Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Nguyễn Doãn Phước

hiệu ra y(t). Hμm truyền 
đ−ợc hiểu lμ: 
{ }
{ }
( ) ( )
( )
( ) ( )
y t Y s
G s
u t U s
= =L
L
, khi trạng thái đầu của hệ bằng 0. (5.3) 
− Mô hình: 
1) Với hệ tuyến tính tham số hằng thì hμm truyền (5.3) lμ 
một mô hình (hình 5.1): 
{ } { }{ }1 1( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )G s u t y t G s U s G s u t− −= ⋅ = ⋅6 L L L 
2) Hμm gốc g(t)=L−1{G(s)} của hμm truyền G(s) lμ hμm trọng l−ợng (xem lại mục 
2.1). Nó cũng lμ mô hình của hệ theo nghĩa tích chập (2.11). 
3) Đáp ứng h(t) của hệ với kích thích 1(t) ở đầu vμo đ−ợc gọi lμ hμm quá độ. Hμm 
quá độ nμy cũng lμ một mô hình của hệ theo nghĩa: 
0
( ) : ( ) ( ) (0) (0) ( ) ( ) ( )
td
h t u t y t h u t h t u d
dt
δ τ τ τ= + −∫6 (5.4) 
vμ có quan hệ với hμm truyền nh− sau: 
( )
( ) { ( )}
G s
H s h t
s
= =L ⇔ 1 ( )( ) { }G sh t
s
−= L 
4) Từ mô hình vμo−ra của hệ tuyến tính tham số hằng: 
 0 1 0 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 
n m
n mn m
dy t d y t du t d u t
a y t a a b u t b b
dt dtdt dt
τ ττ − −+ + + = − + + +" " 
ta có hμm truyền: 
 0 1
0 1
( )
m
sm
n
n
b b s b s
G s e
a a s a s
τ−+ + += + + +
"
" 
Hệ y(t)=ku(t−τ) với hμm truyền G(s)=ke−sτ đ−ợc gọi lμ hệ trễ (khâu trễ). 
5) Từ mô hình trạng thái (2.12), (2.13) của hệ liên tục tuyến tính SISO tham số 
hằng, ta có hμm truyền: 
 1( ) ( )G s C sI A B D−= − + với I lμ ma trận đơn vị 
6) Từ hμm truyền G(s) ta cũng suy ra đ−ợc hμm đặc tính tần: ( ) ( )
s j
G j G s ωω == . 
− Bμi tập: 
1) Hãy xác định hμm truyền, hμm trọng l−ợng vμ hμm quá độ của các hệ cho ở hình 
1.5. Từ đó xác định đáp ứng của chúng khi tín hiệu vμo lμ u(t)=2sin(t). 
2) Chứng minh rằng ở hệ tuyến tính tham số hằng, hμm truyền định nghĩa bởi (5.3) 
lμ không phụ thuộc tín hiệu vμo u(t). 
3) Chứng minh quan hệ 
( )
( ) ( ) ( )
dh t
h t t g t
dt
δ+ = vμ từ đó lμ công thức (5.4). 
u y
Hình 5.1: Sơ đồ khối 
G(s) 
N.D.Ph−ớc, Bộ môn ĐKTĐ, Tr−ờng ĐKBK Hà Nội 24 
6 Phép biến đổi Z và hàm truyền hệ không liên tục 
6.1 Phép biến đổi Z 
Phép biến đổi Z lμ tr−ờng hợp riêng của phép biến đổi Laplace, áp dụng cho tín hiệu 
causal không liên tục {xk}, k=0,1,2,. Sử dụng khái niệm hμm mở rộng (1.1), đặc biệt 
lμ hμm trích mẫu (1.2), thì dãy vô hạn causal trên sẽ lμ: 
 {xk}=
0
( ) ( )k a
k
x t x t kTδ∞
=
= −∑ (6.1) 
trong đó Ta lμ chu kỳ trích mẫu để có dãy vô hạn {xk}, k=0,1,2, từ tín hiệu causal liên 
tục x ( t ) . Thay hμm mở rộng (6.1) vμo công thức định nghĩa phép biến đổi Laplace (5.1) 
ta sẽ có cùng với ký hiệu asTz e= cũng nh− điều hiển nhiên rằng xk=0, khi k<0, ảnh 
Laplace của dãy vô hạn {xk}, k=0,1,2, nh− sau: 
0 00 0
đ.n.
