Bài giảng Chuyên đề Phương pháp tính - Chương 1: Phần bổ túc

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
PHƯƠNG PHÁP TÍNH 
Chương 0 PHẦN BỔ TÚC 
A. PHÉP TÍNH VECTỎ 
 →→→ ×= bac
→
a
c
→ →
b 
→
a→a
→
b 
• Tích vô hướng : ϕ= cosabb.a 
 212121 zzyyxxb.a ++= 
• Tích vector : ϕ=×= sinabbac 
 Có tính chất: 
→→→→ ×−=× baab
222
111
zyx
zyx
kji
ba =× 
• Tích hỗn tạp : 
abc = (a × b) . c = a.(b × c) = bca = cab = 
333
222
111
zyx
zyx
zyx
abc = - bac = - cba = - acb 
V1 = abc, V2 = 6
1 V1 = abc6
1
V1 là thể tích hình hộp dựng trên các vector c,b,a 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 1 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
V2 là thể tích hình chóp dựng trên các vector c,b,a nầy. 
Toán tử Haminton 
k
y
Ax
x
Ayj
x
Az
z
Axi
z
Ay
y
AzrotA
z
Az
y
Ay
x
AxdivA
k
z
Uj
y
Ui
x
UgradU



∂
∂−∂
∂+


∂
∂−∂
∂+


∂
∂−∂
∂=
∂
∂+∂
∂+∂
∂=
∂
∂+∂
∂+∂
∂=
Công thức Ostrogradsky - Gauss: 
 ∫ ∫
σ Ω
Ω=σ divAdAd 
Với σ : mặt và Ω : thể tích 
Công thức Stokes : 
 ∫ ∫=
)L( )S(
rotAdsAdr với kzjyixr ++= 
Phép toán với toán tử ∇ 
( ) divAAzAyAxAzjAyiAx
z
k
y
j
x
iA
gradU
z
Uk
y
Uj
x
UiU
z
k
y
j
x
i
=∂+∂+∂=++•


∂
∂+∂
∂+∂
∂=•∇
=∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇
∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇
 CurlA = ∇ X A = 
ZYX
ZYX
AAA
kji
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 CurlA = i(
Y
ZA
∂
∂ -
Z
YA
∂
∂ ) + j(
Z
XA
∂
∂ -
X
ZA
∂
∂
 k
y
j
x
i)kAjAiA(A ZYX 
 +∂
∂+∂
∂•++=∇•
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính k
zyx ∂∂∂
) + k(
X
YA
∂
∂ -
Y
XA
∂
∂ ) = rotA 
z
A
y
A
x
A
z ZYX ∂
∂+∂
∂+∂
∂=

∂
∂ 
 Trang 2 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
 t
v
dt
d
∂
∂+∇•= 
=∇•∇=∇=∆ 2 2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂+∂
∂+∂
∂ , divgrad u = uu2 ∆=∇ = 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
∂
∂+∂
∂+∂
∂
B. PHÉP TÍNH TEN-XỎ (Tensor analysis) 
Hạng của Tensor là số chỉ số của Tensor đó. 
Ví dụ : ai có một chỉ số, nên là tensor hạng nhất 
 aij có hai chỉ số, nên là Tensor hạng hai 
Qui tắc chỉ số 
Khi có hai chỉ số giống nhau, biểu thị một tổng: 
 aibi=a1b1+ a2b2+ a3b3= ∑ ii
3
1i
ba
=
Hệ thống đối xứng khi aij=aji, phản đối xứng khi aij= -aji 
Ví dụ: 
 

≠= ji khi0
 j=i khi1
ijδ
là một Tensor hạng hai đối xứng. 
• Tổng các Tensor cùng hạng là một Tensor cùng hạng: 
 Cijk = aijk ± bijk (hạng ba) 
• Nhân Tensor: Cijklm= aijk.blm 
 (mọi tích có thể có của từng thành phần Tensor) 
 Vô hướng được xem như Tensor hạng zero. 
• Phép cuộn Tensor: 
Được thực hiện khi có hai chỉ số bất kỳ trùng nhau: 
 aijkk = = aijkk
3
1k
a
=
∑ ij11+ aij22+ aij33 = Cij 
Phép nhân trong: Cijm = aijkbkm 
Là phép nhân và cuộn đồng thời các Tensor , cho ta tìm được vết của Tensor. 
Phép nhân trong cho ta điểm xuất phát quan trọng để nhận được các bất biến của 
các đối tượng hình học và vật lý. 
Thí dụ: Vết của Tensor aij=xiyj 
Khi cho i = j => aii = xiyi = x1y1+ x2y2+ x3y3 = vô hướng 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 3 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
C. CÁC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI 
1. Phép biến đổi tọa độ 
x
y
b
a
* M
O1
o
x’
y'
 + Phép tịnh tiến: 
 by'y,
b'yy,
ax'x
a'xx
−=
+=


−=
+=
 + Phép quay: 
 α+α−=
α+α=


α+α=
α−α=
cosysinx'y,
cos'ysin'xy,
sinycosx'x
sin'ycos'xx
2. Phép biến hình bảo giác 
C
B
Ay
xo uo'
v A'
B'
C'
W = f(z)
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 4 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
o' u
v
o x
y
λ φ
σ
γ l
g h
λ' φ'
σ'
g'
l'γ'
h'
(u0,v0)(x0,y0)
Cho W = f(z) giải tích trong miền D, số phức z = x + yi và W = u + vi 
Phép biến đổi điểm: A(x,y) → A’(u,v), 
 Các cạnh tỉ lệ với nhau: '''''' AC
CA
CB
BC
BA
AB == và các góc tương ứng bằng nhau: 
góc β = β’ (bảo giác) 
3. Phép biến đổi Laplace 
Xét phương trình vi phân : 
t
)t,x(U)t,x(U ii ∂
∂=∆α , với t > 0 
Nhân 2 vế của phương trình trên với e-pt ( với p > 0 ), lấy tích phân theo t từ 0 → 
∞ , ta được : ∫∫ ∞ −∞ − ∂
∂=∆
0
Pti
0
Pt
i dtet
)α t,x(Udte)t,x(U 
Đặt ∫∞ −=
0
Pt
ii dte)P,x(U)P,x(U , hàm )P,x(U i được gọi là phép biến đổi Laplace 
của hàm U(xi ,t) đối với t . 
Biểu thức trên được viết lại theo )P,x(U i : 
 )P,x(UUPU. i−=∆α , 
Giải dễ dàng hơn và tìm được U , có U dùng bảng tra tìm U. 
Chú ý: [ ] ∫∫ ∞ −−∞ − +=∂∂ 0 PtiPti0 Pti dte)t,x(UPe).P,x(Udtet
)t,x(U
4. Phép biến đổi Sigma σ 
 z = x=ξ ξ ⇒ σ = 1 tại mặt thoáng 
 z = - h(x,y) ⇒ σ = - 1 tại đáy y=η
 σ = 1
)y,x(h
)z(2 +ξ+
ξ− => ]1,1[ +−∈σ 
 t’=t 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 5 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
x,y 
 mặt nước 
h(x,y) đáy
O
z
ξ(x,y,t)
Tọa độ z
Tọa độ σ
σ
ηξ,
nước mặt 
đáy
1 
0 
-1 
D. MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH HÀM 
1. Không gian mêtrix 
Định nghĩa: Một tập hợp X được gọi là một không gian Metrix, nếu ứng với 
mỗi cặp phần tử x,y ∈X có một số thực ρ (x,y) ≥ 0, gọi là khoảng cách giữa x & y, 
thỏa điều kiện sau: 
ρ(x,y) = 0 khi và chỉ khi x = y, ρ(x,y) = ρ(y,x) 
ρ(x,y) ≤ ρ(x,z) + ρ(z,y), ∀x,y,z ∈ X (bất đẳng thức tam giác). 
2. Không gian tuyến tính định chuẩn 
Tập hợp X được gọi là không gian tuyến tính nếu trên tập hợp đó xác định hai 
phép tính: Cộng các phần tử và nhân phần tử với một số đồng thời thỏa các tiên đề: 
 x + y = y + x , (x + y) + z = x + (y + z ), 
λ(x + y) = λx + λy , (λ+ µ)x = λx + µx , λ (µx) = (λµ)x 
Tồn tại phần tử θ ∈ X, gọi là phần tử không, sao cho 0.x = θ, Xx ∈∀
Không gian tuyến tính được gọi là định chuẩn, nếu ứng với mỗi x ∈ X ta xác 
định được một số thực gọi là chuẩn của x và ký hiệu x đồng thời số thực đó thỏa 
điều kiện sau: 
x ≥ 0 , x = 0, khi và chỉ khi x = θ 
xx .λλ = , ∀ λ ∈ R , ∀ x ∈ X 
yx + < x + y , ∀ x,y ∈ X ( bất đẳng thức tam giác ). 
3. Không gian EUCLIC- Không gian HILBERT 
Cho một không gian tuyến tính X (trên trường số thực hoặc phức). Giả sử ứng 
với mỗi cặp phần tử x,y ∈ X, xác định được một số thực hoặc phức (x,y) thỏa các 
điều kiện sau : 
(x,y) = (y,x) , trong trường số phức thì (x,y) = )x,y( 
(x + y,z) = (x,z) + (y,z), ∀ x,y,z ∈ X 
(λx,y) = λ(x,y) 
(x,x) ≥ 0, trong đó (x,x) = 0 khi và chỉ khi x = θ 
Số (x,y) như vậy được gọi là tích vô hướng của hai phần tử x,y. 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 6 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Không gian tuyến tính mà trong đó có xác định tích vô hướng được gọi là không 
gian Euclic. 
Không gian Euclic đủ, vô hạn chiều được gọi là không gian Hilbert. 
Toán Tử Tuyến Tính - Phiếm Hàm Tuyến Tính 
Giả sử X,Y là hai không gian Topo tuyến tính 
Toán tử (hay ánh xạ): 
 A: X → Y (y = Ax , x ∈ X , y ∈ Y) được gọi là tuyến tính nếu ta có: 
A(λx1 + µx2 ) = λAx1 + µAx2 
Tập hợp tất cả các gía trị x ∈ X mà tại đó A xác định, được gọi là miền xác 
định của toán tử A và ký hiệu D(A). Miền giá trị của A được ký hiệu R(A) ⊂ Y. 
Trong trường hợp Y = R1 (trường số thực), thì toán tử tuyến tính A được gọi là 
phiếm hàm tuyến tính. 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 7