Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 2: Biến ngẫu nhiên & Quy luật phân phối xác suất

ác suất
▪ Hay hàm khối lượng xác suất (mass probability)
▪ X rời rạc, X = {x1, x2,, xn} ; n có thể bằng 
▪ Xác suất: pi = P(X = xi), i = 1  n
▪ Tính chất: 
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 56
X x1 x2  xn
P p1 p2  pn

  
1
0 1 & 1
n
i i
i
p p
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất
Hàm phân bố xác suất F(x)
▪ Còn gọi là hàm tích lũy xác suất (cumulative 
probability function)
▪ Định nghĩa 2.2. Hàm phân bố xác suất của X, ký
hiệu là F(x), x ℝ, được tính bởi công thức:
F(x) = P(X < x)
▪ Nếu X rời rạc: F(x) =
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 57


i
i
x x
p
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất
Ví dụ 2.1
▪ BNN X rời rạc có:
▪ Hàm F(x) sẽ là:
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 58
X 1 2 3
P 0,3 0,5 0,2
0 1
0 3 1 2
0 8 2 3
1 3

  
 
 
 
:
, :
( )
, :
:
x
x
F x
x
x x
x
1 2 3
0,8
0,3
1
0,3
0,5
0,2
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất
Tính chất của F(x)
▪ F(x) thuộc đoạn [0, 1]
▪ F(x) là hàm không giảm: x1 < x2 thì F(x1)  F(x2)
• Hệ quả: P(a  X < b) = F(b) – F(a)
• Hệ quả: Nếu X liên tục: P(X = x) = 0
• Hệ quả: Nếu X liên tục: P(a  X  b) = P(a  X < b)
= P(a < X  b) = P(a < X < b)
▪ F(–) = 0 và F(+) = 1
• Hệ quả: Nếu X chỉ nhận giá trị trong [a, b] thì F(x)
= 0 với x  a và F(x) = 1 với x > b
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 59
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất
Hàm mật độ xác suất f(x)
▪ Biến ngẫu nhiên X liên tục
thì hàm F(x) liên tục
▪ Định nghĩa 2.3. Hàm mật
độ xác suất (probability 
density function: PDF) của
BNN liên tục X, ký hiệu là
f(x), x ℝ, là đạo hàm của
hàm F(x):
f(x) = F (x)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 60
x
x
F(x)
f(x)
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất
Tính chất của f(x)
▪ Tính chất 1: f(x)  0  x
▪ Tính chất 2:
▪ Tính chất 3: 
▪ Tính chất 4: 
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 61
   ( ) ( )
b
a
P a X b f x dx


 ( ) 1f x dx

 ( ) ( )
x
F x f x dx
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất
Ví dụ 2.2
▪ Thời gian chờ của khách hàng (giờ) ở một cửa hàng
có hàm mật độ:
▪ (a) Tính xác suất một khách chờ hơn nửa giờ
▪ (b) Tính xác suất một khách chờ từ 20 đến 40 phút
▪ (c) Tìm mức thời gian mà 20% số khách chờ lâu
hơn mức đó
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 62
: [ , ]
( )
: [ , ]
0 0 1
2 0 1
x
f x
x x

 

Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất
Ví dụ 2.2
▪ Minh họa ví dụ
▪ Hàm F(x) có dạng
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 63
x
x
f(x)


  
 
:
( ) :
:
x
F x x x
x
2
0 0
0 1
1 1
1/3 2/3 1
F(x)
4/9
1/9
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.2. Quy luật phân phối xác suất
2.3. CÁC THAM SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN
▪ Các tham số đặc trưng xu thế trung tâm: Kỳ vọng
toán, trung vị, mốt
▪ Các tham số đặc trưng độ phân tán: Phương sai, độ
lệch chuẩn, hệ số biến thiên
▪ Các tham số đặc trưng khác: Giá trị tới hạn, Hệ số
nhọn, hệ số bất đối xứng
▪ Tại đây tập trung: Kỳ vọng, Phương sai, Độ lệch
chuẩn, Giá trị tới hạn
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 64
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. 
Kỳ vọng toán
▪ Định nghĩa 2.4. Kỳ vọng toán (expected value) của
BNN X, ký hiệu là E(X), được tính :
• Nếu X rời rạc:
• Nếu X liên tục: 
▪ Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên là số xác định
▪ Kỳ vọng có cùng đơn vị với X
▪ Kỳ vọng đo độ lớn về mặt trung bình
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 65


1
( )
n
i i
i
E X x p


 ( ) ( )E X x f x dx
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên
Tính chất của kỳ vọng toán
▪ Nếu C là hằng số; X, Y là biến ngẫu nhiên
▪ Tính chất 1: E(C) = C
▪ Tính chất 2: E(C.X) = C.E(X)
▪ Tính chất 3: E(X + Y) = E(X) + E(Y)
• Hệ quả: 𝐸 σ𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖 = σ𝑖=1
𝑛 𝐸(𝑋𝑖)
▪ Tính chất 4: Nếu X, Y độc lập: E(X.Y) = E(X).E(Y)
• Hệ quả: Nếu các Xi độc lập: 
𝐸 ς𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖 = ς𝑖=1
𝑛 𝐸(𝑋𝑖)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 66
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên
Phương sai
▪ Định nghĩa 2.5. Phương sai (variance) của BNN X, 
ký hiệu V(X) được tính theo công thức:
V(X) = E( X – E(X))2
▪ Chứng minh được: V(X) = E(X2) – (E(X))2
• X rời rạc: 
• X liên tục: 
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 67


