Xử lý tín hiệu số - Chương 7: Lấy mẩu tín hiệu

FT (N0/2) điểm Gr và Hr. Ta lặp lại các bước này bằng cách chia gk và hk thành hai chuỗi (N0/2) điểm tương ứng với các mẩu thứ tự chẵn và lẻ. Tiếp đến ta tiếp tục các bước này cho đến khi có được DFT một điểm. Các hình 5.20a, 5.20b, và 5.20c cho thấy là các DFT hai điểm thì không cần phép nhân.
 Để đếm số phép tính cần có trong bước đầu tiên, giả sử ta đã biết Gr và Hr. Phương trình (5.42) chỉ rõ là để tính tất cả N0 điểm của Fr, ta cần N0 phép cộng phức tạp và (N0/2) phép nhân phức tạp (tương ứng với ). 
 Trong bước thứ hai, để tiếp tục tính DFT (N0/2) điểm Gr từ DFT (N0/4), ta cần (N0/2) phép cộng phức tạp và (N0/4) phép nhân phức tạp. Ta cần cùng số lượng tính toán cho Hr. 
Do đó, trong bước thứ hai, ta có N0 phép cộng phức tạp và (N0/2) phép nhân phức tạp. Số lượng tính toán cần thiết trong mỗi bước là giống nhau. Do cần có tổng là log2N0 bước để đạt được DFT một điểm, ta cần có tổng là N0log2N0 phép cộng phức tạp và (N0/2)log2N0 phép nhân phức tạo, để tính được DFT N0 điểm.
 Phương pháp tìm IDFT giống hệt như khi tìm DFT trừ việc dùng thay vì (ngoài ra, bộ nhân là 1/N0). Một thuật toán FFT khác, là thuật toán decimation theo tần số, tương tự như thuật toán decimation theo thời gian. Chỉ có một khác biệt là thay vì chia fk thành hai chuỗi thứ tự chẵn và lẻ, ta chia fk thành thành hai chuỗi tạo từ (N0/2) số đầu và (N0/2) số cuối, xử lý với cùng phương pháp cho đến khi một điểm đơn DFT đạt cá bước log2N0. Tổng số phép tính trong thuật toán này giống như trường hợp decimataion theo thời gian. 
 Đối ngẫu của định lý lấy mẩu cho rằng các tín hiệu có thời gian giới hạn t giây thì có thể khôi phục phổ F(w) của chúng từ các mẩu của F(w) lấy tại các khoảng đồng đều không lớn hơn 1/t Hz. Nói cách khác, phổ có thể được lấy mẩu với tốc độ không nhỏ hơn t mẩu/Hz. 
5.4 Phụ chương 5.1
 Ta chứng minh 
 (5.43)
Nhắc lại W0N0 = 2p và với m = 0, ±N0, ±2N0, . . ., sao cho
 với m = 0, ±N0, ±2N0, . . .,
Để tính tổng của các giá trị khác của m, ta chú ý là tổng của vế trái của phương trình (5.43) là chuỗi hình học với công sai là . Do đó (xem phần B.7-4)
 ()
5.5 Tóm tắt
 Tín hiệu có băng thông giới hạn B Hz có thể được khôi phục chính xác từ các mẩu của chúng nếu tốc độ lấy mẩu Fs > 2B Hz (định lý lấy mẩu). Phương pháp khôi phục này, dù thực hiện được về mặt lý thuyếtm nhưng có nhiều vấn đề trong thực tế như phải cần bộ lọc với độ lơi zêrô trong một dải (nhiều dải) tần số. Các bộ lọc này là không thể thực hiện được hay thực hiện được với vô số các khâu trễ. Do đó, trong thực tế, luôn có sai số khi khôi phục tín hiệu từ các mẩu của chúng. Hơn nữa, các tín hiệu thực tế thường không có băng thông giới hạn, điều này làm tăng sai số (sai số trùm phổ) kh khôi phục tín hiệu từ các mẩu. Sai số trùm phổ có thể được giảm thiệu bằng cách giới hạn băng thông của tín hiệu trong băng thông hiệu quả. 
 Định lý lấy mẩu rất quan trọng trong phân tích, xử lý, và truyền dẫn tín hiệu do cho phép ta thay tín hiệu liên tục theo thời gian bằng chuỗi rời rạc các số hạng. Do đó, việc xử lý tín hiệu liên tục tương được với việc xử lý chuỗi rời rạc các số hạng. Điều này dẫn ta trực tiếp đến lĩnh vực lọc số (hệ thống rời rạc theo thời gian). Trong lĩnh vực thông tin, truyền dẫn bản tin liên tục theo thời gian giảm thiểu thành việc truyền dẫn chuỗi các số hạng. Điều này mở cửa cho nhiều kỹ thuật mới trong thông tin tín hiệu liên túc bằng chuỗi các xung.
 Tính đối ngẫu của định lý lấy mẩu cho rằng tin hiệu có thời gian giới hạn t giây thì phổ F(w) có thể được khôi phục từ các mẩu của F(w) lấy tại các thời khoảng đồng đều không lớn hơn 1/t Hz. Nói cách khác, phổ cần được lấy mẩu với tốc độ không nhỏ hơn t mẩu/Hz.
 Để tính toán số được biến đổi Fourier trực tiếp hay nghịch, ta cần có quan hệ giữa các mẩu của f(t) và F(w). Định lý lấy mẩu và đối ngẫu cung cấp quan hệ định lượng theo dạng của biến đổi Fourier rời rạc (DFT). Tính toán DFT rất dễ khi dùng thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT), giảm thiểu số lượng tính toán từ khoảng N02 thành N0log N0. 
Tham khảo
Linden, D. A.., “A Discussion of Sampling Theorem.” Proc. IRE, vol. 47. pp 1219 – 1226, July 1959.
Bracewell, R.N., The Fourier Transform and Its Applications, 2nd revised ed., McGraw-Hill, New York. 1986.
Bennett, W.R., Introduction to Signal Transmission, McGraw-Hill, New York. 1970.
Lathi, B.P., Linear Systems and Signals, Berkeley-Cambridge Press, Carmichael, CA, 1992.
Cooley, J.W., and J.W., Tukey, “An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series, “Mathematics of Computation, Vol. 19, p.297 – 301, Aprli 1965.
 Bài tập 
Hình P5.1-1 vẽ phổ Fourier của các tín hiệu f1(t) và f2(t). Tìm tố độ lấy mẩu Nyquist của tín hiệu f1(t), f2(t), f12(t), f23(t), và f1(t) f2(t).
Xác định tốc độ lấy mẩu Nyquist và khoảng lấy mẩu Nyquist của các tín hiệu 
(a) sinc2(100pt) (b) 0,01sinc2(100pt) (c) sinc (100pt) + 3sinc2(60pt)
 (d) sinc (50pt) sinc (100pt). 
Tín hiệu f(t) = sinc (100pt) được lấy mẩu (dùng xung cách khoảng đồng đều) với các tốc độ (a) 150 Hz (b) 200 Hz (c) 300 Hz. Với mỗi trường hợp (i) Vẽ phổ tín hiệu đã lấy mẩu, (ii) Nếu bạn khôi phục được f(t) từ tín hiệu lấy mẩu, giải thích? (iii) Nếu cho tín hiệu đã lấy mẩu qua mạch lọc thông thấp lý tưởng có băng thông 100 Hz, vẽ phổ của tín hiệu ra. 
Hình P5.1-4 vẽ mạch giử bậc zêrô thực tế
Tìm đáng ứng xung đơn vị của mạch. Hướng dẫn: Nhắc lạ đáp ứng xung h(t) là ngõ ra của mạch hình P5.1-4 khi ngõ vào f(t) = d(t).
Tìm hàm truyền H(w), và vẽ ½ H(w)½.
Chứng tõ là khi tín hiệu đã lấy mẩu là ngõ vào của mạch, thì ngõ ra là xấp xỉ bậc thang của f(t). Thời khoảng lấy mẩu là T.
(a) Mạch giử bậc một còn có thể được dùng để khôi phục tín hiệu f(t) từ các mẩu. Đáp ứng xung của mạch là 
 Với T là thời khoảng lấy mẩu. Xét tín hiệu lấy mẩu tiêu biểu và chứng tõ là
 mạch này thực hiện phép nội suy tuyến tính. Nói cách khác, ngõ ra của mạch lọc
 gồm đỉnh các mẩu kết nối bằng các đoạn đường thẳng. Dùng phương pháp thảo
 luận ở phần 5.1-1 (hình 5.3b). 
Tìm hàm truyền của mạch lọc nay và đáp ứng biên độ, rồi so sánh với mạch 
 lọc lý tưởng cần thiết để khôi phục tín hiệu.
Mạch lọc này là không nhân quả (noncausal) là không thực hiện được. Bằng cách làm trễ đáp ứng xung để mạch lọc thực hiện được. Cho biết khâu trể tối thiểu cần thiết để mạch là thực hiện được? Ảnh hưởng của khâu trễ lên tín hiệu được khôi phục và đáp ứng tần số ra sao? 
Chứng tõ là mạch lọc trong phần (c) có thể thực hiện từ mạch lọc vẽ trong hình P5.1-4 nối đuôi với một mạch lọc y hệt mạch lọc này. HƯớng dẫn: chứng tõ là đáp ứng xung của mạch là D(t/2T).
Tín hiệu f(t) = sinc(200pt) được lấy mẩu dùng chuỗi xung tuần hoàn pT(t) vẽ trong hình P5.1-6. Tìm và vẽ phổ của tín hiệu đã lấy mẩu. Nếu có thể khôi phục f(t). Giải thích? Nếu tín hiệuđã lấy mẩu đi qua mạch lọc thông thâp lý tưởng có năng thông 100 Hz và độ lợi đơn vị, tìm ngõ ra của mạch lọc. Tìm ngõ ra mạch lọc nếu băng thông là B Hz, với 100 < B < 150. Điều gì xảy ra nếu băng thông lớn hơn 150 Hz? 
