Bài giảng Giải tích 1 - Chương 3: Tích phân suy rộng - Đặng Văn Vinh

x x


 
 
 nên I hội tụ
3
1
2
  
24 1t x 
4 2 1t x   34 2t dt xdx 
42 2
80 1
xdx
I
x x


 
  
3
4
9
2
1
t dt
t t



 2 2
9 91 1
dt dt
t t
 
 
  
9
9
1
ln arctan
1
t
t
t


 

8
ln arctan9
10 2
 
    
 
Ví dụ Chứng minh tích phân phân kỳ và tính giới hạn 
1
xe
I dx
x

  1lim
tx
xx
e
dt
t
e


1
1 ( ) ( )
xe
x f x g x
x x
    
1
( )g x dx

 FK nên I phân kỳ
Giới hạn có dạng vô định , dùng qui tắc Lôpital 


 
'
1
'lim
tx
xx
e
dt
t
e
 
 
 

lim
x
xx
e
x e


1
lim
x x
 0
1lim
tx
xx
e
dt
t
e

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 2
1
sin
ln 2
xdx
I
x x



Hội tụ. 2
sin
( )
ln 2
x
f x
x x

 2
1
( )
x
g x
x


Sai! vì f(x) có dấu tùy ý, không sử dụng so sánh được. 
Xét tích phân hàm không âm 
2
1
sin
ln 2
x
J dx
x x



Hội tụ. 2
sin
( )
ln 2
x
f x
x x

 2
1
( )
x
g x
x


Tích phân đã cho hội tụ tuyệt đối. 
2
1
ln 2x x


2
1
ln 2x x


Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 
1
sin xdx
I
x

 
Tích phân từng phần: 
2
11 1
sin cos cosx x x
I dx dx
x x x
 
    
2
1 1
u du dx
x x
   
sin cosdv xdx v x   
cos1
1
J 
Xét tích phân 
2
1
cos x
J dx
x

  2 2
cos 1x
x x
 hội tụ 
 hội tụ, suy ra hội tụ. IJ
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 
1
sin xdx
I
x

 
Xét tích phân hàm không âm 
1
sin x
J dx
x

 
2sin sin 1 cos2
2
x x x
x x x

 
1 1 1
1 cos2 cos2
2 2 2
x dx x
dx dx
x x x
  
    1 2I I 
1
1
2
dx
I
x

  phân kỳ 2
1
cos2
2
xdx
I
x

 
hội tụ (tương 
tự ví dụ trước) 
Tích phân đã cho hội tụ, nhưng không hội tụ tuyệt đối 
Chú ý: 
1) Với tích phân chỉ có một điểm suy rộng 
( )
a
f x dx

 khi tách ra có dạng vô định 
  
( ) ( )
a a
G x H x
 

vẫn chưa kết luận t/phân ban đầu phân kỳ. 
2) Với tích phân có hai điểm suy rộng 
( )f x dx


 khi tách ra thành tích phân ( ) ( )
a
a
f x dx f x dx


 
chỉ cần một trong hai tphân PK, thì tphân ban đầu PK. 
I. Tích phân suy rộng loại hai 
Định nghĩa 
Điểm x0 được gọi là điểm kỳ dị của đường cong y = f(x),
nếu 
0
lim ( )
x x
f x

 
Tích phân suy rộng 
loại hai của f(x) 
trên đoạn [a,b] 
( ) : lim ( )
b t
t ba a
f x dx f x dx

 
Giả sử trên đoạn [a,b] hàm y = f(x) có một điểm kỳ dị duy
nhất là x0 = b. 
I. Tích phân suy rộng loại hai 
Tích phân suy rộng 
loại hai của f(x) trên 
đoạn [a,b] 
( ) : lim ( )
b b
t aa t
f x dx f x dx

 
Giả sử trên đoạn [a,b] hàm y = f(x) có một điểm kỳ dị duy
nhất là x0 = a. 
I. Tích phân suy rộng loại hai 
Tích phân suy rộng loại 
hai của f(x) trên đoạn [a,b] 
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx   
Giả sử trên đoạn [a,b] hàm y = f(x) có một điểm kỳ dị duy
nhất là  ,c a b
lim ( ) lim ( )
t b
t c t ca t
f x dx f x dx
  
  
Tích phân vế trái là hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân 
vế phải hội tụ. 
I. Tích phân suy rộng loại hai 
Các khái niệm hội tụ, phân kỳ giống như trong tích phân
suy rộng loại một. 
Khái niệm hội tụ tuyệt đối cũng tương tự trong tích phân
suy rộng loại một: Hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. 
Tương tự tích phân suy rộng loại một: có hai tiêu chuẩn
so sánh cho tích phân hàm không âm. 
Tích phân tồn tại khi và chỉ khi tồn tại lim ( ) : ( )
t b
F t F b




( ) ( ) ( ) ( )
bb
a a
f x dx F x F b F a  
Tính tích phân suy rộng (công thức Newton – Leibnitz) 
( ) lim ( )
b b
t b
a a
f x dx f x dx

 
Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên  ,a b
 lim ( ) ( )
t b
F b F a

 
Cho x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất của f(x) trên [a,b] 
Tương tự cho trường hợp x0 = a là điểm kỳ dị. 
Ví dụ Tính tích phân 
4
2 2
dx
I
x



4
2 2
dx
I
x



 
4
1/ 2
2
( 2)
lim
2t t
d x
x


 

4
2
lim 2 2
tt
x

 
2
2 2 lim 2
t
t

  
Theo định nghĩa 
2 2
Theo công thức Newton – Leibnitz (gọn hơn) 
4
2 2
dx
I
x



4
2
2 2x   2 4 2 2 2    2 2
Ví dụ Tích phân 
3
0 1
dx
I
x


3
0 1
dx
I
x


3
0
ln | 1|x 
Sai! vì có điểm kỳ dị x = 1 trong đoạn [0,3]. 
ln 2 ln1 ln 2  
1 3
0 11 1
dx dx
I
x x
 
  
1
1
1 0
lim
1t
dx
I
x
 

 
1
lim ln | 1|
t
t

 
1 2I I 
Xét tích phân  
Vậy tích phân phân kỳ. 1I
Suy ra tích phân đã cho phân kỳ 
Ví dụ Tính tích phân 
1
0 (2 ) 1
dx
I
x x

 

Đặt 1 x t  21 x t   2dx tdt  
Đổi cận: 0 1x t   1 0x t  
1
0 (2 ) 1
dx
I
x x

 
  
0
2
1
2
1
tdt
t t

 

1
2
0
2
1
dt
t
 

1
0
2arctanI t  2 arctan1 arctan 0 
2


Tích phân hàm không âm 
 và khả tích trên   ( ) 0, ( ) 0x a f x g x     ,a b
( ) ( )f x g x ở lân cận của trái của .b Khi đó: 
1) Nếu hội tụ, thì hội tụ. ( )
b
a
g x dx ( )
b
a
f x dx
2) Nếu phân kỳ, thì phân kỳ. ( )
b
a
f x dx ( )
b
a
g x dx
Tiêu chuẩn so sánh 1. 
Trường hợp x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất. 
Tương tự cho trường hợp x0 = a là điểm kỳ dị duy nhất. 
Tích phân hàm không âm 
 và khả tích trên   ( ) 0, ( ) 0x a f x g x     ,a b
( )
lim
( )x b
f x
K
g x
 Khi đó: 
nếu hội tụ, thì hội tụ. ( )
b
a
g x dx ( )
b
a
f x dx
 và cùng HT hoặc cùng PK. ( )
b
a
f x dx ( )
b
a
g x dx
Tiêu chuẩn so sánh 2. (x0 = b là điểm kỳ dị duy nhất) 
1) :0 K 
2) :0 höõu haïn, K 
nếu hội tụ, thì hội tụ. ( )
b
a
f x dx ( )
b
a
g x dx3) : K  
Kết quả (được sử dụng để khảo sát sự hội tụ) 
 
11
1
phaân kyø, neáu 
hoäi tuï, neáu 
b
a
dx
x a




 
 

 
11
1
phaân kyø, neáu 
hoäi tuï, neáu 
b
a
dx
b x




 
 

Chú ý: Kết luận ngược lại so với tích phân loại một! 
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 
2
2
1 1
dx
I
x



Ta có 
 
1
1/ 2
1 1
( )
( 1)( 1) 2 1
x
f x
x x x


  

Chọn 
 
1/ 2
1
( )
1
g x
x


( ) 1
lim
( ) 2x
f x
g x
  hữu hạn, 
khác 0. 
Tích phân và cùng hội tụ hay phân kỳ
2
1
( )f x dx
2
1
( )g x dx
Vì hội tụ ( ), nên tích phân I hội tụ. 
2
1
( )g x dx
1
1
2
  
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 
 5 31
0
ln 1
1x
x dx
I
e



 5 3 3/50
2 / 5
ln 1 1
( )
1 ( 0)
x
x
x x
f x
xe x

 
 
 hội tụ vì 
1
1
2
  
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 
3 3
2
0
2
9
x dx
I
x



 
32
( )
3 (3 )
x
f x
x x

 
hội tụ vì 
1
1
2
  
3
1/ 2
18
( 3)
x
x



Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 
1 3
0
5
tan
x x
I dx
x x



3 1/ 20
3 5/ 2
5 3
tan / 3 ( 0)
xx x x
x x x x


 
 phân kỳ vì 
5
1
2
  
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 
4
0 2
dx
I
x



1
( )
2
f x
x


phân kỳ vì 1 
4
1
4
( 4)
x
x



3
3tan ( )
3
x
x x x x x    
3
3( )
3
x
x 
2
4
x
x



Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 
2
2
0
sin xdx
I
x

 
Ta có 
2
2 2
sin 1
( )
x
g x
x x
 
Vì HT , nên I1 HT, suy ra I HT. 
1
( )g x dx


1 2 2
1 22 2
0 1
sin sinxdx xdx
I I I
x x

    
I1 không là tích phân suy rộng 
mà là tích phân xác định nên HT 
2
20
sin
lim 1
x
x
x

Tính các tích phân sau 
3
1
1) 
( 1)( 2)
dx
x x


 
2
1
2) 
( 1)( 2)( 3)
dx
x x x


  
2
3
(5 3)
3) 
( 2)(3 2 1)
x
dx
x x x
 

  
2
3
2
( 1)
4) 
( 1)
x
dx
x x
 


 
2 3
2
5) 
1 ( 1)
dx
x x


 
1 ln 2
2
ln 2
3
1 2
ln5 ln 2
4 3
 
11 1
ln 2 ln3
5 5

3 17
ln 2
16 128
 
2
0
1
6) 
2
dx
x x


 
2
1
3
7) 
( 1)
x
dx
x x x
 

 
2
6
0
8) 
1
x
dx
x



2
0
9) 
4 4 5
dx
x x


 
0
10) 
x x
dx
e e

 
arctan 2
4
2 7
arctan 7
7
3 3
ln3
2 18


6

4

01
11) 
x x
dx
e e



2
1
1
12) 
(ln 1)
dx
x x



2
0
1
13) 
cosh ( )
dx
x


2
0
14) xxe dx



6
1
15) 
( 3)
dx
x x



1
4
2 2ln 2
2

1
ln 2
9
4
0
16) 
1x
dx
e



0
2
17) 
4 1
x
x
dx



0
18) 
1x
dx
e



2 2
2
19) 
1
dx
x x



1
20) 
sinh
dx
x


1

1
ln
1
e
e
 
 
 
4ln 2

ln 2
4
31
21) xe dx



2
22) 
lne
dx
x x


0
23) 
2x
xdx

1
24) 
(1 )
dx
x x



3
2
25) 
1
xdx
x



2

2
1
3e
1
2
1
ln 2
ln 7 1 5
arctan
6 23 3
 
  
 
 
2
20
26) 
1
dx
x x


 
2
0
27) cos3xe xdx



2 3
28) 
( 1)
dx
x x



 
2 2
0
29) 
(4 1) 1
dx
x x


 
 
2
221
12
30) 
1
x
dx
x
 


3
9

2
3
3
13
4
3 3

13
4

 
2
1
31) 
2 3
dx
x



3/ 2
2
32) 
( 3)
dx
x



32
0
33) xx e dx



3
1
ln
34) 
xdx
x


 
5
1
1
35) 
1
dx
x



1
4
1
10
2 5
5
1
3
1
64
 331
5 3
0
2
36) 
x x dx
x
 

1
2
1
37) 
(4 ) 1
dx
x x

 
42
2 2
2
38) 
(1 ) 4
x dx
x x

 
2
1
39) 
1
dx
x x


2
2
1
40) 
1
dx
x x


2

625
187
15

5
5


3

3/
1
1
1) ln 1 , 0
xe
dx 

  
   
 
0
arctan3
2) 
(2 )
x
dx
x 



1 
Tìm tất cả các giá trị để chuỗi hội tụ 
không tồn tại 
2
1
1
3) 
2
dx
x x



1
4) 
x
x
dx
e x



1
1
5) 
2
dx
x x





1 
 1
0
ln 1
6) 
1x
x
dx
e




 4 2 50
7) 
ln(1 )
dx
x x x 


 
3
7 5
1
( 1)
8) 
1
x
dx
x x
 

 
 31
9) 
sin
dx
x x x



1
0
1
10) 
cosh cos
xe x
dx
x x
  


3
2
 
3 1
5 5

 
 
5
6
 
2  
1
2
 