2 2
1
( )
n
i ii
E X x p


 
2 2( ) ( )E X x f x dx
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên
Phương sai
▪ Phương sai đo độ dao động của các giá trị của X
quanh kỳ vọng toán
▪ Phương sai có đơn vị là bình phương đơn vị của X
▪ Nếu X, Y cùng đơn vị, cùng ý nghĩa, V(X) > V(Y) thì:
• X biến động, dao động, phân tán hơn Y
• Y ổn định, đồng đều hơn X
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 68
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên
Tính chất của phương sai
▪ Với C là hằng số; X, Y là biến ngẫu nhiên
▪ Tính chất 1: V(C) = 0
▪ Tính chất 2: V(C.X) = C2V(X)
▪ Tính chất 3: Nếu X, Y độc lập: V(X + Y) = V(X) + V(Y)
• Hệ quả: Nếu các Xi độc lập:
• Hệ quả: V(C + X) = V(X)
• Hệ quả: V(X – Y) = V(X) + V(Y)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 69
   1 1 ( )n ni ii iV X V X
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên
Độ lệch chuẩn
▪ Định nghĩa 2.6. Độ lệch chuẩn (standard 
deviation) của BNN X, ký hiệu σX là căn bậc hai của
phương sai
▪ Độ lệch chuẩn cũng đo mức độ dao động, phân tán
của X tương tự ý nghĩa phương sai, nhưng:
▪ Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với X
▪ Phương sai, độ lệch chuẩn đo độ biến động tuyệt đối
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 70
σ  ( )
X
V X
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên
Ví dụ 2.3
▪ Tính kì vọng, phương sai độ lệch chuẩn của X:
▪ (a) Với X là số lần bán được hàng trong ngày, có
bảng phân phối xác suất:
▪ (b) Với X là thời gian chờ đợi ở cửa hàng (giờ), có
hàm mật độ
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 71
X 1 2 3
P 0,3 0,5 0,2
: [ , ]
( )
: [ , ]
0 0 1
2 0 1
x
f x
x x

 

Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên
Ví dụ 2.4
Một người chơi trò chơi phải bỏ tiền. Nếu thắng sẽ
được nhận 70 lần số tiền bỏ ra, nếu thua sẽ mất toàn
bộ số tiền. Xác suất thắng bằng 1%. 
Tính kì vọng, phương sai của lợi ích về tiền khi:
▪ (a) Chơi một lần, bỏ ra 1 triệu đồng
▪ (b) Chơi một lần, bỏ ra 10 triệu đồng
▪ (c) So sánh khi chơi 1 lần 10 triệu và chơi 10 lần -
mỗi lần 1 triệu, biết các lần chơi là độc lập nhau
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 72
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên
Hệ số biến thiên
▪ Định nghĩa 2.7. Hệ số biến thiên (coefficient of 
variation) của X ký hiệu là CV được tính theo công
thức:
▪ Hệ số biến thiên đơn vị là %
▪ Hệ số biến thiên đo độ phân tán tương đối
▪ Có thể so sánh hệ số biến thiên của nhiều BNN khác
nhau, không cần cùng đơn vị, ý nghĩa.
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 73
σ
 100%
| ( )|
XCV
E X
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên
Trung vị
▪ Định nghĩa 2.8. Trung vị (median) của BNN X ký
hiệu là md là giá trị nằm ở chính giữa phân phối xác
suất
▪ Nếu X rời rạc: md = xi thỏa mãn: F(xi)  0,5 < F(xi+1)
▪ Nếu X liên tục: md thỏa mãn: 
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 74

 ( ) 0,5
d
m
f x dx
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên
Mốt (mode)
▪ Định nghĩa 2.9. Mốt (mode) của BNN X, ký hiệu m0
là giá trị - nếu có - ứng với xác suất lớn nhất (X rời
rạc) hoặc hàm mật độ f(x) lớn nhất (X liên tục)
▪ BNN có thể không có mốt, có 1 mốt, hoặc nhiều mốt
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 75
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên
Giá trị tới hạn
▪ Định nghĩa 2.10. Với X liên tục, giá trị tới hạn
(cutoff point, critical value) mức  (0    1) ký
hiệu là x là số thực sao cho:
P(X > x) = 
▪ Ngoài ra còn Hệ số bất đối xứng (Skewness) và Hệ số
nhọn (Kurtosis): tự đọc
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 76
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên
TÓM TẮT CHƯƠNG 2
▪ Biến ngẫu nhiên và giá trị có thể có
▪ BNN rời rạc và liên tục
▪ Quy luật phân phối xác suất: Bảng phân phối xác
suất, hàm phân bố xác suất, hàm mật độ xác suất
▪ Các tham số và ý nghĩa: kỳ vọng, phương sai, độ lệch
chuẩn
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 77
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật
Bài tập cơ bản trong Giáo trình
▪ Trang 84: 2.1, 2.2
▪ Trang 91: 2.7
▪ Trang 98: 2.9, 2.12
▪ Trang 113: 2.19, 2.22, 2.23
▪ Trang 123: 2.30, 2.34, 2.36, 2.41, 2.42
▪ Trang 133: 2.50, 2.51, 2.53
▪ Trang 136: 2.65, 2.67, 2.74, 2.76, 2.77, 2.83, 2.85, 
2.86
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 78
Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật