Phân loại khái niệm bài toán trong dạy học Toán phổ thông

 cảnh khác. 
Trong hoạt động giải bài tập áp dụng 
và bài tập củng cố, người thầy xem học 
sinh có sử dụng khái niệm mong muốn để 
giải quyết bài tập đó hay không mà không 
quan tâm hay không mong muốn thực hiện 
bất cứ hoạt động tìm tòi nghiên cứu nào. 
Đặc trưng của bài tập áp dụng và củng 
cố: 
1/ Bài toán đặt ra luôn có một lời giải. 
2/ Áp dụng các kiến thức đã học. 
3/ Đề bài chứa tất cả dữ liệu cần thiết 
cho lời giải. 
4/ Kết quả thường được trình bày dưới 
dạng hình thức hay số. 
Ví dụ 1: Cho một số 384,25. Chữ số 
hàng chục là gì? Chữ số hàng phần chục? 
Chữ số hàng đơn vị? 
Bài tập trong Ví dụ 1 là bài tập áp 
dụng nhằm mục đích mong muốn học sinh 
áp dụng định nghĩa số thập phân mà học 
sinh vừa học xong để giải quyết bài toán. 
Ví dụ 2: Cho hai bài tập sau: 
Bài 1. Cho tam giác đều ABC cạnh a 
có đường cao AH. Tính: 
a/ .AB AC ; b/ .AH AC . 
Bài 2. Cho tam giác ABC có I là trung 
điểm cạnh BC. Chứng minh rằng: 
2
2 2 2
2
2
BC
AB AC AI   . 
Bài tập 1 trong Ví dụ 2 là bài tập áp 
dụng tri thức học sinh vừa học là định 
nghĩa tích vô hướng của hai vectơ và điều 
kiện cần và đủ để hai vectơ khác 0 vuông 
góc với nhau. 
Bài tập 2 là bài tập củng cố các tri thức 
liên quan đến bình phương vô hướng của 
một vectơ, quy tắc trung điểm của một 
đoạn thẳng, bình phương vô hướng của 
một tổng, của một hiệu hai vectơ. 
+ Bài toán phức hợp: là những bài 
toán có đề bài chứa một số lượng thông tin 
rất lớn được mô tả trong một đoạn văn, có 
thể bao gồm một đồ thị hay một sơ đồĐể 
giải loại bài toán này, học sinh phải đi qua 
các giai đoạn trung gian. Các giai đoạn 
trung gian này không được nêu rõ trong đề 
bài dù chỉ là một chuỗi câu hỏi liên tiếp để 
dẫn dắt. Vì vậy học sinh phải chia bài toán 
thành những bài toán nhỏ hơn gọi là bài 
toán con tương ứng với từng giai đoạn và 
sử dụng nhiều khái niệm khác nhau để giải 
quyết các bài toán con đó. Dĩ nhiên các 
khái niệm được huy động cũng như kiểu 
lời giải của từng giai đoạn đã được học 
sinh biết đến. 
99 
Ví dụ 3: Một công ty xuất ba lô hàng 
mỗi lô nặng 300kg để trang bị cho một 
trường học. 
Lô thứ nhất gồm 15 cái bàn và 30 cái 
ghế. 
Lô thứ hai gồm 25 cái bàn. 
Lô thứ ba gồm 10 cái bàn, 20 cái ghế 
và 5 cái tủ. 
Hỏi mỗi cái bàn, mỗi cái ghế, mỗi cái 
tủ nặng bao nhiêu kg? 
Để giải bài toán trên, học sinh phải 
thiết lập được một hệ gồm ba phương trình 
bậc nhất có ba ẩn x, y, z lần lượt là khối 
lượng của một cái bàn, một cái ghế và một 
cái tủ và mỗi phương trình tương ứng với 
một lô hàng. Để giải hệ phương trình thiết 
lập được, học sinh có thể sử dụng phương 
pháp thế hay phương pháp cộng (nếu máy 
tính bỏ túi không được phép). 
+ Bài toán nghiên cứu (bài toán mở): 
là bài toán tập trung phát triển khả năng 
hoạt động nghiên cứu của người học, đề 
xuất với người học các tình huống mới và 
đặt họ vào tình huống nghiên cứu, sáng tạo 
ra một phương pháp, một quy trình để giải 
bài toán đó. Bài toán mở luôn có thể giải 
quyết được bằng nhiều cách khác nhau hay 
bằng nhiều trình tự khác nhau. Hoạt động 
nghiên cứu được học sinh thiết kế là chính 
yếu. Người giáo viên quan tâm đến quy 
trình được học sinh chọn lựa, sáng tạo ra 
nhiều hơn là quan tâm đến nghiệm của bài 
toán tìm được. 
