Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 0: Giải tích tổ hợp - Phạm Trí Cao

ách treo 5 bức tranh là một cách lấy 5 cái
móc treo từ 7 cái móc treo. Đây là cách lấy có thứ
tự, bởi vì trật tự lấy các móc khác nhau sẽ cho ta
các cách treo tranh khác nhau.
 Vậy số cách lấy có thứ tự 5 phần tử từ 7 phần tử
được tính như thế nào?
7
ĐN: Một chỉnh hợp n chập k (chỉnh hợp chập k của n) là 1
cách lấy k phần tử khác nhau (có để ý thứ tự, trật tự sắp
xếp) từ n phần tử khác nhau.
Số chỉnh hợp :
A(k,n)= )!(
!
kn
nknA 
Với n!=1*2*3*...*n , quy ước 0!=1
Ví dụ: Theo ví dụ trên ta có: Một cách treo 5 bức tranh là
1 cách chọn ra 5 móc treo khác nhau từ 7 móc treo (có để
ý đến vị trí của chúng)
Mỗi cách treo là 1 chỉnh hợp 7 chập 5:
A(5,7)=7*6*5*4*3 8
 NX: mỗi k phần tử lấy ra từ n phần tử tạo thành 1
nhóm.
 Các nhóm khác nhau do:
 -các phần tử trong nhóm khác nhau
 Vd: 1234 khác 3456
 -thứ tự, trật tự sắp xếp của các phần tử trong nhóm
khác nhau
 Vd: 1234 khác 3412
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0
3
9
3) Hoán vị:
 Có n phần tử khác nhau.
 Một hoán vị của n phần tử này là 1 cách sắp xếp n
phần tử này theo 1 thứ tự xác định.
 NX: Ta thấy hoán vị là trường hợp đặc biệt của chỉnh
hợp, với k=n ?
 Số hoán vị: P(n)=n! (=A(n,n))
 Ví dụ: Có 4 người.
 Có bao nhiêu cách xếp 4 người này:
 a)ngồi thành hàng dài
 b)ngồi thành vòng tròn
 c)ngồi vào bàn tròn có đánh số
10
HD:
a) A B C D
1 2 3 4
Mỗi cách xếp 4 người này là 1 hoán vị của 4 người này => có
4! Cách
b) 1
2
Chọn ra 1 người làm mốc, ta thấy vị trí bắt đầu của người này
không quan trọng (ví dụ: A làm mốc, A ở vị trí 1 cũng tương
tự như A ở vị trí 2)
Chỉ sắp xếp 3 người còn lại : có 3! Cách
c) 4!
11
4) Tổû hợp:
Một tổ hợp n chập k là 1 cách lấy k phần tử khác nhau
(không để ý thứ tự sắp xếp) từ n phần tử khác nhau
Số tổ hợp :
C(k,n)= )!(!
!
knk
nknC 
VD: Một phòng làm việc của 1 công ty có 30 nhân viên.
a) Có bao nhiêu cách giám đốc chọn ra BLĐ phòng gồm
3 người.
b) BLĐ phòng gồm: trưởng phòng, phó phòng, thư ký.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra BLĐ phòng. 12
HD:
 a) Một BLĐ phòng là 1 cách chọn 3 người từ 30 người
(chọn tùy ý, không quan tâm thứ tự sắp xếp) => Mỗi
cách chọn là 1 tổ hợp. Số cách chọn là C(3,30)
 b) Cách 1: Vì 3 người trong BLĐ có chức vụ rõ ràng:
TP, PP, TK => có để ý thứ tự sắp xếp
 Số cách chọn là A(3,30)
 Cách 2: công việc chọn BLĐ phòng có 3 giai đoạn:
 gđ1: chọn TP: có 30 cách
 gđ2: chọn PP: có 29 cách
 gđ3: chọn TK: có 28 cách
 Vậy có: 30*29*28 cách
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0
4
13
 Cách 3: Chia thành 2 gđ:
 gđ1: chọn tùy ý 3 người từ 30 người: có C(3,30) cách
 gđ2: ứng với 3 người được chọn, chỉ định 1 người làm
TP, 1 người làm PP, 1 người làm TK: có 3! Cách
 Vậy có: C(3,30)*3! Cách
 NX: A(k,n)=C(k,n)*k!
 NX:
 Tổ hợp: các nhóm khác nhau do các phần tử trong
nhóm khác nhau
14
Bình loạn:
 Qua VD này bạn có cảm nhận được sự “vô thường” của
cuộc đời! Ta có 2 cách chọn:
 C1: Chọn 3 người có chỉ định chức vụ ngay từ đầu.
 C2: Chọn tùy ý 3 người, sau đó mới chỉ định chức vụ
cho từng người.
