Bài giảng Chuyên đề Phương pháp tính - Chương 8: Phương pháp phần tử hữu hạn (Phần 3)

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
8.5 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TỬ HỮU HẠN - Áp dụng trong CƠ VẬT RẮN 
Phương pháp PTHH là một phương pháp số có hiệu quả để giải các bài toán ứng 
dụng có điều kiện biên. 
Xấp xỉ ẩn trên miền con Ve (phần tử), ∑ Ve = V (miền tính toán). Các phần tử 
nối kết lại các điểm nút. Tại nút chứa ẩn bài toán (còn gọi là bậc tự do). 
Phương pháp nầy là chủ đạo trong các bài toán cơ học vật rắn, đặc biệt thích hợp cho 
bài toán có miền xác định phức tạp, điều kiện biên khác nhau. Lập trình, tự động, tính 
toán dễ dàng và trở nên thông dụng nhờ sự phát triển của máy tính điện tử. 
Với bài toán cơ học VẬT RẮN biến dạng & CƠ KẾT CẤU dùng 3 mô hình: 
+ Mô hình tương thích : Xem chuyển vị là đại lượng cần tìm trước 
+ Mô hình cân bằng : Xấp xỉ ứng xuất trên từng phân tử, đi tìm ứng suất 
+ Mô hình hỗn hợp : Xem chuyển vị & ứng suất là hai yếu tố độc lập. 
Hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị và ứng suất. 
Đối với các bài toán trong cơ học chất lỏng, thường thiết lập bài toán theo dạng 
theo dạng yếu Galerkin - trên từng phần tử (Xem sách chuyên khảo của cùng Tác giả). 
BÀI TOÁN BIÊN (Bài toán có điều kiện biên) 
Trạng thái ban đầu G, biên của thể tích V là S 
Sau khi có ngoại lực tác dụng nó biến đổi thành trạng thái G’ . 
Hãy tính tại mọi điểm I(x1,x2) những thông số trạng thái như: Chuyển vị u, biến 
dạng ε, ứng suất σ,... 
Biết liên hệ: [ε] = [ x
u
∂
∂
] tại 1 điểm 
 [σ]=[E].[ε],vớiE:Tínhchấtcủavậtliệu
x2
σ = σs 
I 
G'
G
(S)u
(V)
u=o
x1 x1
o
x2
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 73 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN (Integral equation) 
Muốn giải bài toán có điều kiện biên như trên, ngoài các liên hệ đã nói trên, ta 
còn cần các phương trình cân bằng. Có 2 cách thiết lập phương trình cân bằng: 
• Cách thứ nhất: “Phương trình vi phân + Điều kiện biên” 
 x2
(V)
O x
(S)
 1+d 1δ δ
δ
δ
τ
I 1
 δ 2
 δ 2+d 2
 12
dx2 
 dx1 1
Xây dựng phương trình cân bằng cho một vi phân diện tích [dx1,dx2] 
bao quanh điểm I bất kỳ. 
D{[u],[E]} = 0: Gọi là phương trình vi phân. 
Cộng thêm các điều kiện ràng buộc cho trước trên biên (u=0, σ = σs) 
Trong “Phương pháp sai phân”, sử dụng phương trình cân bằng theo cách này 
(để giải người ta chuyển dạng VI PHÂN về dạng SAI PHÂN) 
• Cách thứ 2: “ Nguyên lý biến phân - cực tiểu phiếm hàm “ 
Dùng lý thuyết biến phân để xây dựng phương trình cân bằng cho cả vùng (V), 
kể cả biên (S), gọi: Phương trình tích phân và tìm cực tiểu phiếm hàm ở dạng tích phân 
này dΠ = 0; đây chính la ”Phương pháp cân bằng”. Giải phương trình này sẽ cho ta lời 
đáp số của bài toán. 
Trong kết cấu hàm Π gọi thế năng và ở đây sử dụng biến phân về chuyển vị. 
CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN: 
Chuyển vị - biến dạng và ứng suất trong phần tử 
Ma trận độ cứng phần tử và vectơ tải phần tử 
Ta có: {u}e = [N]{q}e (1) 
 với {q}e chuyển vị nút phần tử. 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 74 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Từ liên hệ giữa chuyển vị {u}e và biến dạng {ε}e ta có: 
 {ε}e = [ eee }q]{B[}q]{N][[}u]{ =∂=∂ (2) 
 trong đó: [B]=[∂ ][N] 
Khi vật liệu tuân theo định luật Hooke ta có: 
 {σ}e = [D]({ }ε e-{ε 0}e)+{σ0}e (3) 
Trong đó : {σ0}e, { }oε e là ứng suất và biến dạng ban đầu của phần tử. 