Bài toán mở có thể tập trung vào một 
hay nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học 
như số học, hình học, logic, đo đạc 
Hoạt động giải bài toán mở diễn ra qua 
nhiều pha. Học sinh sắp xếp thời gian cho 
hoạt động nghiên cứu cá nhân rồi sau đó 
cho hoạt động nghiên cứu của nhóm. 
Những trao đổi bên trong nhóm cho phép 
học sinh tiến lên trong hoạt động tìm kiến 
một trình tự cho phép giải được bài toán. 
Với một bài toán mở, học sinh có thể 
gọi là đi vào con đường thực nghiệm (thử, 
dự đoán), cho phép một sự vận hành qua 
lại giữa lý thuyết và thực hành. Con đường 
thực nghiệm này có thể góp phần trả lại 
nghĩa của các nội dung toán học. 
Nhóm nghiên cứu của Viện nghiên cứu 
giảng dạy Toán ở Lyon, Pháp đưa ra định 
nghĩa sau: 
“Bài toán mở là bài toán có các đặc 
tính sau: 
- Đề bài ngắn. 
- Đề bài không quy kết phương pháp 
giải cũng như lời giải (không có các câu 
hỏi trung gian cũng như câu hỏi dạng 
“chứng minh rằng”). Không có trường hợp 
nào lời giải quy về việc sử dụng hay áp 
dụng ngay các kết quả vừa được dạy. 
- Bài toán nằm trong trường quan 
niệm mà học sinh khá quen thuộc. Vì thế, học 
sinh có thể dễ dàng “làm chủ” tình huống và 
tham gia vào các phép thử, dự đoán, dự án 
giải quyết, phản ví dụ.” [1, tr. 20] 
Ví dụ 4: Bài toán xây tháp 
Sử dụng các lá bài xây tháp như ba 
hình dưới đây. Hỏi cần bao nhiêu lá bài để 
xây tháp 5 tầng, 12 tầng, 100 tầng và n 
tầng? 
100 
Bài toán trong Ví dụ 4 nhằm mục đích 
đưa học sinh vào hoạt động nghiên cứu, 
tìm tòi công thức tổng quát cho phép tính 
số lượng lá bài cần sử dụng theo số tầng n 
của tháp. Hoạt động này trãi qua các pha: 
pha tìm tòi nghiên cứu cá nhân và của 
nhóm nhóm, pha đánh giá hoạt động của 
từng nhóm, pha thể chế hóa quy trình và 
kết quả tìm được của từng nhóm. Bài toán 
này được thiết kế cho học sinh lớp 11 sau 
khi các em học khái niệm dãy số. 
Sau nhiều phép thử, dự đoán, làm việc 
cá nhân rồi theo nhóm, học sinh có thể tìm 
thấy hệ thức liên hệ giữa số bài cần sử 
dụng cho n và n+1 tầng như sau: 
1 3 2n nu u n    , 
trong đó nu chỉ số lá bài cần sử dụng 
để xây n tầng. Từ đó, học sinh đi đến công 
thức tính số lá bài cần sử dụng như sau: 
2
3
2
n
n n
u

 , 
trong đó nu chỉ số lượng lá bài cần sử 
dụng và n chỉ số tầng của tháp. 
+ Bài toán giúp xây dựng kiến thức 
mới (bài toán tình huống): là bài toán nhắm 
đến việc xây dựng một kiến thức mới. 
Trong bài toán tình huống, học sinh sẽ trải 
qua các pha nghiên cứu như trong bài toán 
mở, nhưng mục tiêu của người thầy ở đây 
là xây dựng một khái niệm mới, một quy 
tắc mới, một định lý mớiBài toán tình 
huống cho phép học sinh nhận thức rằng 
các kiến thức hiện tại của họ sai lầm hay 
không đầy đủ và bằng phản ứng đẩy họ đến 
việc tự xây dựng các khái niệm cho chính 
mình để giải quyết bài toán đặt ra. 
Bài toán tình huống là một tình huống 
học sinh đối mặt với một vấn đề mà học 
sinh thử giải quyết bằng các biểu tượng ban 
đầu của mình. Các biểu tượng ban đầu này 
là một chướng ngại cho việc học tập một tri 
thức mới do người thầy nhắm đến. Sự sai 
lầm không còn phù hợp hay không đầy đủ 
của các biểu tượng đó sẽ đẩy học sinh đến 
việc tìm tòi, sáng tạo ra một quy tắc mới, 
một trình tự mới để giải quyết bài toán. 
Lưu ý rằng một bài toán tình huống có 
thể được cho trong tất cả các lĩnh vực toán 
học: đại số, hình học, đồ thị, số học 
Ví dụ 5: Cho hai bài toán sau: 
Bài toán 1: Một người bán hoa có 45 
hoa hồng và 30 hoa tulip để làm thành các 
bó hoa sao cho mỗi bó có số hoa hồng như 
nhau và số hoa tulip như nhau. 
1/ Hỏi người bán hoa có bao nhiêu 
cách thực hiện để sử dụng hết số hoa đó. 
2/ Trong tất cả cách thực hiện nói trên, 
cách nào cho phép nhận được nhiều bó hoa 
nhất? 
101 
Bài toán 2: Hai tập đoàn kiến lên đường 
đánh nhau với kẻ thù chung là mối. Tập đoàn 
kiến đỏ gửi 378 chiến binh và tập đoàn kiến 
đen gửi 630 chiến binh để tổ chức thành các 
nhóm có đội hình đồng nhất (trong mỗi 
nhóm có cùng số kiến đỏ và có cùng số kiến 
đen). Hỏi tổ chức nhóm như thế nào để thành 
lập được nhiều đại đội nhất? 
Hai bài toán tình huống trong Ví dụ 5 
nhằm mục đích giúp học sinh khám phá ra 
kiến thức mới: tìm ước chung lớn nhất của 
hai số nguyên. Bài toán được đặt ra trong 
bối cảnh học sinh chỉ biết tìm ước của một 
số nguyên nhỏ hơn 500. 
Đối với bài toán 1, học sinh có thể tìm 
ra lời giải nhanh chóng bằng cách thực 
hiện việc nghiên cứu tính toán bằng tay các 
ước chung của hai số như sau: 
Người bán hoa có thể làm 1 bó hoa 
gồm 45 hồng và 30 tulip 
Người bán hoa có thể làm 3 bó hoa 
gồm 15 hồng và 10 tulip 
Người bán hoa có thể làm 5 bó hoa 
gồm 9 hồng và 6 tulip 
Người bán hoa có thể làm 15 bó hoa 
gồm 3 hồng và 2 tulip. 
Đối với bài toán 2, cách giải quyết như 
trên sẽ ít hiệu quả và mất thời gian. Từ đó 
giáo viên đưa vào khái niệm ước số chung 
lớn nhất của hai số nguyên và algorit tìm 
ước chung lớn nhất đó như sau: 
(630;378) (378;252)UCLN UCLN 
(252;126)UCLN 
(126;126)UCLN 
126 . 
Vậy có thể tổ chức thành 126 nhóm 
chiến binh trong đó mỗi nhóm gồm 3 chú 
kiến đỏ và 5 chú kiến đen. 
6. KẾT LUẬN 
Phương pháp dạy học tích cực môn 
Toán theo phương châm lấy người học làm 
trung tâm đòi hỏi người giáo viên phải thiết 
kế được kịch bản phù hợp để đạt được các 
mục tiêu đặt ra của tiết dạy-học. Do đó 
việc thiết kế và lựa chọn đúng loại bài toán 
cho kịch bản là một trong những yếu tố 
quyết định sự thành công của tiết dạy-học. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. ARSAC G., MANTE M. (2007), Les pratiques du problème ouvert, Lyon : Scéren 
CRDP de Lyon, 
2. BRUNER J. (1986), Actual Minds, Possible Worlds, Cambridge, MA: Harvard 
University Press. 
3. BRUN J. (1990), La résolution de problèmes arithmétiques : bilan et perspectives, 
Maths – écoles, no 141. 
4. CHARNAY R. (1992), Problème ouvert – problème pour cherher, Grand N, no 51. 
5. Gérard de Vecchi, Nicole Carmona – Magnaldi (2002), Faire vivre de véritables 
situations – problèmes, Hachette éducation. 
6. GOOD T. L., BROPHY J. E. (1990), Educational Psychology: A Realistic Approach, 
4th ed., White Plains, New York: Longman. 
102 
7. NEWELL A., SIMON H. A. (1972), Humain problem solving, Englewood Cliffs, N. 
J., Erlbaum. 
8. WATSON J. B. (1913), Psychology as the behaviorist views it, Psychological Review, 
n
0
 20. 
WEBSITES 
9. BOUKHSSIMI D. (2003), Le problème en mathématiques : utilité de classement, 
10. Raphael Gracia (2013), Béhaviorisme, Edu Tech Wiki fr, 
11. Gabriel Labédie, Guy Amossé (2006), Contructivisme ou socio – constructivisme ?, 
 * Ngày nhận bài : 20/6/2014. Biên tập xong: 30/7/2014. Duyệt đăng: 05/8/2014