Bài giảng Chuyên đề Phương pháp tính - Chương 8: Phương pháp phần tử hữu hạn (Phần 5)

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Ví dụ: Tính toán hệ thanh 
1. Phần tử thanh chịu biến dạng dọc trục 
Đi biểu diễn chuyển vị dọc thanh: 
 U(x) = [N].{q}e 
trong đó: {q}e = 
ej
i
ej
i
u
u
q
q



≡




y
x
EF
L = a
L = a
q
q3
q2
q1
1
2
Chọn hàm chuyển vị có dạng bậc nhất: 
 [N] = [N1 N2] = [(1- L
x ) 
L
x ], 
với biến dạng và ứng suất chỉ có theo 
phương trục ox: 


σ=σ
ε=ε
}{}{
}{}{
x
x
Ký hiệu: 

=∂
dx
d][ , 
 [D] = [E] => σx = E.εx 
với E - modun đàn hồi Young của vật liệu 
D- là ma trận liên hệ giữa ứng suất và biến dạng: [σ] = [D].{ε} 
Ta có: [B] = [ ].[N] = ∂ ]11[
L
1
L
1
L
1
L
x)
L
x1(.
dx
d −=

−=

 −

 
 [K]e = 


−
−=−

−=∫ ∫ 11
11
.
L
EFdx.F].11[
L
1.E.
1
1
L
1dV].B].[D.[]B[
Ve
L
0
T 
Trong trường hợp chỉ có lực phân bố dọc trục p(x) = q, vectơ tải được tính: 


=


=







 −
=







 −
== ∫∫∫ 1
1
2
a.q
1
1
2
L.qdx.q.
L
x
)
L
x1(
dx).x(p.
L
x
)
L
x1(
dx)}.x(p.{]N[}{P
L
0
L
o
L
0
T
e
Ma trận tổng thể (có được khi cộng hai phần tử thanh): 








−+
−
=
1sym
1)11(
11
a
EF]K[ = 








−
−
1sym
12
11
a
EF
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 75 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Vectơ tải trọng nút: , 






=


 −
0
0
R
P
n
Vectơ tải tổng thể: 





 +
=






+






+=


 −
2
qa
qa
R
2
qa
0
0
R
1
11
1
2
qaP 
Ta có hệ phương trình: được tính cụ thể như sau: 


=




 −−− PqK





 +
=














−
−
2
qa
qa
)R
2
qa(
q
q
q
1sym
12
011
a
EF
3
2
1
Điều kiện biên chuyển vị: 0q1 = 
Giải hệ này ta được: 



=
=
EF
qa
2
4q
EF
qa.
2
3q
2
3
2
2
Xác định nội lực: 
 dx/dux =ε FEM
Chính xác
2qa
3qa/2
Chính xác
FEM
Nu
qa/2
constE xx =ε=σ , 3qa2/2EF
 lực dọc: 
4qa2/2EF Nc = F.σx = E.F.εx 
N1 = EF. 2
qa3
EF
qa
2
3
0
.
a
1
a
1EF
dx
du 2
1
=








−= 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 76 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
N2 =EF. 2
qa
EF
qa
2
4
EF2
qa3
.
a
1
a
1EF
dx
du
2
2
2
=








−= 
2. Phần tử thanh trong dàn phẳng 
y'
o x'
y
e
q'2i-1 = ui'
vi' i=ri'i
u1 =q1
vi'i=q'2j
u2 =q2
uj'j=q' 2j-1
x 
Trong dàn phẳng xem mỗi mắt dàn là một đỉnh nút, mỗi thanh dàn là 
một phần tử chiụ biến dạng dọc trục: 
 q1 = q’2i-1lij + q’2i-mij 
 q2 = q’2j-1lij + q’2j-mij 
Trong đó: lij, mij là cosine chỉ phương của trục phần tử (trục x) đối với hệ 
trục tổng thể x’o’y’. 
Ta có: {q}e { } { }Te21Te21 q,qu,u ≡≡ 
 {q’}e { } { }Tj2'1j2'2'1i2'T'jj''ii' q,q,iq,qv,u,v,u −−≡≡ 
nên: {q}e =[T]e.{q’}e trong đó ma trận chuyển trục, 
 [T]e= 


ijij
ijij
ml00
00ml
Vậy ma trận độ cứng trong hệ tọa độ tổng thể: 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 77 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
[K’]e =[T]Te .[K]e.[T] = 








ij
ij
ij
ij
m0
l0
0m
0l
×


−
−×
11
11
L
EF 


ijij
ijij
ml00
00ml
Cuối cùng: 
 [K’]e = L
EF










−−
−−
2
ij
ijij
2
ij
2
ijijij
2
ij
ijij
2
ijijij
2
ij
msym
mll
mmlm
mllmll
Chú ý: 
e α
o x'
y'
x
y
x'i x'j 
y'i
y'j
i
j
 lij = cos(x,x’ ) = L
xx 'i
'
j − 
 mij = cos(x,y’ ) = L
yy 'i
'
j − 
Với: L = 2i'j'2i'j' )yy()xx( −+− 
Theo hình vẽ: 
 lij = cos ( ), mα ij=sin(α ) 
Nên [T]e = 


αα
αα
sincos00
00sincos
Nội lực thanh dàn: , ex }q]{B[=ε xx Eε=σ , N = σx.F = EF.[B].{q}e 
Nên Ne= EF[ =[ với: [ =EF[B][Te
'
e }q{]T][B e
''
e }q]{S ]S
'
e e]; 
 [ = EF.]S 'e 

−
L
1
L
1 . =


ijij
ijij
ml00
00ml [ ]ijijijij mlmlLEF −− 
 [ = ]S 'e [ ]ααα−α− sincossincosL
EF 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 78 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
KHUNG PHẲNG 
 y
v2 ≡q3
2 
θ2≡q4
L,EJ
1 
θ1≡ q2
v1 ≡q1
Z
y
x
 x
 o
y
B
A y
X
u=-y.dv/dx
v
A
B'
dv/dx
dv/dxy
Ta có vectơ chuyển vị nút phần tử: 
 { } { } { }Te4321Te2211e qqqqvvq =θθ= 
Với góc xoay: 
dx
dv=θ 
Quan hệ giữa chuyển vị dọc trục u và độ võng v là: 
 U = -y.
dx
dv 
Trong đó y là khoảng cách từ điểm xét tới trục trung hòa. 
Khi đó biến dạng dọc trục: 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 79 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
2
2
x dx
vd.y
dx
du −==ε , với: v = [N].{q}e 
Với: [N] là ma trận hàm dạng 
 [N] = [N1 N2 N3 N4] 
Với: N1(x) = 1-3 3
3
2
2
L
x2
L
x + , N2(x) = x.(1-2 2
2
L
x
L
x + ) 
 N3(x) = 3. 3
3
2
2
L
x2
L
x − , N4(x) = x.( )L
x
L
x
2
2
+− 
Viết lại: ee2
2
x }q]{B[}q{dx
Nd.y =−=ε , trong đó: [B] = -y ]N[
dx
d
2
2
Hay: [B] = -y 

 +−−+−+− )
L
x6
L
2)(
L
x12
L
6)(
L
x6
L
4)(
L
x12
L
6(
232232
Ứng suất tại mọi điểm của dầm chịu uốn: xx .E ε=σ , biểu diễn dạng 
ma trận: {σ} = [D].{ } , ở đây: [D] = [E] ε
Ma trận phần tử của dầm chịu uốn: [K]e = dX.dF]B[]B[EdV]B][D[]B[
Ve LF
TT∫ ∫∫=
Tính cụ thể được: 
[K]e = 








−
−
−
2
22
3
Z
L4sym
L612
L2L6L4
L612L612
L
EJ , 
với Jz = : Momen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục z. ∫
F
2dFy
Vectơ tải {P}e tính theo công thức: 
{P}e= i
T
Mi
L
na
1i
nM
1i
i
T
Qi
T M.)]x(
dx
dN[Q.)]x(N[dx)x(q]N[∫ ∑ ∑
= =
++ 
Với q(x): tải trọng phân bố; Qi : Lực tập trung (có hoành độ xQi), Mi : 
Mômen tập trung có hoành độ xMi, nQ, nM số lực tập trung và số mômen tập 
trung. 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 80 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
{P}e = ∫














−
=












+−
−
+−
+−
=






L
2
2
2
32
3
3
2
2
2
32
3
3
2
2
4
3
2
1
12
qL
2
qL
12
qL
2
qL
qdx
L
x
L
x
L
x2
L
x3
L
x
L
x2x
L
x2
L
x31
P
P
P
P
{P}e=














+−
−
+−
+−
==





2
3
3
3
2
2
2
32
3
3
2
2
T
4
3
2
1
L
a
L
a
L
a2
L
a3
L
a
L
a2a
L
a2
L
a31
.QQ.)]a(N[
P
P
P
P
 
Mômen uốn: 
L
q
Lực phân bố
j x
P3
P4
Y
i
P2
P1
M = EJ. e2
2
2
2
}q]{N[
dx
dEJ
dx
vd = 
e
'' }q]{N[EJM = 
Với: 
[ ]
[ ] ]NNNN[N
]N[
dx
dN
4
''
3
''
2
''
1
'',,
2
2
,,
=
=
Y 
L
a
Q
P2
P1
P4
P3 
x
o
Gọi {M}e= 



)2nuïttaûi(M
)1nuïttaûi(M
là mômen uốn tại 
đầu nút phần tử 
{M}e= 



2
1
M
M
Có lực tập trung Q 
ặt ở toạ độ xQ = a đ 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 81 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
{ }
{ } eee
e''
''
e
}q{]S[M
}q.{
)Lx(N
)0x(NJ.EM
=



=
==
Vậy: [S]e=EJ 


−
−−−=



22
22
3"
"
L4L6L2L6
L2L6L4L6
L
EJ
)]L(N[
)]0(N[ 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 82