 Theo bạn thì 2 cách chọn này có cho cùng kết quả như
nhau?!
 Dưới góc độ khoa học tự nhiên: c1 và c2 cho cùng 1 kết
quả.
15
Bình loạn: tiếp theo
 Dưới góc độ khoa học xã hội: c1 và c2 cho kết quả khác
nhau “1 trời 1 vực”! Tại sao ư?!
 Khi GĐ chọn ra 3 người, trong thời gian chuẩn bị chỉ
định chức vụ cho từng người thì các người này đã lo
“vận động hậu trường” cho chức vụ của mình rồi, ai
vận động “mạnh hơn” thì sẽ được làm TP.
 Bạn sẽ nói: “Khờ quá! Ai lại để cho c2 xãy ra. Khi GĐ
chỉ mới dự định chọn BLĐ thôi thì phải lo vận động cho
chức vụ TP rồi chứ”.
 ???????!!!!!!!
 Ừ! Khờ thiệt!
16
5) Chỉnh hợp lặp:
 Ví dụ: Tín hiệu Móc có độ dài là 4 tín âm. Mỗi tín
âm là Tít (T) hoặc te (t)
 Vd: TTTT, TTTt, tTTT, TTtt, Tttt, tttt...
 Hỏi có bao nhiêu tín hiệu Móc được tạo thành?
 HD:
 Tâ1 Tâ2 Tâ3 Tâ4
 2 2 2 2
 Vậy có: 2*2*2*2=24 tín hiệu Móc
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0
5
17
• ĐN: Một chỉnh hợp lặp n chập k là 1 cách
chọn ra k phần tử ( có để ý thứ tự) từ n phần
tử khác nhau. Mỗi phần tử có thể lặp lại
nhiều lần (tối đa là k lần)
• Số chỉnh hợp lặp: A*(k,n)= knA
~
=nk
• NX: k có thể lớn hơn n
18
6) Hoán vị lặp:
 Nhắc lại: Số hoán vị của n phần tử khác nhau là:
P(n)=n!
 Ta cóù n phần tử, trong đó có:
 n1 phần tử có cùng tính chất A1
 n2 phần tử có cùng tính chất A2
 ..................
 nk phần tử có cùng tính chất Ak
 với n1+n2+...+nk=n
 Số hoán vị của n phần tử này là: n! /(n1! n2! ...nk!)
19
 Ví dụ: Có 10 người định cư vào 3 nước: Anh, Pháp,
Mỹ.
 Nước Anh nhận 3 người, nước Pháp nhận 3 người,
nước Mỹ nhận 4 người
 Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
 HD: Ta có 10 người, trong đó có:
 3 người có cùng tính chất A1 (cùng định cư ở Anh)
 3 người có cùng tính chất A2 (cùng định cư ở Pháp)
 4 người có cùng tính chất A3 (cùng định cư ở Mỹ)
 Vậy có: 10! / (3! 3! 4!) Cách
 Cách 2: dùng nguyên lý nhân?
20
 Cách 2: Chia thành 3 gđ:
 gđ1: Sắp 3 người vào nước Anh (không chú ý trật tự
sắp xếp của 3 người này): có C(3,10) cách => còn lại
7 người sắp xếp vào 2 nước Pháp, Mỹ
 gđ2: Sắp 3 người (trong 7 người còn lại) vào nước
Pháp: có C(3,7) cách
 gđ3: Sắp 4 người (trong 4 người còn lại) vào nước
Mỹ: có C(4,4)=1 cách
 Vậy có: C(3,10)*C(3,7)*C(4,4) cách
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0
6
21
TÓM LẠI
 Tổng kết các quy tắc đếm.
 Ta có bài toán tổng quát sau: có n phần tử, chọn ra k phần tử.
