Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 11: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier rời rạc - Đỗ Tú Anh

Tín Hiệu và Hệ Thống
Bài 11: Chuỗi Fourier và phép biến đổi
Fourier rời rạc
Đỗ Tú Anh
tuanhdo-ac@mail.hut.edu.vn
Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện
Chương 9: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier rời rạc
9.1 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu tuần hoàn
9.1.1 Hàm sin phức và chuỗi Fourier rời rạc
9.1.2 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
9.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
9.2.4 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc
2EE3000-Tín hiệu và hệ thống
3
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tổ chức
Hàm sin phức-Tính tuần hoàn
ƒ Nếu hàm sin phức x[n] = ejω0n tuần hoàn với chu kỳ N thì ta có
[ ] [ ]0 0 0 0( )j n N j n j N j nx n N e e e e x nω ω ω ω++ = = = = do đó 0 1j Ne ω =
là số hữu tỷ
4EE3000-Tín hiệu và hệ thống
- Điều này xảy ra khi 0 2N mω π= hay 02
m
N
ω
π =
- Chu kỳ của x[n] = ejω0 là
0
2N m πω=
ƒ Quan hệ giữa hàm sin thực và hàm sin phức
[ ] 0 0( )
0 0cos( ) sin( )
j n j nx n Ce C e
C n j C n
ω ω θ
ω θ ω θ
+= =
= + + +
[ ] { }0
0 0
( )
0
( ) ( )
cos( ) Re
( )
2
j n
j n j n
x n A n Ae
A e e
ω θ
ω θ ω θ
ω θ +
+ − +
= + =
= +
jC C e θ=- Với
- Với C A=
Các hàm sin phức điều hòa
ƒ Xét hàm sin phức ejω0n tuần hoàn với chu kỳ N, 
và tần số cơ bản 0
2
N
πω =
ƒ Tập các hàm sin phức tuần hoàn với chu kỳ N là
ƒ Các hàm này là điều hòa nhưng chỉ có N hàm sin là phân biệt nhau
vì
ƒ Một cách tổng quát, với một số nguyên r bất kỳ
ƒ Khi định nghĩa các hàm sin gián đoạn, chỉ cần xét trong khoảng tần
số có độ rộng là 2π
5EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Các hàm sin phức điều hòa
ƒ Các hàm sin phức điều hòa là phân biệt trong khoảng N các giá
trị liên tiếp nhau của k:
- Ký hiệu tập này là [ ]k k Nnφ =
ƒ Các hàm sin phức điều hòa đó là vuông góc với nhau
vì
ƒ Chúng ta có thể kiểm chứng tính vuông góc sử dụng công thức
tổng hữu hạn
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 9: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier rời rạc
9.1 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu tuần hoàn
9.1.1 Hàm sin phức và chuỗi Fourier rời rạc
9.1.2 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
9.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
9.2.4 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc
7EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
ƒ Biểu diễn một tín hiệu tuần hoàn chu kỳ N thành tổ hợp tuyến tính
của các hàm sin phức
ƒ Tìm các hệ số của các hàm sin phức
Nhân với và cộng trên N
Tính vuông góc của [ ]k k Nnφ =
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
ƒ Các hệ số chuỗi Fourier rời rạc của x[n] là
8
Chuỗi Fourier
ƒ Cặp biến đổi chuỗi Fourier
ƒ Cặp biến đổi chuỗi Fourier là tuần hoàn với chu kỳ N
ƒ Không cần xét sự hội tụ: các tổng luôn là hữu hạn
9EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chuỗi Fourier: Ví dụ 1
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
ƒ Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu
-Tần số cơ bản
- Chu kỳ
- Tìm chuỗi Fourier rời rạc theo
- Khai triển x[n] 
thành các hàm sin 
phức điều hòa
- Chọn khoảng N số nguyên liên tiếp
- Chuỗi F rời rạc trên 
10
Chuỗi Fourier: Ví dụ 1
ƒ Các hệ số chuỗi F rời rạc cho
- Các thành phần
- Các hệ số chuỗi F
11EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chuỗi Fourier: Ví dụ 2
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
ƒ Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu
- Chu kỳ N = 4, khoảng của k: = {0,1,2,3}
- Các hệ số chuỗi F rời rạc
12
Chuỗi Fourier: Ví dụ 2
ƒ Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu
ƒ Khôi phục từ các hệ số chuỗi F rời rạc
13EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chuỗi Fourier: Ví dụ 3
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
ƒ Các hệ số chuỗi Fourier rời rạc cho sóng vuông tuần hoàn
14
Các tính chất của chuỗi Fourier rời rạc
15
Chương 9: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier rời rạc
9.1 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu tuần hoàn
9.1.1 Hàm sin phức và chuỗi Fourier rời rạc
9.1.2 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
9.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
9.2.4 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc
16EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Dẫn xuất biến đổi Fourier rời rạc
ƒ Xét dãy không tuần hoàn hữu hạn, x[n], sao cho x[n] = 0 ở ngoài
khoảng
ƒ Tạo một dãy tuần hoàn với chu kỳ N trong đó x[n] là
một chu kỳ
 chúng ta sẽ xây dựng biến đổi Fourier dựa trên chuỗi Fourier 
của một tín hiệu gián đoạn với chu kỳ tiến đến vô cùng
17EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Dẫn xuất biến đổi Fourier rời rạc
ƒ Bắt đầu với cặp biến đổi chuỗi Fourier
ƒ Thay thế bởi x[n] bằng cách định nghĩa đoạn lấy tổng là
ƒ Định nghĩa hàm
ƒ Các hệ số là các mẫu của
trong đó ω0 = 2π /N là khoảng cách giữa các mẫu trên trục tần số
18EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Dẫn xuất biến đổi Fourier rời rạc
ƒ Quan sát trạng thái giới hạn khi bằng cách thay
cho trong khai triển chuỗi Fourier của
ƒ Khi
-
-
- Tổng trên N khoảng với độ rộng trở thành tích
phân với khoảng lấy tích phân có độ rộng là 2π
-
ƒ Phương trình trên trở thành
[ ]
2
1 ( )
2
j j nx n X e e dω ωπ ωπ= ∫
19EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Dẫn xuất biến đổi Fourier rời rạc
ƒ Cặp biến đổi Fourier rời rạc
[ ]
[ ]
2
1 ( )
2
( )
j j n
j j n
n
x n X e e d
X e x n e
ω ω
π
ω ω
ωπ
∞ −
=−∞
=
=
∫
∑
PT tổng hợp
PT phân tích
ƒ là tuần hoàn với chu kỳ 2π
20EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 9: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier rời rạc
9.1 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu tuần hoàn
9.1.1 Hàm sin phức và chuỗi Fourier rời rạc
9.1.2 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
9.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
9.2.4 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc
21EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Biến đổi Fourier rời rạc-Ví dụ 1
ƒ Xét dãy hàm mũ
- Tính biến đổi Fourier rời rạc sử dụng chuỗi hình học
- Vì nên có thể viết
- Biên độ và pha có thể nhận được sử dụng công thức Euler
22EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Biến đổi Fourier rời rạc-Ví dụ 1
ƒ Biên độ và pha của với a > 0
ƒ Chú ý:
- Biên độ và pha là tuần hoàn với chu kỳ 2π
- Khi a > 0 phổ là thông thấp – biên độ giảm dần khi tần số tăng từ ω = 0 
đến ω = π
EE3000-Tín hiệu và hệ thống 23
Biến đổi Fourier rời rạc-Ví dụ 1
ƒ Biên độ và pha của với a < 0
ƒ Chú ý:
- Biên độ và pha là tuần hoàn với chu kỳ 2π
- Khi a < 0 phổ là thông cao – biên độ tăng dần khi tần số tăng từ ω = 0 
đến ω = π
EE3000-Tín hiệu và hệ thống 24
Biến đổi Fourier rời rạc-Ví dụ 2
ƒ Xét dãy xung chữ nhật
[ ] 1
1
1, 
0, 
n N
x n
n N
⎧ ≤= ⎨ >⎩
ƒ Biến đổi Fourier
Thay biến
CT tổng hữu hạn
Đưa về hàm sinc
gián đoạn
EE3000-Tín hiệu và hệ thống 25
Biến đổi Fourier rời rạc-Ví dụ 2
ƒ Xung chữ nhật với N1 = 2 và ảnh Fourier của nó
ƒ Chú ý rằng
- là hàm sinc gián đoạn tuần hoàn với chu kỳ 2π
- Nó tương tự như ảnh Fourier của xung chữ nhật liên tục
26EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 9: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier rời rạc
9.1 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu tuần hoàn
9.1.1 Hàm sin phức và chuỗi Fourier rời rạc
9.1.2 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
9.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
9.2.4 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc
27EE3000-Tín hiệu và hệ thống
28
Chương 9: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier rời rạc
9.1 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu tuần hoàn
9.1.1 Hàm sin phức và chuỗi Fourier rời rạc
9.1.2 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
9.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
9.2.4 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc
29EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Sự hội tụ của biến đổi Fourier rời rạc
ƒ Xét sự hội tụ của biến đổi Fourier (PT phân tích)
ƒ Tổng vô hạn sẽ hội tụ nếu x[n] là khả tổng tuyệt đối
ƒ  hoặc tín hiệu có năng lượng hữu hạn
ƒ Vì PT tổng hợp là tích phân hữu hạn, ta không cần xét sự hội tụ
của nó
30EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 9: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier rời rạc
9.1 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu tuần hoàn
9.1.1 Hàm sin phức và chuỗi Fourier rời rạc
9.1.2 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
9.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
9.2.4 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc
31EE3000-Tín hiệu và hệ thống
32