Tính điều khiển được xấp xỉ đối với hệ tuyến tính tổng quát mô tả bởi bài toán tử khả nghịch phải

có 
  M NM N M N M N M NI Q X X R X Z

       , do đó tồn tại các tập M NE X  và 
M NE Z  sao cho ( )
M N
M NR E Z I Q X

   . 
Từ đó 
   ( )M N M N M NT R E Z T I Q X X      , 
(Bởi vì T là toán tử nghịch đảo của I+Q). 
Theo kết quả trên và do F1 là toán tử ban đầu của D
M+N suy ra 
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 18. 2014 
48 
 
 
1 1
1
.
M N
M N M N
M N
M N M N
M N
Z F X FT R E Z
FT R X Z
Z

 

 

  
 

Điều này chứng tỏ (22) đúng. 
Giả sử hệ tuyến tính (GLS)0 là F1- điều khiển đƣợc xấp xỉ tới mọi phần tử 
'
1 ,
M N
M Ny FTR y y X

  , tức là đối với tùy ý NMXy  và 0 , tồn tại điều khiển 
Uu 0 sao cho 
  01 0 1
2
M N M NFT R Bu x FTR y
    . 
Suy ra 
  0 2 21 0 1
2
M N M NFT R Bu x x FTR y x
      , (23) 
ở đây 2
M Nx Z  là phần tử tùy ý. 
Bởi (22), đối với mọi 1
M Nx Z  , tồn tại NMXy 1 và .
0
NMZz  thỏa mãn 
  1 01 1M Nx FT R y z  . 
Điều này và (23) cho ta, đối với mọi 1
M Nx Z  và với tùy ý 0 , tồn tại 
0
M Nz Z  và 
'
0u U : 
  ' 0 0 11 0
2
M NFT R Bu x z x
     . (24) 
Hơn nữa, do 
10
M N
M NFTR X

 và giả thiết của định lý kéo theo (GLS)0 là F1- điều 
khiển đƣợc xấp xỉ tới 0, nghĩa là 
 0
0
1 ,
0 ( ), M NU xF Rang H x Z    . 
Do đó, với mỗi phần tử 0
M Nz Z  tồn tại 1u U thỏa mãn 
  01 1
2
M NFT R Bu z
   . (25) 
Từ (24) và (25) kéo theo, đối với mọi 0 1, M Nx x Z  và tùy ý 0 tồn tại 
Uuuu  1
'
0 sao cho 
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 18. 2014 
49 
   
   
   
0 1 ' 0 1
1 1 0 1
' 0 0 1 0
1 0 1 1
' 0 0 1 0
1 0 1 1
2 2
M N M N
M N M N
M N M N
FT R Bu x x FT R B u u x x
FT R Bu x z x FT R Bu z
FT R Bu x z x FT R Bu z
 

 
 
 
      
 
     
     
  
Do sự tùy ý của 0 1, M Nx x Z  và 0 ta có điều chứng minh 
  01 , M NU xF Rang H Z  . 
Định lý 2.5. Cho hệ (GLS)0 và toán tử ban đầu tùy ý 1 M NDF F  L (X) của D
M+N. 
Khi đó hệ (GLS)0 là F1-đạt được xấp xỉ từ 0 nếu và chỉ nếu 
  * * * *1 0 0
M N
B R T F h h

   . (26) 
Chứng minh. Giả sử hệ tuyến tính (GLS)0 là F1- đạt đƣợc xấp xỉ từ 0, ta có 
1 ,0( )U M NF Rang H Z  . Điều này có nghĩa là 
1
M N
M NFTR BU Z

 . (27) 
Theo Định lý 1.3 điều kiện (27) tƣơng đƣơng với nếu *
M Nh Z  (ở đây 
*
M NZ  là 
không gian liên hợp của M NZ  ) sao cho 
 1, 0, 0
M Nh x x FTR BU h     . (28) 
Bởi vì 
1
M NFTR BU là không gian con của M NZ  , do đó điều kiện (28) thỏa mãn khi 
và chỉ khi 
 1, 0, 0
M Nh x x FTR BU h     , 
tƣơng đƣơng với 
 1, , 0
M Nh FTR Bu u U h     . 
hay 
  * * * *1 , 0, 0
M N
B R T F h u u U h

     . (29) 
Do đó, từ điều kiện (29) suy ra 
  * * * *1 , 0 0
M N
B R T F h h

   . 
Ngƣợc lại, nếu (26) thỏa mãn thì (29) đúng, kéo theo (27) đúng và do đó 
  1 ,0U M NF Rang H Z  . 
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 18. 2014 
50 
Định lý 2.6. Giả sử X,U là các không gian Hilbert. Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến 
tính (GLS)0 là F1 -điều khiển được là tồn tại số thực 0 sao cho 
  * * * * *1 ,
M N
M NB R T F f f f Z

   . (30) 
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử hệ (GLS)0 là F1 - điều khiển đƣợc, khi đó 
   NMNMxU ZxZHRangF   0,1 ,0 . 
Suy ra 
1
M N
M NFTR BU Z

 . Theo Định lý 1.2, tồn tại số thực 0 sao cho 
   *1 * ,M N M NFTR B f f f Z    , 
nghĩa là điều kiện (30) đúng. 
Điều kiện đủ. Giả sử rằng (30) thỏa mãn, khi đó theo Định lý 1.2, ta có 
1
M N
M NFTR BU Z

 . 
Hơn nữa, 
1
M N
M NFTR BU Z

 (bởi vì F1 là toán tử ban đầu của D
M+N). Từ hai hàm 
thức trên suy ra 
1
M N
M NFTR BU Z

 . Do đó, ta có 
  0 01 , ,M N M NU xF Rang H Z x Z    . 
Định lý đã đƣợc chứng minh. 
Định lý 2.7. Giả sử X, U là các không gian Hilbert. Hệ tuyến tính tổng quát (GLS)0 là 
F1-điều khiển được tới 0 nếu và chỉ nếu tồn tại 0 sao cho 
  * * * * *1 ,
M N
M NB R T F f f f Z

   . (31) 
Chứng minh. Chứng minh tