Ôn tập cuối kỳ môn Phương pháp tính

  
 
 
   
 
 
    
( ) (1) (0)|| |||| || || ||
1 || ||
m
m Tx x x x
T
  

ATGroup Page 3 
 Sai số: T = (D – L )-1 U . Công thức sai số như trên. 
 => (D-L)-1 (bấm máy) 
IV. Nhân tử LU: 
1 1j ju a 1iil  
21
21
11
al
a
 
31 12
32
11
32
21 12
22
11
a aa
al a aa
a



21 12
22 22
11
a au a
a
  21 1323 23
11
a au a
a
  
31
31
11
al
a
 
31 12 21 13
32 23
11 1131 13
33 33
21 1211
22
11
a a a aa a
a aa au a a aa a
a
     
    

u21 = u31 = u32 = 0 
V. Phương pháp Choleski: 
11 11b a 
2
21
22 22
11
ab a
a
  
21
21
11
ab
a
 
31
31
11
ab
a
 
31 21
32
11
32 2
21
22
11
a aa
a
b
aa
a
  
 

  2 233 33 31 32b a b b   12 13 23 0b b b   
VI. Chuẩn vectơ và chuẩn ma trận: 
||A||1 : max tổng cột 
||A||∞ : max tổng dòng. 
k(A) = ||A|| ||A-1|| : số điều kiện 
k càng gần 1 : càng ổn định 
k càng xa 1 : càng không ổn định. 
VII. Đa thức nội suy Largrange, Newton, Spline: 
1. Đa thức nội suy Largrange: 
 Bài toán: cần tìm 1 đa thức Ln(x) có bậc ≤ n thỏa 
n = số điểm – 1 
11
21 22
31 32 33
0 0
0
a
D L a a
a a a
 
    
  
12 13
23
0
0 0
0 0 0
a a
U a
  
   
  
ATGroup Page 4 
 Lập bảng: 
x x0 x1  xn Dk = tích theo hàng 
x0 (x – x0) (x0 – x1)  (x0 – xn) D0 
x1 (x1 – x0) (x – x1)  (x1 – xn) D1 
xn (xn – x0) (xn – x1)  (x – xn) Dn 
 w(x) 
w(x) = 


n
k
kxx
0
)( 
Ln(x) = w(x)

n
k k
k
D
y
0
 Sai số: 
Mn+1 = |max[f(n+1)(x)]| ; x[x0, xn] 
|f(x) – Ln(x)| ≤ )!1(
1


n
M n
|w(x)| 
2. Đa thức nội suy Newton: 
 Tổng quát: trường hợp các điểm nút cách đều với bước h: 
Δyk = yk+1 – yk 
Δpyk = Δp-1yk+1 – Δp-1yk 
N(1)n(x) = y0 + !1
0y q + !2
0
2 y
q(q – 1) ++ !
0
n
yn
q(q – 1)(q – n + 1) ; 
q = h
xx 0 (công thức Newton tiến) 
N(2)n(x) = yn + !1
1 ny p + !2
2
2
 ny p(p + 1) ++ !
0
n
yn p(p+1)(p + n – 1) ; 
p = h
xx n
 (công thức Newton lùi) 
 Cách làm: lập bảng => N 
xk yk Δ Δ2 
x0 y0 Δ0= y1 – y0 Δ20 = Δ1 – Δ0 
x1 y1 Δ1= y2 – y1  
 Chú ý: với cùng 1 bảng số: Ln(x) = N(1)n(x) = N(2)n(x) . Tuy nhiên, nếu bảng 
số có tăng thêm hay giảm bớt biến, ta chỉ cần thêm hoặc bớt sô hạng cuối 
trong Nn(x) thay vì làm lại từ đầu đối với Ln(x). 
3. Spline bậc 3 tự nhiên: 
 Trường hợp 3 số: 0 0a y 1 1a y 
ATGroup Page 5 
0 2 0c c  
   
 
2 1 1 0
2 1 1 0
1
2 0
3 3
2
y y y y
x x x xc
x x
 

 
 
1 0 1 1 0
0
1 0
( )
3
y y c x xb
x x
  
 
2 1 1 2 1
1
2 1
2 ( )
3
y y c x xb
x x
  
 
1
0
1 03( )
cd
x x

 
1
1
2 13( )
cd
x x

 
g0(x) = a0 + b0(x –x0) + c0(x-x0)2 + d0(x-x0)3 x  [x0, x1] 
g1(x) = a1 + b1(x –x1) + c1(x-x1)2 + d1(x-x1)3 x  [x1, x2] 
VIII. Phương pháp bình phương bé nhất: 
1. Tổng quát: cần tìm hàm F(x) “xấp xỉ tốt nhất bảng số đã cho” 
g(f) = min))((
1
2 

n
k
kk yxF 
Điểm dừng: 
.........
.........
.........
g
A
g
B
g
C
 
 
 
=> chuyển vế => giải hệ phương trình 3 ẩn (A, B, C) 
Cách bấm máy: 
Ví dụ: ta cần tính các giá trị: 4
1
n
k
k
x

