Bài tập lớn Xác suất thống kê - Nguyễn Thành Trung

x 1(x + + ) NÕu (x,y)
11 2 3
 NÕu (x,y)

∈ ×

 ∉ ×
a, EX = ( )xf x dx
+∞
−∞
∫ = 
1
2
0
12 1( )
11 2 3
x
x x dx+ +∫ = 7/11 = 0,63636 
DX = E(X2) – (EX)2 
E(X2) = 2 ( )x f x dx
+∞
−∞
∫ = 
1
2 2
0
12 1( )
11 2 3
x
x x dx+ +∫ = 157/330 = 0,47575 
DX = 0,47575 - 0,636362 = 0,070795 
Xác định P(Y + X < 1) 
P(Y + X < 1) =
1
( , )
y x
h x y dxdy
+ <
∫∫ = 
1 1
2 2
0 0
12( )
11
x
dx x xy y dy
−
+ +∫ ∫ 
=
1
2 2 3
0
12 1( (1 ) (1 ) (1 ) )
11 2 3
x
x x x x dx− + − + −∫ = 5/22. 
b, Hàm mật độ của Y là : 
g(y) = ( , )h x y dx
+∞
−∞
∫ = 
1
0
(0,1) (0,1)
0 (0,1) (0,1)
2 212 (x + xy + y )dx NÕu (x,y)
11
 NÕu (x,y)

∈ ×

 ∉ ×
∫
 = 
(0,1) (0,1)
0 (0,1) (0,1)
212 y 1(y + + ) NÕu (x,y)
11 2 3
 NÕu (x,y)

∈ ×

 ∉ ×
Dễ thấy f(x).g(y) ≠ h(x,y). Vậy X, Y không độc lập với nhau. 
c, Cov(X,Y) = E(XY) – EX.EY 
E(XY) = ( , )xyh x y dxdy
+∞ +∞
−∞ −∞
∫ ∫ = 
1 1
2 2
0 0
12 ( )
11
xy x xy y dxdy+ +∫ ∫ = 13/33 
EX = ( )xf x dx
+∞
−∞
∫ = 
1
2
0
12 1( )
11 2 3
x
x x dx+ +∫ = 7/11 
NguyÔn Thµnh Trung – Líp cao häc XD07 MSHV: 013 
Bµi tËp lín X¸c suÊt thèng kª 9 
EY = ( )yg y dy
+∞
−∞
∫ = 
1
2
0
12 1( )
11 2 3
yy y dy+ +∫ = 7/11 
Vậy: Cov(X,Y) = 13 7 7 0,0110
33 11 11
− × = − 
Hệ số tương quan: 
cov( , )
x y
X Yρ
σ σ
= = 
0,0110
0,070795
−
 = -0,155378 
13. X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân bố chuẩn N(0,1). Vậy hàm mật độ 
của X, Y là : 
2
21( )
2
x
f x e
pi
−
= ; 
2
21( )
2
y
g y e
pi
−
= 
Hàm mật độ chung của X, Y là: 
h(x,y) = f(x) × g(y) = 
2 2 2 2
2 2 21 1 1
22 2
x y x y
e e e
pipi pi
+
− − −
× = 
Xác suất P(X<Y) = 
0
( , )
x y
h x y dxdy
− <
∫∫ = 
2 2
2
0
1
2
x y
x y
e dxdy
pi
+
−
− <
∫∫
2 2
21 1
2 2
x y
x
dx e dxdy
pi
++∞ +∞
−
−∞
= =∫ ∫ 
14. Ma trận chuyển: 
Π = 
1/ 2 1/ 2 0
1/ 2 0 1/ 2
0 1/ 2 1/ 2
 
 
 
 
 
Phân bố xác suất giới hạn: 
Ta có hệ phương trình tìm giới hạn các xác suất lim (n)
ijn P→+∞ 
1 2 3
1 2 1
1 3 2
2 3 3
1
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
x x x
x x x
x x x
x x x
+ + =

