Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 6: Lý thuyết ước lượng - Phạm Trí Cao

ät bao
bột mì thuộc cửa hàng vào khoảng (47,766 ; 48,234) kg
2) t(n–1) = t(19) = 325,25,0
20)26,0(
  2,3457
(2,3457 là giá trị gần 2,325 nhất trong bảng tra).
  = 0,97 = 97% (tra bảng H)
3)  = 0,16 kg ,  = 95%  t =1,96
125,616,0
5,0)96,1(. 

 stn  n = (6,125)2 = 37,51  38
Lưu ý: Do n chưa biết, ta xấp xĩ :  tnt  )1(
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6
6
21
B. ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ p : với n  30
n
fftfp )1(  
hay n
fftfpn
fftf )1()1(  
Điều kiện áp dụng :







10)1.(
10.
fn
fn
Dạng toán:
Cũng có 3 dạng toán giống ước lượng trung bình
Tham số mẫu: f
Dùng công thức n
fft )1(   22
Bài 5 : Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của một
kho đồ hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp
thấy có 11 hộp xấu.
1) Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp .
2) Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp
với độ tin cậy 94%.
3) Với sai số cho phép  = 3%, hãy xác định độ tin
cậy.
23
Giải
1) n = 100 , 11,0100
11 f
Vậy tỷ lệ hộp xấu của kho là 11%
2)  = 94% = 0,94  t =1,8808 (tra bảng G)
n
fft
fp
)1( 
  =
100
)11,01(11,08808,111,0  = 0,11  0,059
Vậy với độ tin cậy 94%, tỷ lệ sản phẩm xấu c ủa kho đồ hộp
vào khoảng (0,051 ; 0,169)  5,1% < p < 16,9%
3)  = 3% = 0,03
96,0
)1(



ff
nt 
(0,96) = 0,3315  = 2(0,96)= 0,663 = 66,3%
24
Bài 6: Lô trái cây của một chủ hàng được đóng thành sọt
mỗi sọt 100 trái. Kiểm tra 50 sọt thấy có 450 trái không
đạt tiêu chuẩn.
1) Ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô
hàng với độ tin cậy 95%.
2) Muốn ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với
độ chính xác 0,5% thì độ tin cậy đạt được là bao nhiêu?
3) Muốn ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với
độ tin cậy 99% và độ chính xác 1% thì cần kiểm tra bao
nhiêu sọt?
4) Muốn ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với
độ tin cậy 99,70% thì độ chính xác đạt được là bao
nhiêu?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6
7
25
1) Gọi p là tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn, ta cần
ước lượng p với độ tin cậy 95%.
Ta có  = 95%  t =1,96
09,05000
450 f
008,05000
)09,01(09,096,1 
khoảng ước lượng của p là: 0,082 < p < 0,098
2) Từ công thức
n
fft )1(  
Suy ra 24,1)09,01(09,0
5000005,0
)1(





ff
nt 
 = 2 (t) = 2  0,3925 = 0,785. (tra bảng F)
Vậy độ tin cậy đạt được 78,5%. 26
3) Ta cần xác định kích thước mẫu n thỏa mãn độ
chính xác 1% và độ tin cậy 99% khi ước lượng p.
Ta có  = 99%  t = 2,58 (tra bảng G)
Áp dụng công thức 2
)1(2


fftn 
Ta có 54522)01,0(
)09,01(09,0258,2 n (trái)
Vì mỗi sọt có 100 trái nên ta cần kiểm tra 55 sọt.
4) Ta cần xác định độ chính xác  với độ tin cậy
99,70% (ứng t = 2,9677) với kích thước mẫu n = 5000.
Ta có : 012,0
5000
)09,01(09,09677,2)1(  n
fft
Vậy độ chính xác đạt được 1,2%.
27
Câu hỏi:
 Qua 2 thí dụ trên bạn rút ra được các điều cần lưu ý
chưa?
 “Chuyện nhỏ nhưng nếu không biết lại là chuyện
lớn” (nhạc Rap VN)!
28
Bài 7 : Một lô hàng có 5000 sản phẩm. Chọn
ngẫu nhiên 400 sản phẩm từ lô hàng để kiểm tra
thì thấy có 360 sản phẩm loại A.
1)Hãy ước lượng số sản phẩm loại A có trong lô
hàng với độ tin cậy 96%?
2)Nếu muốn ước lượng số sản phẩm loại A của
lô hàng đạt được độ chính xác 150 sản phẩm
và độ tin cậy 99% thì phải kiểm tra bao nhiêu
sản phẩm?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6
8
29
1) n = 400, f = 360 / 400 = 0,9,  = 96%  t = 2,0537
p = f  t n
ff )1(  = 0,9  2,0537
400
1,0.9,0
400
1,0.9,00537,29,0
400
1,0.9,00537,29,0  p
0,8692 < p < 0,9308
Gọi M là số sản phẩm loại A có trong lô hàng:
0,8692* 5000 < M < 0,9308 * 5000
2) Với  = 150 / 5000 = 0,03
 = 99% t = 2,5758
 = t 
















 fftnn
ff 1
2)1(


666665,640203,0
1,0.9,0258,2 n sản phẩm
30
(Chứng minh: gọi  là độ chính xác của ước lượng
khoảng ứng với 400 sản phẩm, và ' là độ chính
xác của ước lượng khoảng ứng với 5000 sản
phẩm.
Ta có  fp ứng với ước lượng tỷ lệ của 400
sản phẩm. NNfNp  là ước lượng ứng với N=
5000 sản phẩm, và độ chính xác là '= N= 150.
Vậy  = '/N= 150/5000 = 0,03 )
31
Câu hỏi:
 Bạn đã rút ra được điều cần lưu ý từ thí dụ này chưa?
 Hãy để chuyện nhỏ mãi mãi là chuyện nhỏ!
32
Bài 8 : Điều tra năng suất lúa trên diện tích 100
hecta trồng lúa của một vùng, ta thu được bảng số
liệu sau:
Năng suất (tạ/ha) 41 44 45 46 48 52 54
Số ha có năng suất
tương ứng
10 20 30 15 10 10 5
1) Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của
vùng đó với độ tin cậy 95%?
2) Những thửa ruộng có năng suất từ 48tạ/ha trở
lên là những thửa có năng suất cao. Hãy ước lượng
tỷ lệ diện tích có năng suất cao trong vùng với độ
tin cậy 97%.
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6
9
33
1) Ta lập bảng như sau
xi ni nixi ni 2ix
41
44
45
46
48
52
54
10
20
30
15
10
10
5
410
880
1350
690
480
520
270
16.810
38.720
60.750
31.740
23.040
27.040
14.580
Tổng n = 100 4600 212680
34
Từ kết quả tính ở bảng trên ta có
Năng suất trung bình 46100
4600x tạ/ha
Phương sai của năng suất
910,10246*1002126801100
12 









s
 s= 3,303
 = 95%  t = 1,96
647,046 n
stx 
Vậy với độ tin cậy 95%, năng suất lúa trung bình của
vùng đó vào khoảng (45,353 ; 46,647) đơn vị tính tạ.
35
2) 25,0100
25 f
 = 0,97  t = 2,1701 (tra bảng G)
094,025,0)1(  n
fftfp 
Vậy với độ tin cậy 97%, tỷ lệ diện tích
lúa có năng suất cao trong vùng vào
khoảng (0,156 ; 0, 344).
36
C. ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI 2 CỦA ĐLNN
X CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN
1.Biết kỳ vọng toán EX = 
Chọn thống kê 2
2)(1
2













 

iXnnG ~ 2(n)
Ta có thể tìm 1+2 = 
Và tìm )(21
n

 và )(2 21
n



sao cho:
P(2 < )(21
n

 ) = 1 , P(2 > )(2 21
n



) = 2
P( )(21
n

 < 2 < )(2 21
n



) = 1-
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6
10
37 38
Lấy 1 = 2 = /2
P( )(2 2/
n

 < 2 < )(2 2/1
n



) = 1-
 P( )(2 2/
n

 < 2
2)(1












 iXnn < )(2 2/1
n



) = 1-
 P(
)(2 2/
2)(2
)(2 21
2)(
n
iX
n
iX






  


