Bài giảng Toán A2 - Chương 1: Ma trận và định thức - Nguyễn Anh Thi

−594.
Chú ý
Vì |AT| = |A| nên trong quá trình tính định thức ta có thể sử
dụng các phép biến đổi sơ cấp trên cột.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: MA
TRẬN VÀ
ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả
nghịch và ma trận
nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải
phương trình ma
trận.
Nội dung
Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải phương trình ma trận.
Định lý Laplace
• Ký hiệu Ai1,i2,...,ik;j1,j2,...,jk là ma trận chỉ lấy các dòng
i1, i2, . . . , ik và các cột j1, j2, . . . , jk của A.
• Ký hiệu Ai1,i2,...,ik;j1,j2,...,jk là ma trận có được bằng cách bỏ
đi các dòng i1, i2, . . . , ik và các cột j1, j2, . . . , jk của A.
Định lý (Laplace)
Cho A là ma trận vuông cấp n. Chọn các dòng
i1 < i2 < · · · < ik, ta có:
|A| =
∑
i1<i2<···<ik
(−1)(i1+i2+···+ik)+(j1+j2+···+jk)×
|Ai1,i2,...,ik;j1,j2,...,jk | × |Ai1,i2,...,ik;j1,j2,...,jk |
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: MA
TRẬN VÀ
ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả
nghịch và ma trận
nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải
phương trình ma
trận.
Nội dung
Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải phương trình ma trận.
Ma trận khả nghịch và ma trận
nghịch đảo
• Định nghĩa
• Nhận diện ma trận khả nghịch
• Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: MA
TRẬN VÀ
ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả
nghịch và ma trận
nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải
phương trình ma
trận.
Nội dung
Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải phương trình ma trận.
Định nghĩa
Định nghĩa
Cho A ∈ Mn(K). Ta nói A khả nghịch nếu tồn tại ma trận B
sao cho AB = BA = In. Nếu B thỏa điều kiện trên được gọi là
ma trận nghịch đảo của A.
Nhận xét
Ma trận nghịch đảo của một ma trận khả nghịch là duy nhất.
Ta ký hiệu ma trận nghịch đảo của A là A−1.
Ví dụ
Cho A =
(
3 5
1 2
)
. Khi đó A−1 =
(
2 −5
−1 3
)
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: MA
TRẬN VÀ
ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả
nghịch và ma trận
nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải
phương trình ma
trận.
Nội dung
Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải phương trình ma trận.
Tính chất
Cho A,B ∈ Mn(K). Giả sử A khả nghịch và có ma trận nghịch
đảo là A−1. Khi đó
• A−1 khả nghịch và (A−1)−1 = A.
• AT khả nghịch và (AT)−1 = (A−1)T.
• ∀α ∈ K\{0}, αA khả nghịch và (αA)−1 = 1αA−1.
• Nếu A và B khả nghịch thì AB khả nghịch, hơn nữa
(AB)−1 = B−1A−1.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: MA
TRẬN VÀ
ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả
nghịch và ma trận
nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải
phương trình ma
trận.
Nội dung
Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải phương trình ma trận.
Nhận diện ma trận khả nghịch
Định lý
Cho A ∈ Mn(K). Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
i. A khả nghịch.
ii. |A| 6= 0.
iii. r(A) = n.
iv. Tồn tại các phép BĐSCTD ϕ1, ..., ϕk biến ma trận A thành
ma trận đơn vị In. A
ϕ1−→ A1 → . . . ϕk−→ Ak = In. Hơn nữa,
khi đó qua chính các phép BĐSCTD ϕ1, ϕ2, . . . , ϕk, ma
trận đơn vị In sẽ biến thành ma trận nghịch đảo A−1:
In
ϕ1−→ B1 → . . . ϕk−→ Bk = A−1.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: MA
TRẬN VÀ
ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả
nghịch và ma trận
nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải
phương trình ma
trận.
Nội dung
Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải phương trình ma trận.
Phương pháp tìm ma trận nghịch
đảo
Phương pháp 1
Lập (A|In) và dùng các phép BĐSCTD đưa A về dạng bậc thang
rút gọn: (A|In) ϕ1−→ (A1|B1)→ . . . ϕp−→ (Ap|Bp) . . .
Trong quá trình biến đổi có thể xảy ra hai trường hợp:
• Trường hợp 1: Trong dãy biến đổi trên, tồn tại p sao cho
ma trận Ap có ít nhất một dòng hay một cột bằng 0. Khi
đó A không khả nghịch.
• Trường hợp 2: Mọi ma trận Ai trong dãy biến đổi trên đều
không có dòng hay cột bằng 0. Khi đó ma trận cuối cùng
trong dãy trên có dạng (In|B). Ta có A khả nghịch và
A−1 = B.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: MA
TRẬN VÀ
ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả
nghịch và ma trận
nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải
phương trình ma
trận.
Nội dung
Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải phương trình ma trận.
Phương pháp tìm ma trận nghịch
đảo
Phương pháp 2
Cho A = (aij) ∈ Mn(K). Đặt C = (cij) với cij = (−1)i+j|A(i|j)| là
phần bù đại số của aij. Ta gọi ma trận chuyển vị CT của C là
ma trận phụ hợp của A, ký hiệu là adj(A). Khi đó ma trận
nghịch đảo của ma trận A được xác định bởi
A−1 = 1|A|adj(A)
Ví dụ
Tìm ma trận nghịch đảo của A =
 1 1 12 3 1
3 4 0

Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: MA
TRẬN VÀ
ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả
nghịch và ma trận
nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải
phương trình ma
trận.
Nội dung
Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải phương trình ma trận.
c31 = (−1)3+1
∣∣∣∣ 1 13 1
∣∣∣∣ = −2; c32 = (−1)3+2 ∣∣∣∣ 1 12 1
∣∣∣∣ = 1
|A| = 3c31 + 4c32 = 3.(−2) + 4.1 = −2 6= 0.
Vậy ma trận A khả nghịch.
Tương tự như trên ta có thể tính được c11 = −4; c12 = 3; c13 =
−1; c21 = 4; c22 = −3; c23 = −1; c33 = 1. Từ đó ta có ma trận
C =
 −4 3 −14 −3 −1
−2 1 1
 và adj(A) =
 −4 4 −23 −3 1
−1 −1 1
. Suy
ra A−1 = 1|A|adj(A) =
1
−2
 −4 4 −23 −3 1
−1 −1 1

Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: MA
TRẬN VÀ
ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả
nghịch và ma trận
nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải
phương trình ma
trận.
Nội dung
Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải phương trình ma trận.
Hệ quả
Ma trận A =
(
a b
c d
)
khả nghịch khi và chỉ khi ad− bc 6= 0.
Khi đó
A−1 = 1ad− bc
(
d −b
−c a
)
Ví dụ
Cho A =
(
2 4
3 5
)
. Suy ra A−1 = 1−2
(
5 −4
−3 2
)
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: MA
TRẬN VÀ
ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả
nghịch và ma trận
nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải
phương trình ma
trận.
Nội dung
Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải phương trình ma trận.
Giải phương trình ma trận
Định lý
Cho các ma trận A,A′ ∈ Mn(K) khả nghịch và B ∈ Mn×p(K),
C ∈ Mm×n(K), D ∈ Mn(K). Khi đó
• AX = B ⇔ X = A−1B;
• XA = C ⇔ X = CA−1;
• AXA′ = D ⇔ X = A−1DA′−1.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: MA
TRẬN VÀ
ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả
nghịch và ma trận
nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải
phương trình ma
trận.
Nội dung
Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải phương trình ma trận.
Giải phương trình ma trận
Ví dụ
Cho hai ma trận
A =

1 2 3 −2
2 −1 −2 −3
3 2 −1 −5
2 −3 1 −3
 ;B =

1 −1 0 0
0 1 −1 0
0 0 1 −1
0 0 0 1

a. Chứng tỏ A khả nghịch và tìm A−1.
b. Tìm ma trận X thỏa AXA = AB.
c. Tìm ma trận X thỏa A2XA2 = ABA2.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2
Bài giảng môn
học Toán A2
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: MA
TRẬN VÀ
ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả
nghịch và ma trận
nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải
phương trình ma
trận.
Nội dung
Chương 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
1. Số phức.
2. Ma trận.
3. Định thức.
4. Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo
5. Ứng dụng: Giải phương trình ma trận.
Hệ quả
Cho các ma trận A ∈ Mn(K) khả nghịch và B ∈ Mn×p(K),
C ∈ Mm×n(K). Ta có
• Nếu AB = 0 thì B = 0.
• Nếu CA = 0 thì C = 0.
Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán A2