Yếu tố ma trận cho Exciton hai chiều trong điện trường

c hàm riêng của toán tử ˆzL . Cách 
đơn giản nhất để thực hiện điều này là định nghĩa toán tử sinh hủy mới là tổ hợp tuyến tính 
của toán tử sinh hủy cũ sao cho ˆzL có dạng trung hòa. Mặc dù đối với bài toán này, do ảnh 
hưởng của điện trường nên đại lượng này không bảo toàn, nhưng để thống nhất với các 
công trình trước (Nguyen & Hoang, 2018), ta vẫn sẽ sử dụng bộ hàm sóng cơ sở là các 
hàm riêng của toán tử ˆzL để tính toán. 
Ta định nghĩa các toán tử sinh hủy mới nhằm chéo hóa ˆzL như sau: 
     
     
     
     
1 ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 ,
2 2
1 ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 ,
2 2
1 ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 ,
2 2
1 ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 .
2 2
ˆ
ˆ
ˆ
u iv u iv
u iv u i v
u iv u iv
b u i v u i v
a
a
b
 

 

 

 

 
  
 

 
       
       
      
      


 (7) 
Các toán tử này cũng thỏa mãn hệ thức giao hoán:  , 1, , 1.a a b b
           
  
Ở đây, ta đưa vào các toán tử (6) một tham số tự do, đóng vai trò điều chỉnh tốc độ 
hội tụ. Tham số này sẽ không ảnh hưởng đến kết quả bài toán vì nó không có mặt trong 
toán tử Hamilton toàn phần mà chỉ xuất hiện trong thành phần chính và thành phần nhiễu 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 6 (2019): 72-80 
76 
loạn, nó đóng vai trò điều chỉnh sự chênh lệch độ lớn giữa hai thành phần này nhằm thỏa 
mãn điều kiện nhiễu loạn, do đó cũng làm tăng tốc độ hội tụ của bài toán. 
Toán tử Hamilton (5) được biểu diễn dưới dạng toán tử sinh hủy (7) như sau: 
RH H ER    , (8) 
với 
    
  
2 2 2 21
2
2 2 2 22
2
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2
8 2
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 1,
2
RH N M M N M M a a b b ab a b
i N M M a a b b ab a b




     
    
          
        

 (9) 
 1ˆ ˆ ˆ ˆ .R N M M

   (10) 
trong đó các toán tử mới ˆ ˆ ˆ, ,M M N được định nghĩa lại như sau: 
 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , 1 .M ab M a b N a a b b         (11) 
Khi đó ta thu được toán tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo dưới dạng toán tử 
trung hòa: 
 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ .2zL a a b b
    (12) 
3. Bộ hàm sóng cơ sở 
Bộ hàm sóng được chọn là nghiệm riêng của toán tử trung hòa như sau: 
     211 2
1 2
1 ˆˆ, 0 ,
! !
nn
n n a b
n n
  (13) 
với 1 2,n n là các số nguyên không âm và trạng thái chân không được định nghĩa từ các 
phương trình sau: 
        ˆˆ 0 0, 0 0, 0( ) 0( ) 0.a b        (14) 
Ta sẽ xác định nghiệm của phương trình (8)-(9) dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các 
hàm sóng cơ sở (13) như sau: 
1 2
1 2
, 1 2
0 0
, ,n n jk
j k
j n k n
n n C j k
 
 
 
  . (15) 
4. Các yếu tố ma trận của Hamiltonian 
Ta giải phương trình (4) với hàm sóng khai triển (15), khi đó phương trình được viết lại: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Phạm Thị Mỹ Hảo và tgk 
77 
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
0 0 0 0
, , , ,R jk n n jk
j k j k
j n k n j n k n
H n n C j k E R n n C j k
   
   
   
   
           
   
   (16) 
Nhân trái hai vế (16) với ,j k  , ta có: 
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
0 0 0 0
, , , , , ,R jk n n jk
j k j k
j n k n j n k n
j k H n n C j k E j k R n n C j k
   
   
   
   
              
