆3 = |A3| =
∣∣∣∣∣∣
1 1 4
2 3 3
5 7 10
∣∣∣∣∣∣ = 0. Vì ∆ = ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0
nên không kết luận được nghiệm của hệ. Do đó ta phải dùng
Gauss hoặc Gauss-Jordan để giải.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 2: HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ
phương trình tuyến
tính
Giải hệ phương trình
tuyến tính
Định lý
Kronecker-Capelli
Nội dung
Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Giải hệ phương trình tuyến tính
Định lý Kronecker-Capelli
Quy tắc Cramer
Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R:
x1 + 2x2 + 2x3 = 0;
−2x1 + (m− 2)x2 + (m− 5)x3 = 2;
mx1 + x2 + (m+ 1)x3 = −2.
∆ = |A| =
∣∣∣∣∣∣
1 2 2
−2 m− 2 m− 5
m 1 m+ 1
∣∣∣∣∣∣ = (m− 1)(m− 3);
∆1 = |A1| =
∣∣∣∣∣∣
0 2 2
2 m− 2 m− 5
−2 1 m+ 1
∣∣∣∣∣∣ = −4m+ 12;
∆2 = |A2| =
∣∣∣∣∣∣
1 0 2
−2 2 m− 5
m 2 m+ 1
∣∣∣∣∣∣ = 0;
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 2: HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ
phương trình tuyến
tính
Giải hệ phương trình
tuyến tính
Định lý
Kronecker-Capelli
Nội dung
Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Giải hệ phương trình tuyến tính
Định lý Kronecker-Capelli
Quy tắc Cramer
∆3 = |A3| =
∣∣∣∣∣∣
1 2 0
−2 m− 2 2
m 1 −2
∣∣∣∣∣∣ = 2m− 6;
• ∆ 6= 0 ⇔
{
m 6= 1
m 6= 3. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là
(x1, x2, x3) = ( −4m−1 , 0,
2
m−1)
• ∆ = 0 ⇔
[
m = 1
m = 3
• m=1, ∆1 = 8 6= 0 nên hệ vô nghiệm.
• m = 3, ∆ = ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Khi đó hệ phương trình
là
 1 2 2 0−2 1 −2 2
3 1 4 −2

Nghiệm của hệ là (x1, x2, x3) = (3t− 2, t, 1− 52 t) với t tự do.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 2: HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ
phương trình tuyến
tính
Giải hệ phương trình
tuyến tính
Định lý
Kronecker-Capelli
Nội dung
Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Giải hệ phương trình tuyến tính
Định lý Kronecker-Capelli
Quy tắc Cramer
Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R:
(m− 7)x + 12y − 6z = m;
−10x + (m+ 19)y − 10z = 2m;
−12x + 24y + (m− 13)z = 0.
∆ =
∣∣∣∣∣∣
m− 7 12 −6
−10 m+ 9 −10
−12 24 m− 13
∣∣∣∣∣∣ = (m− 1)2(m+ 1)
∆1 =
∣∣∣∣∣∣
m 12 −6
2m m+ 9 −10
0 24 m− 13
∣∣∣∣∣∣ = m(m− 1)(m− 17)
∆2 =
∣∣∣∣∣∣
m− 7 m −6
−10 2m −10
−12 0 m− 13
∣∣∣∣∣∣ = 2m(m− 1)(m− 14)
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 2: HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ
phương trình tuyến
tính
Giải hệ phương trình
tuyến tính
Định lý
Kronecker-Capelli
Nội dung
Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Giải hệ phương trình tuyến tính
Định lý Kronecker-Capelli
∆3 =
∣∣∣∣∣∣
m− 7 12 m
−10 m+ 9 2m
−12 24 0
∣∣∣∣∣∣ = 36m(m− 1)
Biện luận
• Nếu ∆ 6= 0 ⇔ m 6= 1,−1. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất
là

x = ∆1∆ =
m(m2−18m+17)
(m−1)(m2−1) =
m(m−17)
m2−1 ;
y = ∆2∆ =
m(m2−15m+14)
(m−1)(m2−1) =
m(m−14)
m2−1 ;
z = ∆3∆ =
−36m(m−1)
(m−1)(m2−1) =
−36m
m2−1 .
• Nếu ∆ = 0 ⇔
[
m = −1
m = 1
• m = −1, ∆1 = −36 6= 0, hệ vô nghiệm.
• m = 1, ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Ta có hệ −6x + 12y − 6z = 1;−10x + 20y − 10z = 2;−12x + 24y − 12z = 0.
Hệ vô nghiệm.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 2: HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ
phương trình tuyến
tính
Giải hệ phương trình
tuyến tính
Định lý
Kronecker-Capelli
Nội dung
Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Giải hệ phương trình tuyến tính
Định lý Kronecker-Capelli
Định lý Kronecker-Capelli
Định lý (Kronecker-Capelli)
Nếu A˜ = (A|B) là ma trận mở rộng của hệ gồm n ẩn dạng
AX = B thì r(A˜) = r(A) hoặc r(A˜) = r(A) + 1. Hơn nữa,
• nếu r(A˜) = r(A) + 1 thì hệ vô nghiệm;
• nếu r(A˜) = r(A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất;
• nếu r(A˜) = r(A) < n thì hệ có vô số nghiệm với bậc tự do
là n− r(A).
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 2: HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ
phương trình tuyến
tính
Giải hệ phương trình
tuyến tính
Định lý
Kronecker-Capelli
Nội dung
Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Giải hệ phương trình tuyến tính
Định lý Kronecker-Capelli
Định lý Kronecker-Capelli
Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau theo tham số
m. 
3x1 + 5x2 + 3x3 − 4x4 = 1;
2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 0;
5x1 + 9x2 + 6x3 − 15x4 = 2;
13x1 + 22x2 + 13x3 − 22x4 = 2m.
Ta có ma trận mở rộng
A˜ = (A|B) =

3 5 3 −4 1
2 3 1 1 0
5 9 6 −15 2
13 22 13 −22 2m

Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 2: HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ
phương trình tuyến
tính
Giải hệ phương trình
tuyến tính
Định lý
Kronecker-Capelli
Nội dung
Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Giải hệ phương trình tuyến tính
Định lý Kronecker-Capelli
Định lý Kronecker-Capelli
Dạng bậc thang R của ma trận mở rộng
1 2 2 −5 1
0 −1 −3 11 −2
0 0 −1 −1 −1
0 0 0 0 2m− 4

Biện luận
• Với 2m− 4 6= 0 ⇔ m 6= 2. Khi đó hệ vô nghiệm.
• Với m = 2, hệ tương đương với hệ sau :
x1 + 2x2 + 2x3 − 5x4 = 1
− x2 − 3x3 + 11x4 = −2
− x3 − x4 = −1
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 2: HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ
phương trình tuyến
tính
Giải hệ phương trình
tuyến tính
Định lý
Kronecker-Capelli
Nội dung
Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Giải hệ phương trình tuyến tính
Định lý Kronecker-Capelli
Định lý Kronecker-Capelli
Chọn x4 = t ta tính được
x3 = 1− x4 = 1− t;
x2 = 2− 3x3 + 11x4 = −1+ 14t;
x1 = 1− 2x2 − 2x3 + 5x4 = 1− 21t
Vậy khi m = 2, hệ đã cho có vô số nghiệm với một ẩn tự do
(x1, x2, x3, x4) = (1− 21t,−1+ 14t, 1− t, t)
với t ∈ R tùy ý.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 2: HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ
phương trình tuyến
tính
Giải hệ phương trình
tuyến tính
Định lý
Kronecker-Capelli
Nội dung
Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Giải hệ phương trình tuyến tính
Định lý Kronecker-Capelli
Định lý Kronecker-Capelli
Ví dụ
Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau theo tham số
m. 
x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1;
x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 2;
x1 − x2 + 4x3 − x4 = m;
4x1 + 3x2 − x3 + mx4 = m2 − 6m+ 4.
Ta có ma trận mở rộng
A˜ = (A|B) =

1 1 −1 2 1
1 2 −3 4 2
1 −1 4 −1 m
4 3 −1 m m2 − 6m+ 4

Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 2: HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ
phương trình tuyến
tính
Giải hệ phương trình
tuyến tính
Định lý
Kronecker-Capelli
Nội dung
Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Giải hệ phương trình tuyến tính
Định lý Kronecker-Capelli
Định lý Kronecker-Capelli
Dạng bậc thang của ma trận mở rộng
1 1 −1 2 1
0 1 −2 2 1
0 0 1 1 m+ 1
0 0 0 m− 7 m2 − 7m

Biện luận
• Với m− 7 6= 0 ⇔ m 6= 7, hệ có nghiệm
x4 = m ;
x3 = m+ 1− x4 = 1;
x2 = 1+ 2x3 − 2x4 = 3− 2m;
x1 = 1− x2 + x3 − 2x4 = −1.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 2: HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ
phương trình tuyến
tính
Giải hệ phương trình
tuyến tính
Định lý
Kronecker-Capelli
Nội dung
Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Khái niệm chung
Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Giải hệ phương trình tuyến tính
Định lý Kronecker-Capelli
Định lý Kronecker-Capelli
Vậy khi m 6= 7 hệ đã cho có duy nhất một nghiệm là:
(x1, x2, x3, x4) = (−1, 3− 2m, 1,m).
• Với m = 7, hệ tương đương với hệ sau:
x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1;
x2 − 2x3 + 2x4 = 1;
x3 + x4 = 8.
Chọn x4 = t ta tính được
x3 = 8− x4 = 8− t;
x2 = 1+ 2x3 − 2x4 = 17− 4t;
x1 = 1− x2 + x3 − 2x4 = −8+ t.
Vậy khi m = 7 hệ đã cho có vô số nghiệm với một ẩn tự do
(x1, x2, x3, x4) = (−8+ t, 17− 4t, 8− t, t)
với t ∈ R tùy ý.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2