Về đồng nhất thức nhóm suy rộng của nhóm tuyến tính tổng quát trên vành chia có tâm hữu hạn

một ma trận m trong M ( )n D và phần tử v V 
là ảnh của ánh xạ tuyến tính m và được xác định như tích của hai ma trận m và v . Các bổ 
đề dưới đây là mở rộng các kết quả theo (Mikhalev & Golubchik, 1982) cho vành chia có 
tâm không nhất thiết vô hạn. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Cao Minh Nam 
33 
Bổ đề 2.4. 
Cho D là vành chia tâm F và (M ( ))nP Z D . Giả sử 1 2, ,..., mc c c là các phần tử 
thuộc M ( ) \n D P . Nếu 2 1F m  , thì tồn tại phần tử v trong V sao cho jc v v với 
mọi  1,2,...,j m . 
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bổ đề trên bằng phép quy nạp theo m . Trong trường 
hợp 1m  , ta giả sử với bất kì v V thì 1c v vd , với d là phần tử nào đó của D . Từ đây 
suy ra 
1 1
2 2
1
n n
x x
x x
c d
x x
   
   
   
   
   
   
 
, trong đó 
1
2
n
x
x
v
x
 
 
 
 
 
 

. Đặt 
0
0
1
0
0
ie
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 


 với mọi 1,2,...,i n là các vectơ 
đơn vị trong V . Vì thế 1 i i ic e e d , trong đó id D với mọi 1,2,...,i m hay 
 1
0 0
0 0
1
0 0
0 0
ic d
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
 
 
Hơn nữa, do 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 3( ) ( )e d e d c e c e c e e e e d       nên 
31
32
0 0
0 0
dd
dd
  
  
  
   
  
  
   
   
 
. Điều 
này cho ta 1 2 3d d d  . Tiếp theo, với mỗi 
1
2 \{0}
n
x
x
v V
x
 
 
  
 
 
 

, ta xét các trường hợp sau: 
1. Nếu 1 0x  thì 1 1 1 1 1( )c v e c v c e   . Điều này tương đương với 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 6 (2019): 29-37 
34 
1 1( )v e d vd e d    hay 
1 1
2 2
( 1)
n n
x d x d d
x d x d
x x d
    
       
   
   
   
 
. Mặt khác, vì 1 0x  nên tồn tại 
 2,3,...,i n sao cho 0ix  . Do đó d d d   và 1c v vd . 
2. Nếu 1 0x  thì 1 2 1 1 2( )c v e c v c e   . Điều này tương đương với 
2 2( )v e d vd e d    hay 
1 1
2 2( 1)
n n
x d x d
x d x d d
x d x d
    
        
   
   
    
 
. Mặt khác, vì 1 0x  nên d d d   . 
 Do đó 1c v vd . Kết hợp hai trường hợp trên ta suy ra tồn tại d D sao cho với mọi 
v V thì 1c v vd . Khi đó, với bất kì M ( )nc D và bất kì v V , thì 
1 1( ) ( ) ( ) ( )c c v c vd cv d c cv   . Điều này có nghĩa là 1 1( ) ( )cc v c c v . Từ đây suy ra 
   1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1( ) ( ) ( )n ncc c c e c e c e c c e c c e c c e   . Hơn nữa, do 
   1 1 1 2 1 1 1 2( ) ( ) ( )n nc ce c ce c ce c ce ce ce  
Nên 1 1cc c c với mọi M ( )nc D . Vì thế 1c P . Mâu thuẫn. 
Theo giả thiết quy nạp, tồn tại 1 2, \ {0}v v V sao cho 1 1 1c v v và 2 2jc v v với 
mọi {2,3,..., }i m . Bổ đề cần chứng minh hiển nhiên đúng trong trường hợp 1 2v v . 
Ngược lại, ta giả sử với mỗi F  , tồn tại {1,2,..., }j m thỏa 1 2 1 2( )jc v v v v    . 
Xét tập hợp { 1,2 1}tI t m   các phần tử đôi một khác nhau trong F . Theo đó tồn tại 
{1,2,..., }j m thỏa  1 2 1 2( )j t tc v v v v d      , với {1,2,3} . Khi đó, với mỗi 
{1,2,3} , ta có 
1 1 1 1
2 2 2 2
t t
t t
i
n n t n n t
x y x y
x y x y
c d
x y x y
 
 
 

 
 
 
    
   
       
   
       
 
. Đặt 
11 1 2 t
w v v   và 
22 1 2 t
w v v   . 
Suy ra 1 11 1 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ( ) )v w w     
      và 1 12 1 1 2 2 1 2( ) ( ( ) )v w w   
      . Hiển 
nhiên, vì 1 2,v v độc lập tuyến tính nên 1 2,w w cũng độc lập tuyến tính. Đặt 3 1 1 2 2w w w   . 
Do 1 2,w w độc lập tuyến tính nên 1 2 1   và 1 1 2 2 3      . Vì thế 
1
2 1 3 1 2( )( ) \{0}F    
    và 11 3 2 1 2( )( ) \{0}F    
    . Dễ thấy rằng 
3 1 1 2 2w w w   , 1 1 3 2 4v w w   và 2 1 5 2 6v w w   , trong đó i F  và 0i  . Ta 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Cao Minh Nam 
35 
thấy, 3 3 3 1 1 3 2 2 3jc w w d w d w d    . Hơn nữa, 3 1 1 2 2 1 1 2 2( )j j j jc w c w w c w c w       . 
Do 1 2,w w độc lập tuyến tính và 0i  với mọi 1,6i , nên 1 2 3d d d d   . Từ đó suy ra 
1 1 3 2 4 1 3 2 4 1( ) ( )j jc v c w w w w d v d        
và tương tự 2 2jc v v d . Trong trường hợp 1j  , do 1 1 1c v v d nên mâu thuẫn với 
1 1 1c v v . Ngược lại, trong trường hợp 1j  , vì 2 2jc v v d nên mâu thuẫn với 2 2jc v v . 
Từ đây, ta kết luận được rằng tồn tại F  thỏa 1 2 1 2( )jc v v v v    với mọi j và do 
đó bổ đề được chứng minh. 
Bổ đề 2.5. 
Cho D là vành chia tâm F và 1 2, , ..., mc c c là các phần tử trong M ( ) \n D P . Nếu 
2 1F m  thì tồn tại M ( )ny D sao cho 1 2 ... 0myc yc y yc y  và 
2 0y  . 
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.4, tồn tại 1 \{0}v V thỏa 1 1jc v v với mọi 
{1,2,..., }j m . Theo Mệnh đề 2.2, tồn tại các phần tử iv V , 2, 1i n  sao cho hệ 
{ 1 1}iv i n   độc lập tuyến tính và thỏa 1 2 1, ,..., nv v v  không chứa các phần tử 1jc v với 
1,j m . Do V là không gian vectơ phải n chiều trên D , nên tồn tại nv để hệ { 1 }iv i n  
là cơ sở của V . Đặt 
1
2
i
i
i
in
x
x
v
x
 
 
 
 
 
 

 và  1 2 M ( )n nm v v v D  , nghĩa là, m được lập bằng 
cách ghép các vectơ iv theo cột. Ta kí hiệu 
1m là ma trận khả nghịch của ma trận m . Đặt 
0 1
0 0
y m
 
   
 
 

  

1m . 
Dễ thấy, 
0
0
0
iyv
 
 
 
 
 
 

 với mọi 1, 1i n  , 1nyv v và 
2 0y  . Do đó, ta suy ra 
1 2 1 1 2( ... ) ... 0m n nyc yc y yc y v v d d d  . Vậy 1 2 ... 0myc yc y yc y  . 
Bổ đề 2.6. 
Cho D là vành chia tâm F và GL ( )n D là nhóm tuyến tính tổng quát trên D , với 
2n  . Giả sử 
1 2
1 21 2 1 2 1
( , ,..., ) ... m
mk i i m i m
w x x x a x a x a x a   
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 6 (2019): 29-37 
36 
là đơn thức nhóm suy rộng trên ( )nGL D . Nếu ( )nGL D thỏa đồng nhất thức 
1 2( , ,..., ) 1kw x x x  và ( ) 1F l w  thì GL ( )n D cũng thỏa đồng nhất thức 
1 2
1 2 1... 1mm mc x c x c x c
 
  , 
trong đó GL ( ) \j nc D P với mọi {1,2,..., }j m . 
Chứng minh. Do ( )l w m và 2 ( ) 1F l w  nên ta gọi  t k t k     là các 
phần tử đôi một khác nhau trong F và  jJ j a P  . Theo Bổ đề 2.5, tồn tại M ( )ny D 
sao cho 2 0y  và 0, 0jya y ycy  với bất kì j J và phần tử c nào đó trong M ( ) \n D P . 
Đặt j j js i và (1 ) (1 )j j ji i ix y x y    với mọi 1,j m , jk i k   và GL ( )nx D . 
Dễ thấy, GL ( )
ji n
x D . Vì thế GL ( )n D cũng thỏa đồng nhất thức 1 21 2 1... 1mm mc x c x c x c
 