Trong thí dụ 5.3, ta lấy mẩu tín hiệu f(t) bằng cách nhân tín hiệu này với chuỗi xung pT(t), và có được tín hiệu được lấy mẩu vẽ trong hình 5.8d. Phương pháp này được gọi là lấy mẩu tự nhiên. Hình P5.1-7 vẽ dạng lấy mẩu thường gọi là lấy mẩu dùng đỉnh phẳng (flat top sampling) của cùng tín hiệu f(t) = sinc2(5pt).
Chứng tõ là có thể khôi phục f(t) dùng phương pháp lấy mẩu đỉnh phẳng nếu tốc độ lấy mẩu không bé hơn tốc độ Nyquist.
Nếu khôi phục tín hiệu f(t) bằng phép lẩy mẩu đỉnh phẳng. Giải thích?
Tìm biểu thức của phổ tín hiệu đã lấy mẩu và vẽ phát thảo phổ. Hướng dẩn: Đầu tiên hảy chứng tõ là tín hiệu có đỉnh phẳng có thể được sản sinh bằng cách cho tín hiệu f(t) dT(t) đi qua mạch lọc có đáp ứng xung là h(t) = pT(t). Để khôi phục tín hiệu từ các mẩu, hảy thực hiện quá trình ngược lại. 
Đĩa CD ghi tín hiệu âm thanh được số hóa dùng PCM. Giả sử băng thông của tín hiệu âm thanh là 15 kHz.
Cho biết tốc độ lấy mẩu là bao nhiêu?
Nếu các mẩu Nyquist được lượng tử hóa thành 65536 mức (L = 65536) rồi được mã hóa nhị phân, cho biết cần bao nhiêu bit để mã hóa các mẩu này?
 Cho biết số bit/s cần thiết để mã hóa tín hiệu âm thanh ?
Với lý do thực tế đã thảo luận trong tài liệu, tín hiệu được lấy mẩu với tốc độ lớn hơn tốc độ Nyquist. Các CD trong thực tế dùng 44.100 mẩu/s. Nếu dùng 
L = 65 536, xác định số xung/s cần thiết để mã hóa tín hiệu. 
Tín hiệu TV (viđêo và âm thanh) có băng thông là 4,5 MHz. Tín hiệu này được lấy mẩu, lượng tử và mã hóa nhị phân để có tín hiệu PCM.
Tìm tốc độ lấy mẩu nếu tín hiệu được lấy mẩu với tốc độ cao hơn tốc 9dộ Nyquist 20%.
Nếu các mẩu được lượng tử thành 1024 mức, cho biết cần bao nhiêu xung nhị phân để mã hóa các mẩu
Tìm tốc độ xung nhị phân (bit/s) của tín hiệu mã hóa nhị phân.
Chứng tõ là tín hiệu không thể đồng thời có giới hạn về thời gian và về băng thông. Hướng dẫn:Hảy chứng tỏ là các giả định ngược đưa đến nghịch lý. Gải sử tín hiệu đồng thời có giới hạn về thời gian và về băng thông nên F(w) =0 với . Trong trường hợp này với B’> B. Điều này tức là f(t) bằng với f(t)*2B’sinc(2pB’t). Tín hiệu sau này không thể có giới hạn về thời gian do các phần đuôi của hàm sinc tiến về vô cùng.
Tín hiệu có giới hạn về thời gian 10ms và có băng thông cơ bản 10 kHz, xác định số mẩu tín hiệu cần thiết N0 để tính FFT bậc lủy thừa 2 với độ phân giải tần số F0 ít nhất là 50Hz. Giải thích nếu không cần có đểm zêrô (zero padding)?
Để tính DFT của tín hiệu f(t) trong hình P5.2-1, viết chuỗi fk (với k=0 đến N0 –1) nếu độ phân giải tần số F0 không bé hơn 0,25 Hz. Giả sử băng thông cơ bản (tần số gấp) của f(t) ít nhất là 3 Hz. Không cần tính DFT, chỉ viết chuỗi fk thích hợp. 
Tìm giá trị N0 và T thích hợp để tính DFT của tín hiệu e–tu(t). Dùng băng thông là nơi đáp ứng biên độ giảm 1% so với trị định (tại w = 0). Tiếp đến, dùng tiêu chuẩn 99% năng lượng để xác định băng thông (xem thí dụ 4.16). 
Làm lại bải tập 5.2-3 với tín hiệu 
 Hướng dẫn: 
Viết chuỗi thích hợp fk và gk cần thiết để tính tích chập của f(t) và g(t)) (vẽ trong hình P5.2-5) dùng DFT. Dùng T = 1/8.