 + =


+ =

 + =
 ⇒ x1 = 1/3 ; x2 = 1/3; x3 = 1/3 
Ma trận chuyển xác suất Πn sau n bước: 
Trị riêng của ma trận chuyển xác suất Π là: 1, -1/2, 1/2. Các véc tơ riêng tương ứng là: 
 Mưa Nắng Tuyết 
Mưa 
Nắng 
Tuyết 
NguyÔn Thµnh Trung – Líp cao häc XD07 MSHV: 013 
Bµi tËp lín X¸c suÊt thèng kª 10 
u1 = (1,1,1); u2 = (1,-2,1); u3 = (-1,0,1) 
Ma trận 
1 1 1
1 2 0
1 1 1
T
− 
 
= − 
 
 
; Ma trận 1
1/ 3 1/ 3 1/ 3
1/ 6 1/ 3 1/ 6
1/ 2 0 1/ 2
T −
 
 
= − 
 
− 
Ma trận 
1 0 0
0 1/ 2 0
0 0 1/ 2
A
 
 
= − 
 
 
; Ma trận 
(1) 0 0
0 ( 1/ 2) 0
0 0 (1/ 2)
n
n n
n
A
 
 
= − 
 
 
Πn = TAnT-1 
Πn = 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 6 2 2 2 3 3 2 3 6 2 2 2
1 1 1 1 2 1 1 1 1
3 3 2 3 3 2 3 3 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 6 2 2 2 3 3 2 3 6 2 2 2
n n n n n
n n n
n n n n n
          
+ − + − − + − −          
          
 
      
− − + − − −           

          + − − − − + − +                    



Ma trận chuyển xác suất Π2 là: 
Π2 = 
1/ 2 1/ 4 1/ 4
1/ 4 1/ 2 1/ 4
1/ 4 1/ 4 1/ 2
 
 
 
 
 
Phân bố xác suất ban đầu pio = (2/5, 1/5, 2/5). Vậy phân bố xác suất sau hai ngày của các 
trạng thái Mưa, Nắng, Tuyết là: 
1/ 2 1/ 4 1/ 4 2 / 5
1/ 4 1/ 2 1/ 4 1/ 5
1/ 4 1/ 4 1/ 2 2 / 5
  
  
  
  
  
 = 
7 / 20
6 / 20
7 / 20
M
N
T
 
 
 
 
 
Từ ma trận phân bố xác suất sau hai ngày ta thấy: Nếu hôm nay trời nắng, ngày kia nhiều 
khả năng xảy ra nhất trời cũng nắng. 
Cho nắng là trạng thái hút. Chuyển ma trận Π sang Xich markov hút: 
Π = 
1 0 0
1/ 2 1/ 2 0
1/ 2 0 1/ 2
N
M
T
 
 
 
 
 
Q = 1/ 2 0
0 1/ 2
 
 
 
; I = 
1 0
0 1
 
 
 
; (I – Q) = 1/ 2 0
0 1/ 2
 
 
 
; (I – Q)-1 = N = 1/ 2 0
0 1/ 2
 
 
 
; 
NguyÔn Thµnh Trung – Líp cao häc XD07 MSHV: 013 
Bµi tËp lín X¸c suÊt thèng kª 11 
 τ = 
2
2
 
 
 
. Vậy nếu hôm nay trời mưa thì sau hai ngày nữa trời có khả năng nắng. 
15. Ma trận chuyển của Xich Markov hút: 
Π = 
1
1 0 0
1/ 4 0 3/ 4
1/ 4 1/ 4 1/ 2
 
 
 
 
 
 2 3 
1
2
3
Phân bố xác suất giới hạn: 
Ta có hệ phương trình tìm giới hạn các xác suất lim (n)
ijn P→+∞ 
1 2 3
1 2 3 1
3 2
2 3 3
1
1 1
4 4
1
4
3 1
4 2
x x x
x x x x
x x
x x x
+ + =

 + + =


=

 + =
 ⇒ x1 = 1 ; x2 = 0; x3 = 0 
Ma trận chuyển xác suất Πn sau n bước: 
Trị riêng của ma trận chuyển xác suất Π là: 1, 3/4, -1/4. Các véc tơ riêng tương ứng là: 
u1 = (1,1,1); u2 = (0,1,1); u3 = (0,-3,1) 
Ma trận 
1 0 0
1 1 3
1 1 1
T
 
