Vận dụng tri thức hàm để giải một số bài toán ở phổ thông

 
Bài 4 (Khối A – 2013). Giải hệ phương 
trình 
44
2 2
1 1 2 (1)
2 ( 1) 6 1 0(2)
x x y y
x x y y y
      

     
Lời giải: Điều kiện 1x  . Từ (1) ta có 
4 44 41 1 ( 1) 1 ( 1) 1x x y y        
 (*). Đặt 4( ) 1 1f t t t    thì f 
đồng biến [1; )t   , từ (*) ta có 
4 4( ) ( 1) 1f x f y x y     , thế vào 
(2) ta tìm được nghiệm của hệ là (1;0); 
(2;1) 
Bài 5 (Khối A – 2003): Cho x, y, z là 
ba số dương và 1x y z   , chứng 
minh rằng 
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82P x y z
x y z
      
Lời giải: Đặt 
1 1 1
( ; ); ( ; ); ( ; )u x v y w z
x y z
  
P u v w u v w       hay 
2 21 1 1( ) ( )P x y z
x y z
     
23
3
2
1
9 ( ) 9
( )
xyz
xyz
  . 
 Đặt 23 ( )t xyz 
2 10 ( )
3 9
x y z
t
 
    . Xét hàm 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 03 - 2016 ISSN 2354-1482 
109 
9 1
( ) 9 ; (0; ]
9
f t t t
t
    do f(t) nghịch 
biến 
1 1
(0; ] ( ) ( ) 82
9 9
t f t f     
nên 82P  (đpcm). 
3. Một số dạng toán liên quan 
3.1. Hệ hoán vị 
 Giả sử có hệ :
1 2
2 3
1
( ) ( )
( ) ( )
.................
( ) ( )n
f x g x
f x g x
f x g x
 




 

, giải hệ 
dạng này ta dựa vào tính chất (TC) sau: 
TC1: Nếu f(x) và g(x) là các hàm cùng 
tăng hoặc cùng giảm trên tập xác định và 
1 2( , ,..., )nx x x là nghiệm của hệ trên tập 
xác định thì 1 2 ... nx x x   . 
TC2: Nếu f(x) và g(x) khác tính đơn điệu 
trên tập xác định và 1 2( , ,..., )nx x x là 
nghiệm của hệ trên tập xác định thì 
1 2 ... nx x x   nếu n lẻ; 
 1 3 1
2 4
...
...
n
n
x x x
x x x

   

  
 nếu n chẵn. 
VD4: Giải hệ: 
2
3
2
3
2
3
2 6 log (6 )
2 6 log (6 )
2 6 log (6 )
x x y x
y y z y
z z x z

   

   

   

 HDG: Hệ 
3
2
3
2
3
2
log (6 )
2 6 ( ) ( )
log (6 ) ( ) ( )
2 6 ( ) ( )
log (6 )
2 6
x
y
x x f y g x
y
z f z g y
y y f x g z
z
x
z z

  

   

     
   

  

 
Trong đó 
3
2
( ) log (6 ) ; ( )
2 6
t
f t t g t
t t
  
 
 với ( ;6)t   ; Ta có  f t là hàm 
nghịch biến và  g t có 
 
3
2
6
'( ) 0
2 6
t
g t
t t

 
 
( ;6)t   ( )g t là hàm đồng biến. 
  x y z .thay vào hệ ta có : 
3
2
log (6 )
2 6
x
x
x x
 
 
 PT này có 
nghiệm duy nhất 3x  
    3x y z . 
3.2. Ứng dụng hàm lồi 
TC1 (Bất đẳng thức tiếp tuyến) 
Cho hàm số ( )y f x liên tục và có đạo 
hàm đến cấp hai trên [a;b] . 
a) Nếu ''( ) 0 [ ; ]f x x a b   thì 
0 0 0 0( ) '( )( ) ( ) [ ; ]f x f x x x f x x a b    
b) Nếu ''( ) 0 [ ; ]f x x a b   thì 
0 0 0 0( ) '( )( ) ( ) [ ; ]f x f x x x f x x a b    
TC2 (Bất đẳng thức cát tuyến) 
Cho hàm số ( )y f x liên tục và có đạo 
hàm đến cấp hai trên [a;b] . 
a) Nếu ''( ) 0 [ ; ]f x x a b   thì 
0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) [ ; ]
f a f b
f x x a f a x a b
a b

    

b) Nếu ''( ) 0 [ ; ]f x x a b   thì 
0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) [ ; ]
f a f b
f x x a f a x a b
a b

    

TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 03 - 2016 ISSN 2354-1482 
110 
Đẳng thức trong các BĐT trên có khi và 
chỉ khi x a hoặc x b . 
VD5 (Vô địch Toán Ba Lan 1996): Cho 
3
, ,
4
a b c   và 1a b c   . Chứng 
minh rằng: 
2 2 2
9
101 1 1
a b c
a b c
  
  
. 
HDG: Ta thấy đẳng thức xảy ra khi 
1
3
a b c   và BĐT đã cho có dạng: 
9
( ) ( ) ( )
10
f a f b f c   trong đó 
2
( )
1
x
f x
x


 với 
3 5
[ ; ]
4 2
x   . 
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x 
tại điểm có hoành độ 
1
3
x  là : 
36 3
50
x
y

 . 
Ta có: 
 
  
2
36 3 36 3
( ) 
50 50 1
x x x
f x
x
 
    

2
2
(3 1) (4 3) 3 5
0 [ ; ] 
4 250( 1)
x x
x
x
Vậy : 
  
   
  
36( ) 9 9
2 2 2 50 101 1 1
a b c a b c
a b c
 đpcm. 
3.3. Ứng dụng đồ thị 
Nếu đồ thị y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc 
nhau tại x0 thì tồn tại một khoảng (a;b) 
chứa x0 sao cho trên khoảng đó, đồ thị 
này nằm dưới đồ thị kia nên 
( ) ( ) ( ), ( ; )f x g x x a b    . Sử dụng 
TC này ta có thể chứng minh một số 
BĐT có dạng sau: Cho 
, 1,ia D R i n   thỏa mãn 
1
( ) ( ) ( )
n
i
i
g a ng m

  với m thuộc D, 
chứng minh rằng 
1
( ) ( ) ( )
n
i
i
f a nf m

  . 
Để giải loại toán này, ta đi tìm các số 
thực a, b sao cho đồ thị hàm số y = f(x) 
tiếp xúc với đồ thị hàm số y = ag(x) + b 
tại x0 = m. Sau đó ta chứng minh đồ thị 
nảy nằm dưới đồ thị kia trong một 
khoảng hay đoạn nào đó. Có thể chia ra 
một số dạng cụ thể như sau: 
Dạng 1: Bài toán có giả thiết tổng bình 
phương các biến bằng hằng số: 
VD6. Cho các số a,b,c dương thỏa mãn 
2 2 2 1a b c   , chứng minh rằng 
2 2 2 2 2 2
3 3
2
a b c
b c a c b a
  
  
HDG: Do a,b,c (0;1) . Ta có 
2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1
a b c a b c
b c a c b a a b c
    
     
 Từ đó ta tìm hai số m, n sao cho đồ thị 
hàm số 2y mx n  nằm phía dưới đồ 
thị hàm số 
21
x
y
x


 trong khoảng 
(0;1) và tiếp xúc nhau tại 0
3
3
x  . Từ 
điều kiện tiếp xúc 
2
2
2
2 2
1
1
2
(1 )
x
mx n
x
x
mx
x

  

 
 
 có 
nghiệm 0
3
3
x  , ta tìm được 
3 3
2
m  
và n = 0. Ta chứng minh 
2
2
x 3 3
x , x (0;1)
1- x 2
   , từ đó ta có 
đpcm. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 03 - 2016 ISSN 2354-1482 
111 
Dạng 2: Bài toán có giả thiết tích các 
biến bằng hằng số: 
VD7: Cho các số a,b,c dương thỏa mãn 
abc=1, chứng minh rằng : 
3 2
21 1 1
a b c
a b c
  
  
HDG: Từ abc = 1, ta có lna + lnb +lnc 
= 0. Ta tìm hai số m, n sao cho đồ thị 
hàm số lny m x n  nằm phía dưới đồ 
thị hàm số 
1
x
y
x


 trong khoảng 
(0; ) và tiếp xúc nhau tại 0 1x  . Từ 
điều kiện tiếp xúc 
3
ln
1
2
2 (1 )
x
m x n
x
x m
xx

  
 
 
 
có nghiệm 0 1x  , ta tìm được 
3
4 2
m  và 
1
2
n  . Ta chứng minh 
x 3 1
ln , x (0;+ )
1 4 2 2
x
x
    

b
ằng cách xét hàm số 
x 3 1
( ) ln , x (0;+ )
1 4 2 2
f x x
x
     

ta có bảng biến thiên 
X 0 1  
f’(x) - 0 + 
f(x) 
 0 
Nên ( ) (1) 0f x f  , từ đó ta có đpcm. 
Dạng 3: Bài toán bất đẳng thức đồng 
bậc có hiệu giữa bậc của tử và bậc của 
mẫu khác 1: 
VD8: Cho các số a,b,c dương , chứng 
minh rằng 
3 3 3 3 3 3
0
3 3 3
a b b c c a
a b b c c a
  