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
 ( )a
st st st
k a k a
k k
ksT k
k k
k k
X s x t e dt x t kT e dt x t kT e dt
x e x z X z
δ δ∞ ∞ ∞∞ ∞− − −
= = −∞
∞ ∞− −
= =
= = − = −
= = =
∑ ∑∫ ∫ ∫
∑ ∑
 
 (6.2) 
Hμm X(z) trong (6.2) đ−ợc gọi lμ ảnh Z của dãy {xk}, k=0,1,2, vμ phép biến đổi từ dãy 
{xk}, k=0,1,2, thμnh X(z) đ−ợc gọi lμ phép biến đổi Z, ký hiệu bởi Z{⋅ }, tức lμ: 
 X(z)=Z{xk} vμ {xk}=Z
−1{X(z)} 
− Tính chất: 
1) Phép biến đổi Z có đầy đủ các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace: 
a) Tuyến tính: { } { } { } , ,k k k kax by a x b y a b+ = + ∈RZ Z Z 
b) Nội xạ: {xk}≠{yk} ⇒ Z{xk}≠Z{yk} 
c) ảnh của tích chập bằng tích của hai ảnh 
0
{ } { } { }
k
k i i k k
i
x y x y−=
=∑Z Z Z 
2) Ký hiệu X(z) lμ ảnh Z của dãy {xk}, k=0,1,2,. Khi đó: 
a) Phép dịch trái: Dãy {yk} với yk=xk−m sẽ có ảnh lμ Y(z)=z−mX(z) 
b) Phép dịch phải: Dãy {yk} với yk=xk+m sẽ có 
0
( ) ( )
m
m i
i
i
Y z z X z x z−
=
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∑ 
c) Tính đồng dạng: Dãy {yk} với yk=a
kxk sẽ có ( )
z
Y z X
a
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 
d) Hiệu lùi: Dãy {yk} với yk=xk−xk−1 có 1( ) ( )zY z X zz
−= 
e) Hiệu tiến: Dãy {yk} với yk=xk+1−xk có Y(z)=(z−1)X(z)−zx0 
Bài giảng môn học “Tín hiệu và Hệ thống”. Hà Nội 9.2010 25 
f) Tổng: Dãy {yk} với 
0
k
k k
i
y x
=
= ∑ có ( ) ( )
1
z
Y z X z
z
= − 
g) Đạo hμm: Dãy {yk} với yk=kTaxk có 
( )
( ) a
dX z
Y z zT
dz
= − 
h) Tích phân: Dãy {yk} với 
k
k
a
x
y
kT
= có 1 ( ')( ) '
'a z
X z
Y z dz
T z
∞
= ∫ 
3) Các định lý về giới hạn: 
a) 0 lim ( )
z
x X z→∞= 
b) Nếu dãy {xk}, k=0,1,2, hội tụ thì 
1
lim lim( 1) ( )k
k z
x z X z→∞ →= − 
4) Ký hiệu {xk}, k=0,1,2, lμ dãy giá trị trích mẫu của tín hiệu x ( t ) với chu kỳ 
trích mẫu Ta. Khi đó giữa ảnh X (s ) của x ( t ) vμ X (z ) của {xk} có quan hệ: 
1 1 2
( ) ( 0) ( )
2
sTaz e
ka a
X z x X s jk
T T
π∞
= =−∞
= + + +∑ 
5) ảnh X(z) của một số dãy {xk}, k=0,1,2, đặc biệt: 
{xk} X(z) {xk} X(z) 
{1,0,0, } 1 xk=1 (Heaviside) 1
z
z − 
xk=kTa 2( 1)
aT z
z − xk=(kTa)
n 
1{( ) }na
a
d kT
zT
dz
−
− Z 
akT
kx a= aT
z
z a− 
( 1) ak T
k ax kT a
−= 2( )a
a
T
T z
z a− 
xk=cos(kTa) 2
( cos )
2 cos 1
a
a
z z T
z z T
−
− + cos( )a
kT
k ax a kT= 22
( cos )
2 cos
a
a a
T
a
T T
a
z z a T
z za T a
−
− + 
xk=sin(kTa) 2
sin
2 cos 1
a
a
z T
z z T− + sin( )a
kT
k ax a kT= 22
sin
2 cos
a
a a
T
a
T T
a
za T
z za T a− + 
− Xác định ảnh ng−ợc {xk}, k=0,1,2, từ X(z): 
1) Chia trực tiếp hai đa thức: Nếu 
( )
( )
( )
B z
X z
A z
= , có dạng thực−hữu tỷ, với bậc của tử 
số không lớn hơn bậc của mẫu số, thì khi chia trực tiếp B(z) cho A(z) sẽ có: 
 0 1 20 1 2
( )
( )
B z
x z x z x z
A z
− −= + + +" 
2) Phân tích thμnh tổng tuyến tính các thμnh phần tối giản rồi tìm ảnh ng−ợc: 
1
1
( )
n
i
i i
A
X z
z z z=
= −∑ ⇔ 1( )
n
i
i i
A z
X z
z z=
= −∑ ⇔ 1
n
k
k i i
i
x A z
=
= ∑ (6.3) 
Nếu có nghiệm zi bội 2 với hai hằng số Ai,1 vμ Ai,2, thì ta thay thμnh phần 
k
i iA z 
t−ơng ứng trong (6.3) bởi 1 ,1 ,2( )
k
i i i iz A z A k
− + . 
N.D.Ph−ớc, Bộ môn ĐKTĐ, Tr−ờng ĐKBK Hà Nội 26 
− Bμi tập: 
Hãy xác định {xk}, k=0,1,2, từ 
2
2
( 1)
( )
( 1)( 0.5)
z z
X z
z z
+= − + 
6.2 Hμm truyền mô tả hệ tuyến tính không liên tục 
− Định nghĩa: Xét hệ SISO với tín hiệu vμo {uk}, tín hiệu ra {yk}, k=0,1,2,. Hμm 
truyền đ−ợc hiểu lμ: 
{ }
{ }
( )
( )
( )
k
k
y Y z
G z
u U z
= =Z
Z
, khi trạng thái đầu của hệ bằng 0. (6.4) 
− Mô hình: 
1) Với hệ tuyến tính tham số hằng thì hμm truyền (6.4) lμ 
một mô hình (hình 6.1): 
{ } { }1 1( ) : { } { } ( ) ( ) ( ) { }k k kG z u y G z U z G z u− −= ⋅ = ⋅6 Z Z Z 
2) Hμm gốc {gk}=Z
−1{G(z)} của hμm truyền G(z) lμ dãy 
giá trị hμm trọng l−ợng (xem lại mục 2.1). Nó cũng lμ mô 
hình của hệ theo nghĩa tích chập (2.10). 
3) Từ mô hình vμo−ra của hệ tuyến tính tham số hằng: 
 1 1 0 1 1 k k n k n k k m k my a y a y b u b u b u− − − −+ + + = + + +" " 
ta có hμm truyền: 
1 1
0 1 0 1
1 2 1 2
0 1 0 1
( )
1 
m n n n m
m m
n n n n
n n
b b z b z b z b z b z
G z
a z a z a z z a z a z a
− − − −
− − − − −
+ + + + + += =+ + + + + + + +
" "
" " (6.5) 
4) Từ mô hình trạng thái (2.15) của hệ SISO tham số hằng, ta có hμm truyền: 
 1( ) ( )G z C zI A B D−= − + với I lμ ma trận đơn vị 
− Bμi tập: 
1) Cho hệ SISO có hμm truyền 
3
3
1
( )
( 0.5)
z
G z
z
+= − . Hãy xác định dãy giá trị hμm trọng 
l−ợng {gk}, k=0,1,2, vμ từ đó tìm đáp ứng {yk}, k=0,1,2, khi uk=1, ∀k. 
2) Chứng minh rằng hμm truyền dạng thực−hữu tỷ (6.5) của hệ nhân quả (causal) 
luôn có bậc đa thức tử số (theo z hoặc z−1) không lớn hơn bậc đa thức mẫu số. Từ 
đó chỉ ra rằng mô hình trạng thái (2.15) chỉ mô tả đ−ợc hệ nhân quả. 