Mang (2) vào (3) được: {σ}e = [D][B]{q}e - [D]{ ε }o e+{σ0}e (4) 
Hay: {σ}e = [T]{q }e - [D]{ }oε e+{σ0}e (5) 
Trong đó: [T] = [D][B] gọi là ma trận tính ứng suất phần tử. 
Từ (1), (2), (5) cho ta biểu diễn chuyển vị, biến dạng và ứng suất trong phần tử theo 
vectơ chuyển vị nút phần tử {q}e. 
Thế năng toàn phần của phần tử: 
 dV}.{}{2
1)}u({ e
T
e
V
ee
e
σε=∏ ∫ - - (6) dV}u{}g{ eT
Ve
∫ dS}u.{}P{ eT
Se
∫
Thế (1), (2), (5) vào (6) được: 
dVqBDBqq e
TT
e
V
ee
e
}]).{][[]([}{
2
1)}({ ∫=∏
dV}u{}g{ e
T
Ve
∫ dSuP eT
Se
}{}{ .∫
 - 
( + + dVBDTe ])][.[
o
Ve
}{
2
1 ε∫ - eTeo
V
qdVB
e
}){..}{
2
1 σ∫ 
Hay: = )}({ ee q∏ eTeeeTe PqqKq }.{}{}{][}{2
1 − (7) 
Trong đó: [K]e = gọi là ma trận phần tử (8) dV]B][D[]B[
eV
T∫
dV}g{]N[}P{ e
V
T
e
e
∫= + +dS}P{}N{ eT
Se
∫ dVDB eoT
Ve
)}].{].[[
2
1 ε∫ - dVB eoT
Ve
}.{][
2
1 σ∫ (9) 
 {P} gọi là vectơ tải phần tử. 
Trong đó: {g} là lực khối, {P}tải trọng bề mặt. 
GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG VÀ 
 VECTƠ TẢI TỔNG THỂ 
 Miền V được chia thành ne phần tử (miền con Ve ) bởi R điểm nút. Tại 1 nút 
có S bậc tự do, thì số bậc tự do cả hệ: n = R.S 
 Gọi { q } là vectơ chuyển vị nút tổng thể. Giả sử mỗi phần tử có r nút, thì số 
bậc tự do của mỗi phần tử là: ne = r.S. 
 Ta có liên hệ: {q}e = [L]e . { q } (10) 
 (ne.1) (ne.n ) (n.1) 
với [L]e gọi là ma trận định vị. 
Sử dụng (7) và (10) ta có thế năng toàn phần của hệ: 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 75 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
 ]}q{]L.[}P{}q{]L[]K.[]L[}q{2
1[ Te
T
eee
T
e
T
ne
1e
ne
1e
e −=∏= ∑∑∏
==
 (11) 
 Ap dụng nguyên lý thế năng toàn phần dừng (nguyên lý Lagrange) ta sẽ có điều 
kiện cân bằng của toàn hệ tại các điểm nút: 
0
q
.
.
0
q
0
q
0
n
2
1
=∂
∏∂
=∂
∏∂
=∂
∏∂
⇔=∏δ hay ở dạng ma trận: { }0}{ =∂
∏∂
q 
Và ta có: }q{∂
∏∂
 = [∑ ].{eeTene
1e
]L[]K.[]L[
=
q } - {P}.]L[ Te
ne
1e
∑
=
e = {0} 
Viết lại: [ ].
−
K }0{}P{}q =− −{ (12) 
Trong đó: ]K[ = ] gọi là ma trận cứng tổng thể. eeTe
ne
e
LKL ].[].[][
1
∑
=
 e
T
e
ne
1e
{P}.]L[}P{ ∑
=
= gọi là vectơ tải tổng thể. 
Ghi chú: Việc sử dụng ma trận định vị [L]e để tính [ và { , thực chất là sắp xếp 
các phần tử [ , {P}
]K
−
}P
−
}e]K e vào vị trí của nó trong [ và { . Tuy nhiên trong thực 
hành ta không dùng cách này. 
]K
−
P
−
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 76