 2
1
sin
n
k k
k
x y

 2
1
n
k k
k
x y

 2
1
sin
n
k
k
x

 
1
sin
n
k k
k
y x

 
A=A+X4:B=B+X2sinY:C=C+X2Y:D=D+(sinX)2:E=E+YsinX 
CALC 
- Lần đầu nhập A, B, C, D, E là 0 để khởi tạo giá trị. 
- Khi thấy X? và Y? thì sẽ nhập xk và yk tương ứng. 
- Lần 2 bỏ qua khi được hỏi A? B? C? D? E? 
2. Cách sử dụng máy tính đối với 1 số hàm: 
 Bước 1: chọn chế độ clear all 
 shift_9_3 đối với 570ES 
 shift_mode_3 đối với 570MS 
 Bước 2: 
 chọn chế độ STAT : mode 3 đối với 570ES 
 chọn chế độ REG : mode_mode_2 đối với 570MS 
ATGroup Page 6 
 Bước 3: chọn dạng của F(x) 
Phím ấn Dạng F(x) 
570ES 570MS 
F(x) = A+Bx 2 Lin 
F(x) = _+Cx2 = A +B + Cx2 3 Quad 
F(x) = ln(A + Bx) 4 Log 
F(x) = AeBx 5 Exp 
F(x) = A.Bx 6 không có 
F(x) =A.xB 7 Pwr 
F(x) = 
BxA 
1 8 Inv 
 Bước 4: nhập bảng giá trị 
 nhập vào bảng như trong màn hình đối với 570ES 
 nhập xk , yk (dấu , ) M+ cho đến khi hết bảng đối với 570MS 
 Bước 5: tính giá trị A, B 
 shift_1_7_1(tính A)/2(tính B) đối với 570ES 
 shift_2 _►_►_1 (tính A) / 2 (tính B) đối với 570MS 
IX. Tính gần đúng đạo hàm: 
1. Bảng 2 điểm: 
 Sai phân tiến (x0, x0+h) 
0 0( ) ( )'( ) f x h f xf x
h
  
 Sai phân lùi (x0-h, x0) 
0 0( ) ( )'( ) f x f x hf x
h
  
 Sai số : 
2
2
M h  2 [ , ]max ''( )x a bM f x 
2. Bảng 3 điểm: 
 Đạo hàm cấp 1 
 Sai phân tiến (x0, x0+h, x0+2h) 
0 0 03 ( ) 4 ( ) ( 2 )'( )
2
f x f x h f x hf x
h
     
 Sai phân hướng tâm (x0-h, x0, x0+h) 
0 0( 2 ) ( )'( )
2
f x h f xf x
h
  
 Sai phân lùi (x0-2h, x0-h, x0) 
0 0 0( ) 4 ( ) 3 ( 2 )'( )
2
f x f x h f x hf x
h
    
 Sai số : 
2
3
6
M h  3 [ , ]max ''' ( )x a bM f x 
ATGroup Page 7 
 Đạo hàm cấp 2 
0 0 0
2
( ) 2 ( ) ( )''( ) f x h f x f x hf x
h
    
Sai số: 
2
4
12
M h  (4)4 [ , ]max ( )x a bM f x 
X. Công thức hình thang (xấp xỉ tích phân): 
 Bài toán cần xấp xỉ tích phân 
b
a
dxxfI )( 
 Cách giải: chia đoạn [a.b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với bước chia 
b ah
n
 . Ta 
có công thức sau: 
0 1 2 1[ 2( ... ) ]2 n n
hI y y y y y      
 Sai số: 
2
2( )
12
M hb a   2 [ , ]max ''( )x a bM f x 
XI. Công thức Simpson (xấp xỉ tích phân): 
 Bài toán: cần xấp xỉ tích phân 
b
a
dxxfI )( 
 Cách giải: chia đoạn [a.b] thành n = 2m đoạn nhỏ bằng nhau với bước chia 
m
abh
2
 . Ta có công thức sau: 
0 1 3 2 1 2 4 2 2 2[ 4( ... ) 2( ... ) ]3 m m m
hI y y y y y y y y           
 Sai số: 
4
4( )
180
M hb a   )(max )4(
],[4
xfM
bax
 
XII. Công thức Euler với hệ phương trình vi phân xấp xỉ: 
1. Bài toán: tìm yk và sai số. 
 
0 0
' ( , )
,
( )
y f x y
x a b
y x y
   
2. Công thức Euler: 
1 ( , )k k k ky y hf x y   
b ah
n
 
Có nghiệm chính xác là ( )ky x . 
ATGroup Page 8 
Khi đó sai số : | ( ) |k ky x y 
Bấm máy: 
A = (x0) B = (y0) 
y(xkA) – B : B = B + h y’(A, B) : A = A + h 
3. Công thức Euler cải tiến: 
 1 1 212k ky y k k    
b ah
n
 
 1 ,k kk hf x y  2 1,k kk hf x h y k   
Có nghiệm chính xác là ( )ky x . 
Khi đó sai số : | ( ) |k ky x y 
Bấm máy nghiệm và sai số: 
A = (x0) B = (y0) 
y(xkA) – B : C = h y’(A, B) : D = h y’(A+h, B+C) : B = B + 
1
2
(C+D) : A = A + h 
Trường hợp:  
0 0 0 0
''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( )
,
( ) '( ) '
x t f t x t g t x t h t
t a b
x t x x t x
      
Cách giải: 
0 0
0 0
( ) ( ) '( )
'( ) '( ) ''( )
x t x t hx t
x t x t hx t
 
  
XIII. Công thức Range – Kutta bậc 4 với phương trình vi phân cấp 1 
Cách giải: Trường hợp xấp xỉ tại x1 = x0 + h ( n = 1) 
 
 
 
1 0 0
1
2 0 0
2
3 0 0
4 0 0 3
0 1 0 1 2 3 4
,
,
2 2
,
2 2
,
1( ) 2 2
6
K hf x y
KhK hf x y
KhK hf x y
K hf x h y K
y x h y y K K K K


       
       
   

       
Cách bấm máy: 
 Tính K1: 
A = hf(X, Y) CALC X? (nhập x0) = Y? (nhập y0) = 
 Tính K2: 
► thay A bằng B CALC X? (nhập x0+h/2) = Y? (nhập y0+A/2) = 
 Tính K3: 
► thay B bằng C CALC X? (nhập x0+h/2) = Y? (nhập y0+B/2) = 
 Tính K4: 
► thay C bằng D CALC X? (nhập x0+h) = Y? (nhập y0+C) = 
 Tính y1: 
 y0 + 1/6(A + 2B + 2C + D) = 
ATGroup Page 9 
XIV. Bài toán biên tuyến tính cấp 2: 
1. Bài toán: tìm hàm y = y(x): 





bxabyay
xfxyxrxyxqxyxp
;)(;)(
)()()()(')()('')(

2. Cách giải: chia [a,b] thành n đoạn 
 Đặt y(x0) = y(a) = α = y0 
y(xn) = y(b) = β = yn 
pk = p(xk); qk = q(xk); rk = r(xk); fk = f(xk) 
 Công thức: 
1 12 2 222 2
k k k k k
k k k k k
p q p p qy r y y f
h h h h h 
                    
Giải hệ phương trình tìm ra các giá trị y1,..,yn-1 
XV. Phương trình Elliptic: 
1. Bài toán: tìm hàm u = u(x,y) xác định trên miền D 





dyc
bxa
 thỏa: 















)(),();(),(
)(),();(),(
),(),(
21
21
2
2
2
2
xdxuxcxu
yybuyyau
Dyxyxf
y
u
x
u

 
2. Cách giải: chia đều đoạn [a,b] thành n đoạn với 
x
b an 

chia đều đoạn [c,d] thành m đoạn với 
y
b am 

 Đặt uij là giá trị xấp xỉ của hàm u(xi, yj): uij u(xi, yj) 0, ; 0,i n j m    
 Công thức tổng quát: 
1, , 1, , 1 , , 1
2 2
2 2
1, 1; 1, 1
i j i j i j i j i j i j
ij
x y
u u u u u u
f
h h
i n j m
        

    
 Trường hợp ∆x = ∆y = h 
2
, 1, 1, , 1 , 14
1, 1; 1, 1
i j i j i j i j i j iju u u u u h f
i n j m
        

   
Giải hệ tính được giá trị của các ui,j. 
XVI. Phương trình Parabolic: 
1. Bài toán: cần xấp xỉ hàm u = u(x,t); x là biến không gian; t là biến thời gian xác định 
trong miền D = {a ≤ x ≤ b, t > 0} thỏa 
ATGroup Page 10 
2
2
2
1 2
( , ) ( , )
( , ) ( ); ( , ) ( ) 0
( ,0) ( ) [ , ]
u u f x t x t D
t x
u a t t u b t t t
u x x x a b

 

          
   

2. Cách giải: chia đều [a,b] thành n đoạn với 
x
b an 

chọn bước thời gian 0;t j tt j    
đặt uij = u(xi, tj); fij = f(xi, tj); 
2
2
t
x
 
 
 Sơ đồ hiện: 
, 1 1, , 1,(1 2 )
0,1,2,.....; 1,2,..., 1
i j i j i j i j t iju u u u f
j i n
        
   
 Sơ đồ ẩn: 
1, , 1, , 1(1 2 )
1,2,...; 1, 2,..., 1
i j i j i j t ij i ju u u f u
j i n
          
   
 Giải hệ tính được giá trị của các ui,j 
XVII. Các đạo hàm cấp cao (phụ lục): 
       
( 1)
( ) 1 1 !ln
n n
n
n
n a
f ax b
ax b
 
 
 
 
 
( )
1
1 !1
n n
n
n
a n
f
ax b ax b 
      
 ( ) sin sin
2
n nf ax a ax n      
    1( ) 1 1 1 11 2 ... 1 nn kk kf ax b n a ax bk k k k
   
                  