Bài giảng Chuyên đề Phương pháp tính - Chương 5: Các phương pháp số của đại số tuyến tính

 của một hệ trực giao là độc lập tuyến tính. 
Chuẩn của vectơ, ký hiệu là X , được định nghĩa là một số không âm, thõa mãn 
các tính chất sau: 
1. X 0 và ≥ X khi và chỉ khi X=0 
2. Xα = α . x với mọi α thực 
3. YX + ≤ X + Y bất đẳng thức tam giác 
Có 3 chuẩn sau đây hay sử dụng trong các bài tóan ứng dụng: 
Với vectơ X = [ ]Tn21 x,...,x,x
X 1 = 1x + 2x +....+ nx = ∑n
1
ix thường gọi chuẩn tuyệt đối 
X 2 = n22212 x...xx +++ = ∑
=
n
1i
i
2x gọi là chuẩn Euclide 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 26 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
X ∞ = maxi ix gọi là chuẩn cực đại. 
Mở rộng khái niệm cho chuẩn các ma trận. Chuẩn của các ma trận A và B ký 
hiệu là A và B ; được định nghĩa là các số không âm thõa mãn các điều kiện sau: 
1. A ≥ 0 và A = 0 khi và chỉ khi A = 0 
2. Aα = α . A với mọi α thực 
3. BA + ≤ A + B 
4. BA •. ≤ A • B 
Ở đây, nêu 3 định nghĩa chuẩn hay dùng: 
A 1 = maxj (∑
i
jia ) gọi là chuẩn cột. 
A 2 = ∑
ji
jia
,
2 gọi là chuẩn Euclide. 
 A ∞ = maxi(∑
j
jia ) gọi là chuẩn hàng. 
Chuẩn của ma trận là khái niệm hết sức quan trọng đối với các phương pháp số. 
Chúng hay sử dụng khi xét tính hội tụ của các phương pháp lặp hoặc khi xét sự ổn định 
của các hệ phương trình vi phân. 
Liên hệ chuẩn của ma trận và vectơ: 
Trong không gian n chiều Vn chuẩn của ma trận tương ứng với chuẩn của vectơ 
nếu: 
 X.A X.A≤ với mọi A và X thuộc Vn. 
5.1.3 Các phép tính ma trận 
 Với ma trận và cách đại số hóa các vectơ ta có thể định nghĩa các phép tính một 
cách hòan chỉnh và đầy đủ hơn. 
 Ta nhắc lại một số phép tính cơ bản: 
 Ma trận B gọi là ma trận chuyển vị của A (AT=B), nếu hàng của ma trận A là cột 
của ma trận B. 
 [aji]= [bij ]=> bij = aji 
 m× n n× m 
 Ma trận nghịch đảo: A-1 
 A.B = E => B = A-1 => A.A-1 = A-1.A = E (với E là ma trận đơn vị) 
 Chú ý một số tính chất: A.B ≠ B.A 
 (AT)T = A , (k.A)T = k.AT 
 (A+B)T =AT+BT , (A.B)T = BT.AT 
 (A-1)-1 = A , (A.B)-1 =B-1.A-1 
 (AT)-1 = (A-1)T , det(A.B) = det(A).det(B) 
 det(A) = det(AT) 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 27 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
 = , 
1
33
22
11
00
00
00 −