  ) = 1-
Trong thực hành:
)(2 2/
2)(2
)(2 21
2)(
n
ixin
n
ixin






  


  tra bảng I , bậc tự do n
39
Làm tương tự trên, ta có:
2.Không biết kỳ vọng toán EX = 
)1(2 2/
2)1(2
)1(2 21
2)1(






n
sn
n
sn





tra bảng I, bậc tự do (n–1)
40
Bài 12: Mức hao phí nguyên liệu cho một đơn vị sản
phẩm là đại lượng ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật
chuẩn. Quan sát 28 sản phẩm ta thu được kết quả sau :
Lượng nguyên liệu hao phí (gr) 19 19,5 20,0 20,5
Số sản phẩm 5 6 14 3
Với độ tin cậy 90% hãy ước lượng phương sai của X trong
2 trường hợp
1) Biết E(X) = 20 gr
2) Chưa biết E(X)
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6
11
41
1) Ta ước lượng D(X) = 2 trong trường hợp đã biết
E(X).
Để tính ni(xi – )2 ta lập bảng tính sau :
xi ni (xi – 20) ni(xi – 20)2
19,0
19,5
20,0
20,5
5
6
14
3
–1
–0,5
0
0,5
5
1,5
0
0,75
Tổng n = 28 7,25
42
Tra bảng I với bậc tự do n = 28 và  /2 = 0,05)
ta được 9279,162 05,0
2
2/   ,
3372,412 95,0
2
2/1  
Với độ tin cậy 90%, khoảng tin cậy của 2 là
)(2 2/1
2)20(
n
ixin



  < 2 <
)(2 2/
2)20(
n
ixin


 

9,16
25,72
3,41
25,7
 
2) Trường hợp này khoảng tin cậy của 2 sẽ là
)1(2 2/
2)1(2
)1(2 2/1
2)1(






n
sn
n
sn





2
2/1   ;
2
2/ là các phân vị 
2 với n – 1 = 27 bậc
tự do. 2 2/1   1,40
2
95,0  
2
2/ 2,16
2
05,0  
43
Để tính s2 ta lập bảng tính sau
xi ni nixi 2ixin
19,0
19,5
20,0
20,5
5
6
14
3
95,0
117,0
280,0
61,5
1805,00
2281,50
5600,00
1260,75
Tổng n = 28 553,5 10947,25
2126,0
2
28
5,553
28
25,10947
27
282 
























s
KTC của 2 là: 2,16
2126,0272
1,40
)2126,0(27 



hay 0,143 < 2 < 0,354 44
NHẮC LẠI: KHOẢNG TIN CẬY 2
PHÍA
ntXntX



  : ULTB, biết 
n
SntXn
SntX )1()1(   :
ULTB, chưa biết  (n<30)
n
fftfn
fftf )1()1(   :
UL tỷ lệ (n>=30)
)(2 2/
2)(2
)(2 2/1
2)(
n
ixin
n
ixin






  


  :
UL phương sai, biết µ
)1(2 2/
2)1(2
)1(2 2/1
2)1(






n
sn
n
sn





:
UL phương sai, chưa biết µ
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6
12
45
V) CÁC ƯỚC LƯỢNG 1 PHÍA
1) KTC bên phải
 
 ntX 2 : ULTB, biết 
 
 n
SntX )1(2 : ULTB, chưa biết  (n<30)


 
 n
fftf )1(2 : UL tỷ lệ (n>=30)


  2
)(21
2)(




n
ixin : UL phương sai, biết µ



 2
)1(21
2)1(


 n
sn : UL phương sai, chưa biết µ
46
2) KTC bên trái
ntX


 2 : ULTB, biết 
n
SntX )1(2   : ULTB, chưa biết  (n<30)
n
fftf )1(2



 : UL tỷ lệ (n>=30)
)(2
2)(20
n
ixin



 
 : UL phương sai, biết µ
)1(2
2)1(20



n
sn

 : UL phương sai, chưa biết µ
47
Mời ghé thăm trang web:



www37.websamba.com/phamtricao
www.phamtricao.web1000.com