 
= − 
 
 
; Ma trận 1
1 0 0
1 1/ 4 3/ 4
0 1/ 4 1/ 4
T −
 
 
= − 
 
− 
Ma trận 
1 0 0
0 3/ 4 0
0 0 1/ 4
A
 
 
=  
 
− 
; Ma trận 
(1) 0 0
0 (3 / 4) 0
0 0 ( 1/ 4)
n
n n
n
A
 
 
=  
 
− 
Πn = TAnT-1 = 
1 0 0
3 1 3 3 1 3 3 3 11
4 4 4 4 4 4 4 4 4
3 1 3 1 1 3 3 1 11
4 4 4 4 4 4 4 4 4
n n n n n
n n n n n
 
 
 
          
− + − − −          
          
 
          
− − − + −          
          
NguyÔn Thµnh Trung – Líp cao häc XD07 MSHV: 013 
Bµi tËp lín X¸c suÊt thèng kª 12 
Q = 0 3/ 4
1/ 4 1/ 2
 
 
 
; I = 
1 0
0 1
 
 
 
; (I – Q) = 1 3/ 4
1/ 4 1/ 2
− 
 
− 
; (I – Q)-1 = N = 8 / 5 12 / 5
4 / 5 16 / 5
 
 
 
; 
 τ = N.e = 
4
4
 
 
 
. Vậy thời gian trung bình để hệ thống dịch chuyển từ trạng thái 3 sang 
trạng thái hút là 4. 
NguyÔn Thµnh Trung – Líp cao häc XD07 MSHV: 013 
Bµi tËp lín X¸c suÊt thèng kª 13 
Phần II: Thống kê toán và hồi quy bội 
1. Áp dụng công thức: 
X m Xu u
n n
α α
σ σ
− < < + 
X = 0,98; σ = 0,05; α = 1 – 0.95 = 0,05; n = 30 
u
n
α
σ
= 0,0179 (Lệnh CONFIDENCE(0.05,0.05,30)) 
Khoảng tin cậy cho trọng lượng trung bình của các gói đường với độ tin cậy 95% là: 
0,98 – 0,0179 < m < 0,98 + 0,0179 
0,9621 < m < 0,9979 
2. Áp dụng công thức: 
* *S SX m Xt t
n n
α α− < < + 
X = 3,907; α = 1 – 0.98 = 0,02; n = 20 
t α = t0,02 = 2,5395 (Lệnh TINV(0.02,19)) 
S* = 1,0423 (Lệnh STDEV(X)) 
Khoảng tin cậy với độ tin cậy 98% là: 
3,907 – 2,5395(1,0423/ 20 ) < m < 3,907 + 2,5395(1,0423/ 20 ) 
3,3146 < m < 4,4994 
3. X = 7,935; n = 40 
a) α = 1 – 0.94 = 0,06; σ = 1; 
u
n
α
σ
= 0,2974 (Lệnh CONFIDENCE(0.06,1,40)) 
Khoảng tin cậy cho kì vọng EX của đại lượng ngẫu nhiên với độ tin cậy 94% là: 
7,935 – 0,2974 < m < 7,935 + 0,2974 
7,6376 < m < 8,2324 
b) α = 1 – 0,94 = 0,06; 
t α = t0,06 = 1,9371 (Lệnh TINV(0.06,39)) 
S* = 0,8804 (Lệnh STDEV(X)) 
Khoảng tin cậy cho kì vọng EX của đại lượng ngẫu nhiên với độ tin cậy 94% là: 
7,935 – 1,9371(0,8804/ 40 )< m < 7,935 + 1,9371(0,8804/ 40 ) 
NguyÔn Thµnh Trung – Líp cao häc XD07 MSHV: 013 
Bµi tËp lín X¸c suÊt thèng kª 14 
7,6653 < m < 8,2047 
4. Tần suất xuất hiện phiếu bầu cho ứng cử viên A là: 

p = 245
500
 = 0,49 
α = 1 – 0,90 = 0,1; n = 500 
uα = 1,6449 (Lệnh NORMSINV(0.95)) 
Khoảng tin cậy cho tỉ lệ phiếu bầu cho ứng cử viên A: 
0,49 – (1,6449/ 500 ) 0,49(1 0, 49)− < p < 0,49 + (1,6449/ 500 ) 0,49(1 0, 49)− 
0,4532 < p < 0,5268 
5. 
p = 340
400
 = 0,85; po = 0,88; 
α = 0,05; n = 400; 
uα = 1,6449 (Lệnh NORMSINV(0.95)) 