a
a
a








33
22
11
a/100
0a/10
00a/1
• Ma trận A là suy biến, det (A)=0 thì các hàng hoặc các cột của nó là các vectơ phụ 
thuộc tuyến tính. 
• Hạng của ma trận vuông A là số lớn nhất các hàng (hoặc các cột) độc lập tuyến tính 
với nhau. 
• Ma trận B có được từ ma trận A bằng cách đổi chỗ hai hàng cho nhau thì: 
 det(B) = - det(A). 
• Nếu A, B là các ma trận vuông trực giao thì AT, A-1, A.B cũng là các ma trận trực 
giao. 
• Nếu A, B là các ma trận vuông đối xứng thì α A, A+B cũng là những ma trận vuông 
đối xứng. Nếu A không suy biến thì A-1 cũng đối xứng. 
 Cần chú ý rằng: Tích của hai ma trận đối xứng nói chung không phải là ma trận 
đối xứng. 
 Nếu A = [aij] là ma trận vuông cấp n thoả ∑
=
>
n
s
kskk aa
1
, với s ≠ k, k=1...n , 
thì det(A) ≠ 0. Ma trận A được gọi là có phần tử trên đường chéo chính aii trội. Hơn 
nữa nếu akk > 0, k=1,2,..,n thì det(A)>0 định thức xác định dương. 
5.1.4 Vectơ riêng, trị riêng và các dạng toàn phương của ma trận 
 Cho A là ma trận vuông cấp n; số λ được gọi là trị riêng và vectơ khác không X 
là vectơ riêng của A nếu chúng thõa mãn điều kiện: 
 A.X = λ .X hay (A- λ E).X = 0 => E.A λ− =0, 
Ta tìm được phương trình bậc n cho λ , sao cho: f( λ ) = 0. 
f( ) được gọi là đa thức đặc trưng của A có n trị riêng λ λ 1, λ 2,.., λ n . Tập hợp λ 1, λ 2,.., 
λ n được gọi là phổ và maxi ( )iλ là bán kính phổ của ma trận A. 
 Với mỗi λ i có vô số Xi. Các vectơ riêng cùng tương ứng với một λ i rõ ràng là 
phụ thuộc tuyến tính và chỉ khác nhau một hằng số α . Do đó ta có thể chọn một vectơ 
duy nhất làm cơ sở. Tập hợp n vectơ riêng, ứng với n trị riêng khác nhau tạo thành một 
hệ vectơ độc lập tuyến tính. Ma trận gồm các cột là các vectơ riêng của ma trận A, gọi 
là ma trận dạng riêng của A. 
Định lý: 
• Nếu A là ma trận thực, đối xứng thì các trị riêng là thực. Các vectơ riêng ứng với 
các trị riêng khác nhau là các vectơ thực trực giao và độc lập tuýên tính. 
• Nếu A là ma trận xác định dương thì các giá trị riêng là những số dương. 
Định lý Sylvester: 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 28 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Nếu định thức A và tất cả các tử thức nằm trên đường chéo chính đều là dương thì A 
là xác định dương. 
 Tổng quát hơn, khái nịêm xác định dương của ma trận A được định nghĩa nhờ 
dạng toàn phương là đa thức: Q(X) = XT.A.X 
 Nếu Q xác định dương, tức Q(X) > 0 với mọi số thực X và Q(X) = 0 khi và chỉ 
khi X=0, thì A được gọi là xác định dương. 
5.2 GIẢI HỆ ĐẠI TUYẾN 
Bài toán cơ bản: 
 Cho hệ gồm n phương trình đại số tuyến tính với n ẩn: 
 a11x1+ a12x2+...+ a1nxn = b1 
 a21x1+ a22x2+...+ a2nxn = b2 
 ... ... ... 
 an1x1+ an2x2+...+ annxn = bn 
Viết dưới dạng matrix: 
 A.X = B 
Gỉa thiết det(A) ≠ 0: Hệ này có nghiệm duy nhất. 
Ta có thể tìm nghiệm theo quy tắc CRAMER hoặc sử dụng ma trận nghịch đảo 
nhưng cách nầy đòi hỏi phép tính khá lớn và không thuận lợi khi ma trận A xấu. 
Chúng ta chỉ nghiên cứu các phương pháp triển khai hữu hiệu trên máy tính. Có 
thể phân loại chúng thành hai nhóm chính: 
+ Các phương pháp trực tiếp: Gauss, Gauss Jordan, phân tích LU,... 
+ Các phương pháp lặp: Lặp đơn, Jacobi, Gauss - Seidel, lặp Gradient liên hợp 
5.2.1 PHÂN TÍCH LU VÀ PHÂN TÍCH CHOLESKY 
 Trong phép phân tích LU, ma trận A có thể phân tích: A = L.U 
 Với L là ma trận tam giác dưới, với các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 
1, U là ma trận tam giác trên. Phép phân tích LU này bao giờ cũng thực hiện được 
nếu các trụ (các phần tử chính a11, a22, a33, ...) khác không. 
 Nó sẽ duy nhất nếu các phần tử trên đường chéo chính của ma trận L bằng 1. 
Với phân tích LU việc giải hệ phương trình: 
 A.X = b 
Trở thành giải lần lượt hai hệ phương trình: 
 Ly = b 
 Và UX = Y 
Thuật giải của phép phân tích LU thường dùng là của Crout. Trong trường hợp 
ma trận A là đối xứng, khi đó phép phân tích trở nên đơn giản hơn rất nhiều, không đòi 
hỏi các phần tử trên đường chéo chính của ma trận L bằng 1 nữa. 
Thay vào đó ta sử dụng điều kiện: 
 U = LT 
 A = L.LT 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 29 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Lúc đó L và U có các phần tử trên đường chéo chính giống nhau, các phần tử nầy có 
thể là thực hay phức: và gọi phép này là phân tích Cholesky. 
(chúng ta không đi sâu vào thuật toán, vì nó phức tạp và đã có các source code 
listing đã công bố trong nhiều ấn phẩm khoa học phương pháp số). 
5.2.2 PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
 Mô tả phương pháp: 
 Phương pháp Gauss thuộc loại phương pháp đúng hay còn gọi là phương pháp 
trực tiếp. Ngoài ra còn có 1 loại phương pháp khác là phương pháp lặp, ở đây ta xét 
phương pháp lặp đơn, hệ cho ở dạng vector: Ax = f 
Ta chuyển hệ này về dạng tương đương: x = Bx + g 
Giả sử: B = 
nn2n1n
n22221
n11211
bbb
bbb
bbb
K
KKKK
K
K
Sau đó ta xây dựng công thức tính lặp: 
 (5.2.1) 
 +=
−
)0(
)1m()m(
x
gBxx
 Trong đó: (Bx)i = , x∑=
n
1j
jijxb (0) cho trước. 
Phương pháp tính theo (5.2.1) gọi là phương pháp lặp đơn. 
Sự hội tụ: 
Giả sử α = (α1 , α2 , . . . . ., αn)T là nghiệm của hệ x = Bx + g , nếu xi(m) → αi 
khi m → ∞ , với i = 1, 2, 3 , . . . , n thì ta nói phương pháp lặp (5.2.1) hội tụ. 
Ta đưa vào các ký hiệu: z = ( z1 , z2 , . . . , zn )T thì mỗi đại lượng sau: { }



++
+++=
+=
=
n
2
n
2
2
2
12
211
i0
z
zzzz
zzz
zmaxz
K
K
Gọi là độ dài mở rộng của vector z, người ta còn gọi nó là chuẩn của z. 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 30 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Đối với ma trận B = ( bi j), ta đặt: 







=
=
=
∑∑
∑
∑
==
=
=
n
1j
ij
n
1i
2
n
1i
ijj1
n
1j
iji0
b.r
bmaxr
bmaxr
Người ta chứng minh được định lý sau đây về điều kiện hội tụ: 
+ Nếu r0 < 1 hoặc r1 < 1 hoặc r2 < 1 thì phương pháp lặp (5.2.1) hội tụ với bất 
kỳ xấp xỉ ban đầu x(0) nào, đồng thời ta có sai số đánh giá: 



−−≤α−
−−≤α−
−
P
)1m()m(
P
m
P
P
)m(
P
)0()1(
P
m
P
P
)m(
xx
r1
rx
xx
r1
rx
Trong đó: p = 0 nếu r0 < 1, p = 1 nếu r1 < 1, p = 2 nếu r2 < 1. 
5.2.3 PHƯƠNG PHÁP LẶP SEIDEN (hay còn gọi là GAUSS-SEIDEN) 
Là phương pháp cải tiến phương pháp lặp đơn một chút: khi tính xấp xỉ thứ 
(k+1) của ẩn xi ta sử dụng các xấp xỉ thứ (k + 1) đã tính của ẩn x1 , . . . , xi -1 . 
Giả sử cho hệ: bxA = ⇔ xi = βi + với i = 1, 2,. . . , n ∑=
n
j
jij x
1
α
Lấy xấp xỉ ban đầu là x1(0) , x2(0) , . . . , xn(0) 
 Tiếp theo, giả sử ta đã biết xấp xỉ thứ k là xi(k) theo Seiden, ta sẽ tìm xấp xỉ thứ 
( k+1) của nghiệm theo công thức: 









α+α+β=
α+α+β=
α+α+β=
α+β=
∑
∑∑
∑
∑
−
=
++
=
−
=
++
=
++
=
+
1n
1j
)k(
nnn
)1k(
jijn
)1k(
n
n
ij
)k(
jij
1i
1j
)1k(
jiji
)1k(
i
n
2j
)k(
jj2
)1k(
1212
)1k(
2
n
1j
)k(
jj11
)1k(
1
xxx
xxx
xxx
xx
KKKK
KKKK
 (Thông thường lặp Seiden hội tụ nhanh hơn lặp đơn) 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 31 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
5.2.4 PHƯƠNG PHÁP GRADIENT LIÊN HỢP 
Phương pháp này rất thích hợp với bài toán phụ thuộc thời gian. 
Để giải hệ phương trình: { }∑ × )J(F)J,I(P = G(I) 
Gía trị ban đầu ước lượng là: F0(J) gây ra phần dư U(I), ta biểu diễn: 
 U(I) = G(I) - { }∑ × )J(F)J,I(P O . 
Đặt: V(I) = U(I) 
Bước lặp tiếp theo: 
UU = })I(U).I(U{∑ 
W(I) = })J(V).J,I(P{∑ 
 VW = })I(W).I(V{∑ 
 AA = UU/VW 
 F(I) = F(I) + AA.V(I) 
 U(I) = U(I) - AA.W(I) 
 WW = })I(U).I(U{∑
 BB = WW/UU 
 V(I) = U(I) + BB.V(I) 
Qúa trình này được lặp lại mãi đến khi UU < ε (sai số cho phép của bài toán). 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 32