Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống trên miền thời gian - Đỗ Tú Anh

1Tín Hiệu và Hệ Thống
Bài 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống
trên miền thời gian
Đỗ Tú Anh
tuanhdo-ac@mail.hut.edu.vn
Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện
2Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và
hệ thống trên miền thời gian
2.1 Các hệ thống LTI liên tục
2.1.1 Tích chập
2.1.2 Đáp ứng quá độ
2.1.3 Các tính chất
2.1.4 Phương trình vi phân
2.1.4 Sơ đồ khối
2.2 Các hệ thống LTI gián đoạn
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
3Tích chập
ƒ Định nghĩa
ƒ Các tính chất của tích chập
– Giao hoán
– Kết hợp
– Phân phối
– Dịch Nếu thì
và
– Nhân chập với xung dirac
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
4Tính tích chập
Xoay một trong hai hàm quanh trục tung
Dịch hàm đó đi t
Nhân hàm đã được xoay và dịch đó với hàm
còn lại
Tính diện tích tạo bởi tích này với trục hoành
ƒ Phương pháp hình học
Viết kết quả f1(t)*f2(t) thành hàm của t
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
5Tính tích chập-Ví dụ 1
ƒ Tính tích chập của hai hàm sau
ƒ Thay t bởi τ vào hai hàm f(t) và g(t)
ƒChọn xoay và dịch g(τ) bởi nó đơn giản và đối xứng
ƒHai hàm chồng lên nhau như hình bên
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
6Tính tích chập-Ví dụ 1
ƒ Tích chập được chia thành 5 phần
ƒ Hai hàm không chồng lên nhau
ƒ Diện tích dưới tích của hai hàm
bằng 0
ƒ Một phần g(t) chồng lên một phần f(t)
ƒ Diện tích dưới tích của hai hàm này
là
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
7Tính tích chập-Ví dụ 1
ƒ g(t) chồng hoàn toàn với f(t)
ƒ Diện tích dưới tích của hai hàm này
là
ƒ Một phần g(t) và f(t) chồng nhau
ƒ Diện tích tính tương tự như trường
hợp
ƒ g(t) và f(t) không chồng nhau
ƒ Diện tích dưới tích của hai hàm bằng 0
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
8Tính tích chập-Ví dụ 1
với
với
với
với
với
ƒ Kết quả của tích chập (gồm 5 khoảng)
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
9Tính tích chập-Ví dụ 2
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
10
Tính tích chập-Ví dụ 2
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
11
Tính tích chập-Ví dụ 2
MATLAB
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
12EE3000-Tín hiệu và hệ thống
13EE3000-Tín hiệu và hệ thống
14
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và
hệ thống trên miền thời gian
2.1 Các hệ thống LTI liên tục
2.1.1 Tích chập
2.1.2 Đáp ứng quá độ
2.1.3 Các tính chất
2.1.4 Phương trình vi phân
2.1.4 Sơ đồ khối
2.2 Các hệ thống LTI gián đoạn
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
15
Xung Dirac
ƒ Xung Dirac theo nghĩa hàm
mở rộng
Diện tích bằng 1
T/c lấy mẫu
giả thiết g(t) được định nghĩa tại t=0
T/c co giãn
ƒ Chú ý không được định nghĩa(0)δ
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
16
Xung Dirac
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
17
Đáp ứng quá độ
Hệ thống
T
( )f t ( )y t
đầu vào đầu ra
Đáp ứng xung
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
18
Đáp ứng quá độ
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
19
Đáp ứng quá độ
Hệ thống
T
( )f t ( )y t
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tín hiệu vào f(t) Tín hiệu ra y(t)
f(t) y(t)
Tích chập
20
Đáp ứng quá độ
ƒ Tín hiệu ra của hệ thống LTI liên tục nào là tích chập của tín hiệu vào
f(t) với đáp ứng xung h(t) của hệ
ƒ Đáp ứng xung h(t) mô tả đầy đủ các tính chất động học của hệ LTI
ƒ Nhờ tính chất giao hoán nên đôi khi thuận tiện hơn khi sử dụng công
thức
( ) ( ) ( )y t h f t dτ τ τ
∞
−∞
= −∫
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
21
Đáp ứng quá độ-Ví dụ
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
22
Đáp ứng quá độ-Ví dụ
ƒ Tín hiệu vào là tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu mũ
phức
( ) ks tk
k
x t a e=∑ Hàm cơ sở( ) ks tk t eφ =
ƒ Tín hiệu ra thành phần tính bằng tích chập( )k tψ
( )( ) ( ) ( ) ( ) ks tk kt t h t h e d
τψ φ τ τ
∞
−
−∞
= ∗ = ∫
) )( (k k ks t s s tke h e d eH s
ττ τ
∞
−
−∞
= =∫
( )kH s Hệ số co giãn
ƒ Tín hiệu ra tổng
( ) ( ) ks tk k
k
y t a H s e=∑
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
23
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và
hệ thống trên miền thời gian
2.1 Các hệ thống LTI liên tục
2.1.1 Tích chập
2.1.2 Đáp ứng quá độ
2.1.3 Các tính chất
2.1.4 Phương trình vi phân
2.1.4 Sơ đồ khối
2.2 Các hệ thống LTI gián đoạn
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
24
Tính nhớ
ƒ Hệ LTI liên tục không nhớ: Tín hiệu ra chỉ phụ thuộc vào tín hiệu
vào ở cùng thời điểm
Do đó, chỉ có thể có dạng
( ) ( )Ky t x t=
K là hệ số khuếch đại
ƒ Đáp ứng xung hệ không nhớ
( ) ( )Kh t tδ=
ƒ Nếu h(t0)≠0 với t0≠0, hệ là có nhớ
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
25
Tính nhân quả
ƒ Hệ nhân quả: Đáp ứng không bao giờ có trước kích thích
Do đó, đáp ứng xung bằng 0 với các giá trị thời gian âm
( ) 0, 0h t t= <
ƒ Tích chập có thể được tính đơn giản hơn như sau
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
y t h x t d x h t dτ τ τ τ τ τ
∞
−∞
= − = −∫ ∫
ƒ Cũng như vậy, có thể chọn phép toán dễ hơn (h hoặc x) để tính
tích chập
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
26
Ghép nối tiếp
Tính chất kết hợpƒ Tín hiệu ra được tính theo
[ ] [ ]2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t w t h t x t h t h t x t h t h t= ∗ = ∗ ∗ = ∗ ∗[ ] [ ]2 1 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h t h t x t h t h t v t h t= ∗ ∗ = ∗ ∗ = ∗
Tính chất giao hoán
ƒ Bốn sơ đồ sau là tương đương
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
27
Ghép song song
ƒ Tín hiệu ra được tính theo
[ ] [ ] [ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h t x t h t x t h t h t= ∗ + = ∗ ∗
Tính chất phân phối
ƒ Hai sơ đồ sau là tương đương
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
28
Tính khả nghịch đảo
ƒ Nếu hệ thống là khả nghịch đảo, sẽ tồn tại hệ thống “nghịch đảo” để
biến đổi tín hiệu ra của hệ ban đầu thành tín hiệu vào ban đầu
Độ lớn
( )h t ( )Ih t
ƒ Đáp ứng xung của hệ thống “nghịch đảo” phải thỏa mãn
ƒ Được sử dụng rộng rãi để
– điều khiển các hệ thống thực, mục đích là tíinh toán tín hiệu điều khiển sao
cho hệ thống có tín hiệu ra như mong muốn
– lọc nhiễu ra khỏi các hệ thống thông tin, mục đich là để khôi phục tín hiệu
x(t) ban đầu
( ) ( ) ( )Ih t h t tδ∗ =
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
29
Tính ổn định
ƒ Khái niệm ổn định BIBO (Bounded Input-Bounded Output)
Bất cứ tín hiệu vào nào bị chặn cũng tạo ra tín hiệu ra bị chặn
1 2( ) ( ) x t B y t B≤ ⇒ ≤
ƒ Tín hiệu ra theo công thức tích chập
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t h x t d h x t dτ τ τ τ τ τ
∞ ∞
−∞ −∞
= − ≤ −∫ ∫ ( ) ( )h x t dτ τ τ
∞
−∞
= −∫
( ) h d Gτ τ
∞
−∞
= < ∞∫1 ( ) x t B≤ 1 2( )y t B G B≤ =Do đó nếu và thì
Điều kiện cần và đủ
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
30
Đáp ứng bước nhảy
ƒ Là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là bước nhảy đơn vị
Step Response
Time (sec)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Hệ thống