0
0 01( )
p p
n
p p
−
−
 = -1.846 < - uα = -1,6449 
Báo cáo của sở giáo dục là quá cao. 
6. X = 1,695; α = 0,05; n = 12; σ = 0,3; mo = 1,9 
uα = 1,6449 (Lệnh NORMSINV(0.95)) 
oX m n
σ
−
 = 
1,695 1,9 12
0,3
−
 = -2,367 < - uα = -1,6449 
Bác bỏ giả thiết H. 
7. X = 3,907; α = 0,04; n = 20 
t α = t0,04 = 2,2047 (Lệnh TINV(0.04,19)) 
S* = 1,0423 (Lệnh STDEV(X)) 
tqs = *
oX m n
S
−
 = -2,115275; |tqs| = 2,115275 < t0,04 = 2,2047 
Vậy mẫu không thuộc miền bác bỏ. Ta chấp nhận giả thiết giá trị trung bình của đại 
lượng ngẫu nhiên bằng 4,4. 
8. Áp dụng công thức: 




2
2
1
( )r i i
i i
n n pQ
n p=
−
=∑ . Dùng lệnh NORMDIST để tính giá trị xác suất ta được: 
NguyÔn Thµnh Trung – Líp cao häc XD07 MSHV: 013 
Bµi tËp lín X¸c suÊt thèng kª 15 




2
2
1
( )r i i
i i
n n pQ
n p=
−
=∑ = 14,20299 
χ2α = 17,60828 (Lệnh CHIINV(0.04,9)) 




2
2
1
( )r i i
i i
n n pQ
n p=
−
=∑ = 14,20299 < χ2α = 17,60828. 
Chấp nhận giả thiết H: chiều cao của cây có phân bố đều. 
9. Áp dụng công thức: 




2
2
1
( )r i i
i i
n n pQ
n p=
−
=∑ 
p1 = p2 = ... p6 = 1/6 




2
2
1
( )r i i
i i
n n pQ
n p=
−
=∑ = 17 
χ2α = 11,07 (Lệnh CHIINV(0.05,5)) 




2
2
1
( )r i i
i i
n n pQ
n p=
−
=∑ = 17 > χ2α = 11,07. 
Vậy ta bác bỏ giả thiết các ngày nghỉ của học sinh có phân bố đều. 
10. α = 0,01; 
χ2α = 11,345 (Lệnh CHIINV(0.01,3)) 
2
1 1
.( )
.
i j
r s
i ji j
n n
nij
n
n n
n
= =
−
∑∑ =22,532 > χ2α = 11,345 
Vậy ta bác bỏ giả thiết. 
11. Hệ số tương quan giữa X và Y: r = 0,9835 (Lệnh CORREL (X,Y)). 
 Phương trình hồi quy 
y = 1,6394x + 0,6875 
Dự báo doanh thu của công ty: 

Y = 1,6394 x 20 + 0,6875 = 33,476 
12. a, Phương trình mặt phẳng hồi quy 
y = -1.33 + 0.0516x1 + 0.0507x2 + 0.6805x3 
b, Hệ số xác định R2 = 0,9518. Sai số chuẩn của hồi quy se = 0,2506 
NguyÔn Thµnh Trung – Líp cao häc XD07 MSHV: 013 
Bµi tËp lín X¸c suÊt thèng kª 16 
c, Hệ số tương quan bội R = 0,9756 
Hệ số tương quan riêng giữa điểm trung bình chung cuối năm thứ nhất và điểm thi tốt 
nghiệp phổ thông trung học ρ = 0,7077 
d, Khoảng tin cậy cho β2 với độ tin cậy 90%: 
-0,0194 < β2 < 0,1207 
e, Dự báo điểm trung bình chung cuối năm 

Y = 9,1025 
-----------------------------------------------