   
   
hay 
1 1 2 1
2 2
1 2 1 2
' ' ' '
' '' '0 0 0 0
R R
n j jk jj n n n j jk jj
kk kkn k n kj k j k
j n k n j n k n
H C H E R C R
   
   
   
 
     
 
  , (17) 
trong đó ' '
' '
,Rjj jj
kk kk
H R là các yếu tố ma trận được định nghĩa như sau : 
*
' , ,
'
*
' , ,
'
, , ,
, , .
R R R
jj j k j k
kk
jj j k j k
kk
H j k H j k H dV
R j k R j k R dV
 
 
 
 
  
  


 
 
 (18) 
Khi đã xác định được các yếu tố ma trận (18), phương trình (17) có thể được giải 
bằng cách áp dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn hoặc cũng có thể giải trực tiếp như hệ phương 
trình tuyến tính. 
5. Kết quả 
Chúng tôi tiến hành các tính toán đại số để tìm biểu thức cụ thể của các yếu tố ma 
trận (18), làm cơ sở cho việc xác định nghiệm số chính xác của bài toán. Kết quả thu được 
biểu thức của các yếu tố ma trận khác không như sau: 
4.1. Yếu tố ma trận của R 
 
  
1 1
2 2
1 1
2 2
, 1 2
,
, 1 1 2
, 1
1 1 ,
1 1 1 .
n n
n n
n n
n n
R n n
R n n


  
  
 (19) 
4.2. Yếu tố ma trận của H 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 6 (2019): 72-80 
78 
 
  
     
      
      
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
, 1 2
,
, 1 1 2
, 1
, 1 1 2 1 2 1 22
, 1
, 2 1 2 1 2 1 12
,
, 1 2 1 2 2 22
, 2
, 3 1
, 1
1 1,
8
1 1 ,
8
13 1 1 ,
2
1 3 3 1 2 ,
2
1 3 3 1 2 ,
2
R
n n
n n
R
n n
n n
R
n n
n n
R
n n
n n
R
n n
n n
R
n n
n n
H n n
H n n
H i n n n n
H i n n n n
H i n n n n
H


 

 

 










   
   
    
     
     
      
     
1 1
2 2
1
2 22
1
2
, 1 1 2 12
, 3 2
3 !1 1 ,
2 !
3 !1 1 .
2 !
R
n n
n n
n
i n
n
n
H i n
n


 




  
 (20) 
Các yếu tố ma trận trên khác không khác có thể xác định dựa vào tính chất của toán 
tử hermit: 
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
*
, , , ,
, , , ,
, ( ) .R R
n n n n n n n n
n n n n n n n n
R R H H
   
   
  
Các yếu tố ma trận H trong công thức (20) có chứa cả phần thực lẫn phần ảo. Điều 
này dự đoán năng lượng của exciton cũng có dạng phức / 2E i    , phù hợp với bản 
chất vật lí của hệ nguyên tử trong điện trường ngoài, trong đó thành phần ảo đặc trưng cho 
xác suất ion hóa xuyên ngầm  của nguyên tử (Pedersen et al., 2016), là một đại lượng có 
ý nghĩa trong việc xác định các tính chất vật lí của hệ. 
6. Kết quả: 
Như vậy trong công trình này, chúng tôi đã xây dựng được phương trình Schrödinger 
cho exciton hai chiều trong điện trường và áp dụng phương pháp toán tử FK để giải bài 
toán. Kết quả là thu được các yếu tố ma trận của Hamiltonian, là cơ sở để xác định nghiệm 
số chính xác cho exciton hai chiều trong điện trường. 
 Tuyên bố về quyền lợi: Các tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 
 Lời cảm ơn: Nghiên cứu này được tài trợ bởi Trường Đại học Sư phạm Thành phố 
Hồ Chí Minh trong đề tài cơ sở mã số CS2016.19.13. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Phạm Thị Mỹ Hảo và tgk 
79 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Choi, W., Choudhary, N., Han, G. H., Park, J., Akinwande, D., & Lee, Y. H. (2017). Recent 
development of two-dimensional transition metal dichalcogenides and their applications. 
Materials Today, 20(3), 116-130. https://doi.org/10.1016/j.mattod.2016.10.002 
Feranchuk, I. D., & Komarov, L. I. (1982). The operator method of the approximate solution of the 
Schrödinger equation. Physics Letters A, 88(5), 211-214. https://doi.org/10.1016/0375-
9601(82)90229-8 
Feranchuk, I. D., Ivanov, A., Le, V.-H., & Ulyanenkov, A. (2015). Nonperturbative description of 
quantum systems (Vol. 894; I. Feranchuk, A. Ivanov, V.-H. Le, & A. Ulyanenkov, Eds.). 
https://doi.org/10.1007/978-3-319-13006-4 
He, Z., Sheng, Y., Rong, Y., Lee, G. Do, Li, J., & Warner, J. H. (2015). Layer-dependent 
modulation of tungsten disulfide photoluminescence by lateral electric fields. ACS Nano, 
9(3), 2740–2748. https://doi.org/10.1021/nn506594a 
Huang, S., Liang, Y., & Yang, L. (2013). Exciton spectra in two-dimensional graphene derivatives. 
Physical Review B - Condensed Matter and Materials Physics, 88(7), 075441-075446. 
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.88.075441 
Miller, R. C., Kleinman, D. A., Tsang, W. T., & Gossard, A. C. (1981). Observation of the excited 
level of excitons in GaAs quantum wells. Physical Review B, 24(2), 1134-1136. 
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.24.1134 
Nguyễn, Phương Duy Anh, Hoàng, Đỗ Ngọc Trầm (2018). Yếu tố ma trận cho nguyên tử heli hai 
chiều. Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM, 15(9), 22-34 
Pedersen, T. G., Latini, S., Thygesen, K. S., Mera, H., & Nikolić, B. K. (2016). Exciton ionization 
in multilayer transition-metal dichalcogenides. New Journal of Physics, 18(7), 073043-11. 
https://doi.org/10.1088/1367-2630/18/7/073043 
Ramasubramaniam, A., Naveh, D., & Towe, E. (2011). Tunable band gaps in bilayer transition-
metal dichalcogenides. Physical Review B, 84(20), 205325-10. 
Scharf, B., Frank, T., Gmitra, M., Fabian, J., Žutić, I., & Perebeinos, V. (2016). Excitonic Stark 
effect in MoS2 monolayers. Physical Review B, 94(24), 245434-8. 
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.94.245434 
Wu, S., Cheng, L., & Wang, Q. (2017). Excitonic effects and related properties in semiconductor 
nanostructures: Roles of size and dimensionality. Materials Research Express, 4(8), 08517–
13. https://doi.org/10.1088/2053-1591/aa81da 
Xiao, J., Zhao, M., Wang, Y., & Zhang, X. (2017). Excitons in atomically thin 2D semiconductors 
and their applications. Nanophotonics, 6(6), 1309–1328. https://doi.org/10.1515/nanoph-
2016-0160 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 6 (2019): 72-80 
80 
 MATRIX ELEMENTS FOR TWO-DIMENSIONAL EXCITON 
IN AN ELECTRIC FIELD 
Pham Thi My Hao, Nguyen Thi Thuy Trang, Hoang Do Ngoc Tram* 
Ho Chi Minh City University of Education 
* Corresponding author: Hoang Do Ngoc Tram – Email: tramhdn@hcmue.edu.vn 
Received: 06/11/2019; Revised: 17/11/2019; Accepted: 16/5/2019 
ABSTRACT 
The FK operator method is applied to solve the Schrödinger equation for a two-dimensional 
exciton in a uniform electric field. The Levi-Civita transformation is used to construct the basic set 
of wave functions under the form of harmonic oscillator ones. That the matrix elements of 
Hamiltonian are obtained allows retrieving the exact numerical solution of the problem. 
Keywords: exciton, two-dimensional, Levi-Civita transformation, FK operator method, 
matrix element.