3) Xét hệ không liên tục với mô hình trạng thái (2.15), Chứng minh rằng mọi phép 
biến đổi t−ơng đ−ơng (đổi trục tọa độ) k kx Mx= , M không suy biến, không lμm 
thay đổi hμm truyền (6.5) của hệ. 
Hình 6.1: Sơ đồ khối 
uk y u yk
uk yk
G(s)
G(z)
Bài giảng môn học “Tín hiệu và Hệ thống”. Hà Nội 9.2010 27 
Một số điều l−u ý 
Hiện nay có khá nhiều khái niệm, định nghĩa đ−ợc đ−a ra nh−ng lại đối nghịch 
nhau, gây không ít khó khăn vμ tạo sự hoμi nghi, phân vân cho ng−ời học. Mấy điều l−u 
ý sau đây hy vọng sẽ giải tỏa đ−ợc các hoμi nghi vμ phân vân đó. 
− Bên cạnh định nghĩa về tín hiệu b−ớc nhảy đơn vị 1(t) nh− đã trình bμy ở mục 1.1 thì 
trong nhiều tμi liệu khác nhau, chúng còn đ−ợc định nghĩa lμ: 
1 khi 0
1( )
0 khi 0
t
t
t
>⎧= ⎨ ≤⎩
 hoặc 
1 khi 0
1( )
0 khi 0
t
t
t
>⎧= ⎨ <⎩
Các định nghĩa khác nhau đó đ−ợc đ−a ra chỉ với một cố gắng giải thích rằng hμm 
delta 
1( )
( )
d t
t
dt
δ = lμ một hμm th−ờng, song đều thất bại. Bởi vậy ta sẽ nhất quán sử 
dụng định nghĩa đã nêu vμ điều đó hoμn toμn không ảnh h−ởng tới kết quả chung. 
− Tuy rằng hμm delta δ(t) không phải lμ hμm th−ờng, nh−ng ảnh Fourier vμ ảnh 
Laplace của nó lại lμ hμm th−ờng. Do đó ta lại có thể xác định đ−ợc hμm trọng l−ợng 
g(t) của hệ, tức lμ đáp ứng với kích thích δ(t) ở đầu vμo, nhờ phép biến đổi Fourier 
hoặc Laplace, điều mμ không bao giờ ta lμm đ−ợc trực tiếp trên miền thời gian. Nói 
nh− vậy để thấy rằng mọi cố gắng xác định g(t) trên miền thời gian đều vô nghĩa. 
− Chuỗi Fourier rời rạc (DFS): Lμ tên gọi của ph−ơng pháp phân tích chuỗi Fourier 
(3.1) với các hệ số (3.4) dμnh riêng cho tín hiệu tuần hoμn, không liên tục, biểu diễn 
bởi dãy vô hạn các giá trị {xk}, k=,−1,0,1, thỏa mãn xk + N=xk , ∀k . Nh− vậy có 
thể thấy tên gọi rời rạc ở đây không liên quan tới tính chất miền giá trị của phép biến 
đổi Fourier, thực chất lμ một ánh xạ, nh− đã định nghĩa cho tín hiệu ở mục 1.1, cũng 
lμ một ánh xạ. Để chặt chẽ, ta nên gọi nó lμ chuỗi Fourier cho tín hiệu không liên tục 
thay vì chuỗi Fourier rời rạc. 
− Phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT): T−ơng tự nh− trên, phép biến đổi Fourier rời rạc 
chính lμ phép biến đổi Fourier (3.5) áp dụng riêng cho tín hiệu không liên tục. Nói 
cách khác, tên gọi nμy không liên quan tới miền giá trị của phép biến đổi đó, tức lμ 
ảnh X(jω) của phép biến đổi Fourier rời rạc vẫn có thể có miền giá trị lμ các tập liên 
thông trên tr−ờng số phức. Chẳng hạn với x1(t)∈L1 thì X(jω) còn lμ một hμm liên tục 
(Riemann−Lebesgue). Bởi vậy, để chặt chẽ, tên gọi đúng của phép biến đổi Fourier rời 
rạc phải lμ phép biến đổi Fourier cho tín hiệu không liên tục.