Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 3: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 89
( )
( )
μ
σ
σ π



2
22
1
2
x
f x e

 ( ) ( )
x
F x f x dx
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. 
Tính chất f(x) và F(x)
▪ Hàm mật độ f(x)
• Hình quả chuông, đối xứng trục qua x = 
• Đỉnh cao 1/(𝜎 2𝜋) tại x = 
• Tiệm cận ngang với trục hoành
• Điểm uốn tại x =   σ
▪ Hàm phân phối F(x)
• Tiệm cận trái Ox, tiệm cận phải đường y = 1
• Đối xứng tâm tại ( , ½)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 90
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn
Tham số đặc trưng
▪ X ~ N(, σ2) thì:
▪ Kỳ vọng: E(X) = 
▪ Phương sai: V(X) = σ2
▪ Độ lệch chuẩn: σX = σ
▪  tăng thì f(x), F(x)
dịch sang phải
▪ σ tăng thì f(x) thấp
xuống và rộng ra
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 91
f(x)
F(x)
μ μ’
1
½ 
1
σ 2π
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn
Phân phối Chuẩn hóa – N(0,1)
▪ X ~ N(, σ2), đặt
▪ BNN U có hàm mật độ:
▪ Hàm phân phối xác suất:
▪ Khi đó U là biến ngẫu nhiên Chuẩn hóa, U ~ N(0,1)
▪ Và X =  + σ.U
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 92
φ
π


2
2
1
( )
2
u
u e
φ

  ( ) ( )
u
u u du
μ
σ


X
U
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn
Phân phối Chuẩn hóa – N(0,1)
▪ Hàm (u): Hình chuông, đối xứng qua trục tung
▪ Đặt 0(u) = (u) – 0,5 = P(0 < U < u)
▪ Tính chất: 
• 0(–u) = –0(u)
• 0(u : u  4)  0,5
▪ Giá trị cho trong Bảng phụ lục 5
• P(0 < U < 1,5) = 0(1,5)
• P(–1,5 < U < 0) = P(0 < U < 1,5)
• P(–1,5 < U < 1,5) = 2P(0 < U < 1,5)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 93
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn
Bảng giá trị hàm 0(u)
▪ Bảng chi tiết tại phụ lục 5 giáo trình (trang 951)
▪ Bảng giản lược
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 94
u 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0 .0000 .0398 .0793 .1179 .1554 .1915 .2257 .2580 .2881 .3159
1 .3413 .3643 .3849 .4032 .4192 .4332 .4452 .4554 .4641 .4713
2 .4772 .4821 .4861 .4893 .4918 .4938 .4953 .4965 .4974 .4981
3 .4987 .4990 .4993 .4995 .4997 .4998 .4998 .4999 .4999 .5000
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn
Công thức tính xác suất
▪ X ~ N(, σ2) thì:
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 95
μ μ
σ σ
  
     
 
( )
a b
P a X b P U
μ μ
σ σ
    
    
   
b a μ μ
σ σ
    
    
   
0 0
b a
μ μ
σ σ
           
   
a a
P a X 0( ) 1 0,5
μ μ
σ σ
    
      
   
b b
P X b 0( ) 0,5
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn
Ví dụ 3.3
▪ Khối lượng của sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân
phối chuẩn với trung bình là 100g, phương sai là
25g2. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm, Tính xác suất:
▪ (a) Sản phẩm nặng hơn 105g
▪ (b) Sản phẩm nhẹ hơn 110g
▪ (c) Sản phẩm nặng trong khoảng 97g đến 102g
▪ (d) Khối lượng của sản phẩm sai lệch với trung bình
không quá 4g
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 96
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn
Xác suất “sai lệch với kỳ vọng”
▪ X ~ N(, σ2), xác suất X sai lệch với kỳ vọng một
khoảng không quá  là:
P(|X –  | <  ) = 20( / σ)
▪ Ba trường hợp riêng
• Quy tắc 1-sigma: P(|X –  | < σ) = 0,6826
• Quy tắc 2-sigma: P(|X –  | < 2σ) = 0,9544
• Quy tắc 3-sigma: P(|X –  | < 3σ) = 0,9974
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 97
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn
Tổ hợp các biến phân phối Chuẩn
▪ X1, X2,, Xn độc lập, phân phối Chuẩn
▪ Xi ~ N(i , σi
2), i = 1  n
▪ Tổng là BNN:
▪ Thì Y phân phối Chuẩn: Y ~ N(Y , σY
2)
với
▪ Tương tự với Z: 
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 98