LTI
( )x t ( )y t
( )u t ( )s t
ƒ Quan hệ giữa đáp ứng bước nhảy và đáp ứng xung
( ) ( ) ( )s t h t u t= ∗
( ) ( ) ( ) ( ) 
t ds ts t h d h t
dt
τ τ
−∞
= ⇒ =∫
[ ]0( ) cos ( ) ( ) ?s t t u t h tω= ⇒ =ƒ Ví dụ
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
31
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và
hệ thống trên miền thời gian
2.1 Các hệ thống LTI liên tục
2.1.1 Tích chập
2.1.2 Đáp ứng quá độ
2.1.3 Các tính chất
2.1.4 Phương trình vi phân
2.1.4 Sơ đồ khối
2.2 Các hệ thống LTI gián đoạn
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
32
Phương trình vi phân
ƒ PTVP bậc n dạng tổng quát
ƒ Sử dụng toán tử D
trong đó Q(D) và P(D) là các đa thức
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
33
Phương trình vi phân
ƒ Đáp ứng của hệ thống
Đáp ứng tổng = đáp ứng đầu vào không + đáp ứng trạng thái không
f(t) = 0 f(t) ≠ 0
bên trong bên ngoài
ƒ Đáp ứng với các sơ kiện: Đáp ứng đầu vào không
trong đó là nghiệm thực phân biệt của
phương trình đặc trưng
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
34
Đáp ứng đầu vào không
ƒ Ví dụ: Tìm đáp ứng đầu vào không
ƒ Sơ kiện
1. Phương trình đặc tính
2. Nghiệm đặc tính là và
– Do đó
3. Xác định c1 và c2 bằng cách lấy đạo hàm
4. Thay thế sơ kiện và
– Giải được
5. Vậy Đáp ứng đầu vào không
ƒ Chú ý: Trong MATLAB sừ dụng “dsolve”
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
35
Đáp ứng xung h(t)
ƒ PTVP bậc n dạng tổng quát
ƒ Với n=m
ƒ Đáp ứng xung
các chế độ đặc trưng
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
36
Đáp ứng xung h(t)
B. P. Lathi
– bn là hệ số của thành phần bậc n trong P(D)
– yn(t) là tổ hợp tuyến tính của các chế độ đặc trưng của hệ với
các sơ kiện
và
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
37
Đáp ứng xung h(t)
ƒ Ví dụ: Tìm đáp ứng xung
1. Phương trình đặc tính
vàƒ Sơ kiện
2. Nghiệm đặc tính là và
– Do đó
3. Xác định c1 và c2 bằng cách lấy đạo hàm
4. Thay thế sơ kiện và
– Giải được và
5. Vậy
Đáp ứng xung
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
38
Đáp ứng trạng thái không
ƒ Ví dụ: Tìm đáp ứng với đầu vào
ƒ Tất cả các sơ kiện bằng 0
– Đáp ứng
– Sử dụng tính chất phân phối của tích chập
– Đã có
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
– Sử dụng bảng tích chập
Đáp ứng trạng thái không
39
Đáp ứng tổng của hệ thống
thành phần đầu vào không
thành phần trạng thái không
Đáp ứng tổng
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Đáp ứng tổng
Tp đầu vào không Tp trạng thái không
ƒ Ví dụ:
40
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và
hệ thống trên miền thời gian
2.1 Các hệ thống LTI liên tục
2.1.1 Tích chập
2.1.2 Đáp ứng quá độ
2.1.3 Các tính chất
2.1.4 Phương trình vi phân
2.1.4 Sơ đồ khối
2.2 Các hệ thống LTI gián đoạn
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
41
Sơ đồ khối
ƒ Hiện thực hóa
Ví dụ: Phương trình vi phân cấp 1
Nhân với một hệ số, và
Cộng
Vi phân
Các toán tử
Viết lại thành
NHƯNG: Các bộ vi phân khó được
thực hiện và rất nhạy cảm với nhiễu
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
42
Sơ đồ khối
ƒ Hiện thực hóa
Ví dụ: Phương trình vi phân cấp 1
Sử dụng một bộ tích phân
Cần biểu diễn thành
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
43
Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và
hệ thống trên miền thời gian
2.1 Các hệ thống LTI liên tục
2.1.1 Tích chập
2.1.2 Đáp ứng quá độ
2.1.3 Các tính chất
2.1.4 Phương trình vi phân
2.1.4 Sơ đồ khối
2.2 Các hệ thống LTI gián đoạn
EE3000-Tín hiệu và hệ thống