  
  
HDG: Ta tìm hai số m, n sao cho đồ thị 
hàm số 2y mx n  nằm phía dưới đồ 
thị hàm số 
3 1
3
x
y
x



 trong khoảng 
(0; ) và tiếp xúc nhau tại 0 1x  . Từ 
điều kiện tiếp xúc 
3
2
3 2
2
1
3
2 9 1
2
( 3)
x
mx n
x
x x
mx
x
 
 


  
 
có nghiệm 0 1x  , ta tìm được 
3
8
m  và 
3
8
n

 . Ta chứng minh 
3
2x 1 3 (x 1), x (0;+ )
3 8x

    

, từ đó ta 
có đpcm. 
4. Một số bài toán vận dụng 
Bài 1(HSG QG – 1996 ): Hãy biện luận 
số nghiệm thực ,x y của hệ phương 
trình sau theo tham số ,a b : 
3 4 2
2 2 3 22
x y y a
x y xy y b
  

  
Bài 2 (HGS QG – 2005 ): Cho các số 
thực , ,a b c . Chứng minh rằng 
3
2 2 2 2 2 2 26( )( ) 27 10( )a b c a b c abc a b c       
 Bài 3 (HSG QG – 2007 ): Hãy xác 
định số nghiệm của hệ phương trình 
sau: 
2 3
3 2
29
log .log 1
x y
x y
  


TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 03 - 2016 ISSN 2354-1482 
112 
Bài 4 (Albania 2002): Cho , , 0a b c  . 
Chứng minh rằng : 
2 2 2 2 2 21 3 1 1 1( )( )
3 3
a b c a b c a b c
a b c

         
Bài 5 (Olympic Toán Nhật Bản 1997). 
Cho , , 0a b c  . Chứng minh rằng : 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 3
5( ) ( ) ( )
b c a c a b a b c
b c a c a b a b c
     
  
     
Bài 6 (Trung Quốc 2005): Cho 
, , 0a b c  và 1a b c   . Chứng 
minh rằng: 
3 3 3 5 5 510( ) 9( ) 1a b c a b c      
Bài 7: 
a) Cho x, y, z dương thỏa mãn 
2 2 2 1x y z   , chứng minh rằng 
1 1 1
( ) 2 3x y z
x y z
      
b) Cho x, y, z dương thỏa mãn 
1xyz  , chứng minh rằng 
2 2 2 3
1 1 1 2
x y z
yz xz yx
  
  
c) Cho các số a, b, c dương, chứng minh 
rằng: 
4 4 4 3 3 3
4 4 4 5
a b c a b c
a b b c c a
 
  
  
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Geoffrey Petly (1998), Teaching today, Stanley Thornes Publishers, United 
Kingdom 
2. Nguyễn Bá Kim (2008), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb. Đại học sư phạm 
3. Đinh Quang Minh, (2004), Tri thức về hàm với những kĩ năng giải một số loại toán 
ở lớp 10 THPT, Tạp chí Thông tin Khoa học giáo dục, Hà Nội số 108/2004, tr 24 -28 
4. Lê Hồ Quý (2012), Sử dụng đạo hàm để giải một số loại toán, Toán học & 
Tuổi trẻ, số 423/2012 
5. Nguyễn Tuấn Ngọc (2014), Dùng phương pháp đồ thị để chứng minh bất 
đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, Toán học & Tuổi trẻ số 442/2014 
6. Nguyễn Tất Thu, Trần Văn Thương (2010), Phương pháp hàm số trong 
các bài toán Đại số, Nxb. Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 03 - 2016 ISSN 2354-1482 
 113 
APPYING KNOWLEDGE OF ARITHMETIC FUNCTION TO SOLVE 
SOME HIGH SHOOL MATHMATIC PROBLEMS 
ABSTRACT 
The subject of arithmetic function appears throughout high school math 
syllabus. Thus, applying knowledge of arithmetic function to solve mathematic 
problems, through which students can practice skill of solving mathematic problems 
is considered necessary. The writing aims at not only showing that some high school 
mathematic forms can be solved thanks to applying knowledge of arithmetic function 
but also suggesting some pedagogic orientations which help teachers guide students 
in mathematic practice in order that they can form a certain mathematic solving 
skills through this application. Those forms of mathematics often appear in 
curriculum of grade 10, 11, 12 and also commonly in university entrance exam 
papers. 
Keywords: knowledge of arithmetic function, mathematic solving skill, 
content, idea, activity