 1
n
ii
Y X
μ μ

 1
n
Y ii σ σ
2 2
1
n
Y ii
1
n
i ii
Z Xα


Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn
Hội tụ về quy luật Chuẩn
▪ Khi n đủ lớn thì quy luật Nhị thức hội tụ về quy luật
Chuẩn
▪ X ~ B(n, p)
• Khi n  100 thì X ~ N(, σ2)
• Với  = np và σ2 = np(1 – p)
▪ Ví dụ: Đề thi gồm 100 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu
có 4 lựa chọn, trong đó chỉ có 1 lựa chọn đúng. Một
thí sinh trả lời toàn bộ bằng cách chọn bừa, tính xác
suất thí sinh đó đúng trên 30 câu.
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 99
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn
Giá trị tới hạn Chuẩn mức 
▪ Ký hiệu là u : P(U > u ) = 
▪ Tính chất: u1 = – ; u0 = + ; u0,5 = 0; u1– = – u
▪ Tra bảng phụ lục 6
▪ Hai giá trị quan trọng: u0,05 = 1,645; u0,025 = 1,96
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 100
u
1.645
0.05
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn
3.6. QUY LUẬT KHI BÌNH PHƯƠNG - 2(n)
▪ BNN liên tục 𝜒2 tuân theo quy luật Khi bình phương
với n bậc tự do (degree of freedom: df)
▪ Ký hiệu: 𝜒2~𝜒2(𝑛)
▪ Tham số: 𝐸(𝜒2) = 𝑛; 𝑉 𝜒2 = 2𝑛
▪ Giá trị tới hạn mức 𝛼, kí hiệu 𝜒𝛼
2(𝑛)
𝑃 𝜒2(𝑛) > 𝜒𝛼
2(𝑛)
= 𝛼
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 101
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.6. 
Giá trị tới hạn mức 
▪ Bảng đầy đủ: phụ lục 7 giáo trình
▪ Bảng giản lược
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 102
α 
n
0.975 0.95 0.05 0.025
α 
n
0.975 0.95 0.05 0.025
1 0.001 0.004 3.841 5.024 20 9.591 10.85 31.41 34.17
2 0.051 0.103 5.991 7.378 24 12.40 13.85 36.42 39.36
3 0.216 0.352 7.815 9.348 30 16.79 18.49 43.77 46.98
4 0.484 0.711 9.488 11.14 39 23.65 25.70 54.57 58.12
5 0.831 1.145 11.07 12.83 50 32.36 34.76 67.50 71.42
10 3.247 3.940 18.31 20.48 99 73.36 77.05 123.2 128.4
15 6.262 7.261 25.00 27.49 120 91.57 95.70 146.6 152.2
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.6. Quy luật Khi bình phương
3.7. QUY LUẬT STUDENT – T(n)
▪ BNN liên tục T tuân theo quy luật Student với n bậc
tự do, ký hiệu: T ~ T(n)
▪ Tham số: E(T) = 0; V(T) = n / (n – 2)
▪ Giá trị tới hạn mức , kí hiệu: 𝑡𝛼
(𝑛)
𝑃 𝑇(𝑛) > 𝑡𝛼
(𝑛)
= 𝛼
▪ Tính chất: 
• 𝑡0
(𝑛)
= +∞; 𝑡1
(𝑛)
= −∞; 𝑡1−𝛼
𝑛 = −𝑡𝛼
(𝑛)
• Với n > 30 thì có thể lấy 𝑡𝛼
(𝑛)
≈ 𝑢𝛼
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 103
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.7. 
Giá trị tới hạn mức 
▪ Bảng đầy đủ: phụ lục 8 giáo trình
▪ Bảng giản lược
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 104
α 
n
0.1 0.05 0.025
α 
n
0.1 0.05 0.025
10 1.372 1.812 2.228 17 1.333 1.740 2.110
11 1.363 1.796 2.201 18 1.330 1.734 2.101
12 1.356 1.782 2.179 19 1.328 1.729 2.093