Các trường hợp:
 a)nếu không để ý thứ tự: tổ hợp
 b)Nếu có để ý thứ tự:
 b1)Nếu k=n:
 *Nếu n phần tử khác nhau: hoán vị
 *Nếu trong n phần tử có các phần tử có cùng tính chất:
hoán vị lặp
 b2)Nếu k≠n và nếu k phần tử lấy ra khác nhau: chỉnh hợp
 b3)Nếu các phần tử có thể lặp lại (tối đa k lần): chỉnh hợp
lặp
Nếu ta không áp dụng được các quy tắc: chỉnh hợp, chỉnh
hợp lặp, tổ hợp, hoán vị, hoán vị lặp: dùng quy tắc nhân
(chia công việc ra thành 1 số giai đoạn)
22
Bài tập 1
 Lớp có 30 sv, có 20 nam. Trong 1 buổi khiêu vũ,
có bao nhiêu cách:
 a)Chọn ra 1 đôi (1nam và 1 nữ)
 b)Chọn ra 3 nam, 3 nữ
 c)Chọn ra 3 đôi
23
Hd1:
 a)Có C(1,20)*C(1,10) cách
 b)Có C(3,20)*C(3,10) cách
 c)Chia thành 2 gđ:
 gđ1: chọn ra 3 nam, 3 nữ: có C(3,20)*C(3,10)
cách
 gđ2: ứng với 3 nam, 3 nữ vừa chọn => bắt đôi (cố
định nữ, cho 3 nam chọn 3 nữ) => mỗi cách bắt
đôi là 1 hoán vị của 3 nam => có 3! Cách bắt đôi
 Vậy có: C(3,20)*C(3,10)*3! Cách
24
bt2
 Để báo tín hiệu trên biển người ta dùng 5 cờ với 7
màu khác nhau
 (Vd: Đ Đ Đ Đ Đ là tín hiệu SOS, T V T X T)
 Hỏi có bao nhiêu tín hiệu, có:
 a)5 màu khác nhau
 b)có màu tùy ý
 c)2 cờ kế nhau không được cùng màu
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0
7
25
Hd2:
 a)Có A(5,7) tín hiệu
 B) 75 tín hiệu
 c) Đ X Đ V T Đ T X V Đ
 c1 c2 c3 c4 c5 c1 c2 c3 c4 c5
 Cờ 1: có 7 cách chọn màu
 2: có 6 cách
 3: có 6
 4: có 6
 5:có 6
 Vậy có: 7*6*6*6*6*6 tín hiệu
 NX: sự khác nhau giữa câu b và c 26
Bt3:
 Một mã tên nhân viên (MTNV) gồm có 3 chữ số.
Vd: 000, 001, 023, 345,...
 Hỏi:
 a)Có bao nhiêu MTNV được tạo ra từ 3 chữ số?
 b)Có bao nhiêu MTNV có 3 chữ số khác nhau
 c)Có bao nhiêu MTNV có 3 chữ số trùng nhau
 d)Có bao nhiêu MTNV có 2 chữ số trùng nhau
27
Hd3:
 Các chữ số lấy từ tập A={0,1,2,...,9}
 a) cs1 cs2 cs3
 10 10 10
 Vậy có : 103=1000 MTNV
 b)Có A(3,10) MTNV
 c)Có 10 MTNV
 d)Chia thành 3 gđ:
 gđ1: Chọn ra 2 chữ số khác nhau (tùy ý) từ tập A: có
C(2,10) cách
 gđ2: Từ 2 chữ số đã chọn, chọn ra 1 chữ số làm chữ số
trùng: có C(1,2) cách =>ta có 3 chữ số (trong đó có 2 chữ
số trùng)
 gđ3: Sắp xếp 3 chữ số này để tạo thành các MTNV khác
nhau: có 3!/ 2! Cách
 Vậy có: C(2,10)*C(1,2)* 3!/2! MTNV
 Cách2: câu d)= câu a) –câu b) –câu c) 28
Bt4:
 Có các chữ số : 1,2,3,4,5
 Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 chữ số này sao cho
nhóm chữ số chẳn và nhóm chữ số lẻ tách biệt
nhau?
 Td: 13524, 15324, 42351, 24351
 Không xét: 21354
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0
8
29
Hd4:
 Công việc có 3 gđ:
 Gđ1: chia các chữ số thành 2 nhóm: nhóm CS chẳn,
nhóm CS lẻ. Sắp xếp 2 nhóm này: có 2! Cách. (TD:
13524, 24135)
 Gđ2: sắp xếp các CS lẻ trong nhóm CS lẻ: có 3!
Cách. (TD: 135,531,351)
 Gđ3: sắp xếp các CS chẳn trong nhóm CS chẳn: có 2!
Cách.
 Theo NLN, ta có 2! 3! 2! = 2*6*2= 24 cách

30
Phụ lục: Các hàm tính toán thông dụng trong EXCEL
COMBIN(8,2) = 28C , PERMUT(100,3) =
3
100A
FACT(5) = 5! , POWER(5,2) = 25
~A = 52
MULTINOMIAL(4,2,3) = !3!2!4
!9
LN(e) = 1 , LN(5) = 1,6094
LOG10(5) = log10(5) = lg(5) = 0,6990
LOG10(10) = 1

31
 Quy ước: Quyển (*) là quyển:
 BÀI TẬP XSTK, ThS. Lê Khánh Luận & GVC.
Nguyễn Thanh Sơn & ThS. Phạm Trí Cao, NXB
Thống kê 2009.
 Xem thêm 1 số dạng bài tập về quy tắc đếm ở
quyển (*).
32
Mời ghé thăm trang web:





www37.websamba.com/phamtricao
www.phamtricao.web1000.com