  , 
trong đó 
1 11 1 1 1
(1 ), (1 )
ms m s m
c a y c y a 
  
    và 
1
(1 ) (1 )
j jj s j s
c y a y 

   với mọi 
 1, 1j m  . Nếu 1j js s   thì 1j j    và 1j ji i  . Hơn nữa do 1 2( , ,..., ) 1kw x x x  là 
đồng nhất thức nhóm suy rộng trên GL ( )n D nên ja P . Tiếp theo ta sẽ chứng minh 
jc P . Thật vậy, nếu ja P thì 1(1 ) (1 ) 0jj s j j jyc y y y a s y y ya y      . Suy ra jc P . 
Ngược lại nếu ja P thì 1j js s   . Điều này dẫn đến 
1 1
(1 )(1 ) ( )
j j j jj j s s j s s
c a y y a y   
  
     . 
Dễ thấy y P nếu ja P . Từ đây suy ra 0ycy  . Điều này mâu thuẫn với điều 
kiện 0ycy  . Do đó jc P . 
Từ các bổ đề trên ta có được kết quả chính của bài báo. 
Định lí 2.7. 
Cho D là vành chia tâm F và GL ( )n D là nhóm tuyến tính tổng quát trên D . Giả 
sử 1 2
1 21 2 1 2 1
( , ,..., ) ... m
mk i i m i m
w x x x a x a x a x a   là đơn thức nhóm suy rộng trên GL ( )n D . Nếu 
GL ( )n D thỏa đồng nhất thức 1 2( , ,..., ) 1kw x x x  và 2 ( ) 1F l w  thì 1n  và D F . 
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.6, nhóm GL ( )n D cũng thỏa đồng nhất thức 
1 2
1 2 1... 1mm mc x c x c x c
 
  , trong đó jc P với mọi 1,j m . Theo Bổ đề 2.5, tồn tại 
M ( )ny D sao cho 
2 0y  và 1 2 ... 0myc yc y yc y  . Đặt (1 )x y  , trong đó F  . Dễ 
thấy, GL ( )nx D . Từ đây 
1 2
1 2 1(1 ) (1 ) ... (1 ) 1 0mm mc y c y c y c
         , 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Cao Minh Nam 
37 
Suy ra 20 1 2 ... 1
m
mb b b b       , với mọi F  . Hơn nữa, 
1 2 1 1( ... ) ... 0m m myb y yc y yc y     . Mặt khác, do 2 1F m  và theo Bổ đề 2.3, nên 
0 1 ... 0mb b b    . Mâu thuẫn với 0mb  . Từ đây Định lí 2.7 đã được chứng minh. 
 Tuyên bố về quyền lợi: Tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Amitsur, S. A. (1966). Rational identities and applications to algebra and geometry. J. Algebra, 3, 
304-359. 
Bien, M. H. (2015). On some subgroups of D which satisfy a generalized group identity. Bull. 
Korean. Math. Soc., 52, 1353-1363. 
Chebotar, M. A., & Lee, P. H. (2004). A note on group identities in division rings. Proc. Edinb. 
Math. Soc., 47, 557-560. 
Kiani, D., Ramezan-Nassab, M., & Bien, M. H. (2016). Some skew linear groups satisfying 
generalized group identities. Comm. Algebra, 2362-2367. 
Mikhalev, A. V., & Golubchik, I. Z. (1982). Generalized group identities in classical groups. Zap. 
Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Inst. Steklov., 114, 96-119. 
Tomanov, G. M. (1982). Generalized group identities in linear groups. Dokl. Akad. Nauk BSSR, 26, 
9-12. 
ON GENERALIZED GROUP IDENTITIES OF GENERAL LINEAR GROUP OVER 
DIVISION RING WITH CENTER NOT NECESSARILY INFINITE 
Cao Minh Nam 
Ho Chi Minh City University of Education 
* Corresponding author: Cao Minh Nam – Email: caominhnam.dhsp@gmail.com 
Received: 04/3/2019; Revised: 21/4/2019; Accepted: 05/6/2019 
ABSTRACT 
 This article extends a famous result of I. Z. Golubchik and A.V. Mikhalev for generalized 
group identities of general linear group over division ring with center not necessarily infinite. 
 Keywords: division ring, general linear group, generalized group identities.