13 1.350 1.771 2.160 20 1.325 1.725 2.086
14 1.345 1.761 2.145 24 1.318 1.711 2.064
15 1.341 1.753 2.131 30 1.310 1.697 2.042
16 1.337 1.746 2.120  1.282 1.645 1.960
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.7. Quy luật Student 
3.8. QUY LUẬT FISHER – F(n1, n2)
▪ BNN liên tục F tuân theo quy luật Fisher-Snedecor
(gọi tắt là Fisher) với hai bậc tự do n1 và n2
▪ Ký hiệu: F ~ F(n1, n2)
▪ Giá trị tới hạn mức 𝛼, kí hiệu: 𝑓𝛼
(𝑛1,𝑛2)
𝑃 𝐹 𝑛1, 𝑛2 > 𝑓𝛼
(𝑛1,𝑛2) = 𝛼
▪ Tính chất: 
𝑓1−𝛼
(𝑛1,𝑛2) =
1
𝑓𝛼
(𝑛2,𝑛1)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 105
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.8. 
Giá trị tới hạn mức 
▪ Bảng đầy đủ: phụ lục 9 giáo trình; Bảng giản lược: 
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 106
n2
n1 
α
24 39 59 99 120
24
0.025 2.27 2.15 2.08 2.03 2.01
0.05 1.98 1.90 1.84 1.80 1.79
39
0.025 2.02 1.89 1.82 1.75 1.74
0.05 1.80 1.70 1.65 1.60 1.58
49
0.025 1.94 1.81 1.73 1.66 1.65
0.05 1.74 1.64 1.58 1.53 1.52
59
0.025 1.89 1.75 1.67 1.60 1.59
0.05 1.70 1.60 1.54 1.49 1.47
99
0.025 1.79 1.65 1.56 1.49 1.46
0.05 1.63 1.52 1.45 1.39 1.38
Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.8. Quy luật Fisher
TÓM TẮT CHƯƠNG 3
▪ Quy luật Không một: A(p)
▪ Quy luật Nhị thức: B(n, p)
▪ Quy luật Chuẩn và Chuẩn hóa, cách tính xác suất
▪ Các giá trị tới hạn Chuẩn, Khi bình phương, Student, 
Fisher
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 107
Chương 3. Một số quy luật thông dụng
Bài tập cơ bản trong Giáo trình
▪ Trang 149: 3.3, 3.4
▪ Trang 156: 3.5, 3.7, 3.11, 3.17
▪ Trang 163: 3.20, 3.22, 3.25
▪ Trang 189: 3.39, 3.40, 3.43, 3.46
▪ Trang 201: 3.51, 3.60, 3.61, 3.65, 3.68
▪ Trang 204: 3.78, 3.80, 3.84, 3.87, 3.89, 3.90, 3.93
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 108
Chương 3. Một số quy luật thông dụng
Sử dụng Microsoft Excel
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 109
Quy luật Giá trị Hàm
X ~ B(n,p) P(X  x) = BINOMDIST(x,n,p,1)
X ~ B(n,p) P(X = x) = BINOMDIST(x,n,p,0)
X ~ P(λ) P(X  x) = POISSON(x, λ,1)
X ~ P(λ) P(X = x) = POISSON(x, λ,0)
X ~ N(,2) P(X  x) = F(x) = NORMDIST(x,μ,σ,1)
X ~ N(,2) Hàm mật độ f(x) = NORMDIST(x,μ,σ,0)
U ~ N(0,1) Phân vị mức α = NORMINV(α,0,1)
Chương 3. Một số quy luật thông dụng
Sử dụng Microsoft Excel
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 110
Quy luật Giá trị Hàm
U ~ N(0,1) Tới hạn uα = – NORMINV(α,0,1)
= NORMINV((1–α),0,1)
T ~ T(n) P(T  c) = 1– TDIST(c,n,2)
T ~ T(n) Tới hạn 𝑡𝛼
(𝑛) = TINV(2*α,n)
χ2 ~ χ2(n) P(χ2  c) = 1 – CHIDIST(c,n)
χ2 ~ χ2(n) Tới hạn χ𝛼
2(𝑛) = CHIINV(α,n)
F ~ F(n1,n2) P(F  c) = 1 – FDIST(c,n1,n2)
F ~ F(n1,n2) Tới hạn 𝑓𝛼
(𝑛1,𝑛2) = FINV(α,n1,n2)
Chương 3. Một số quy luật thông dụng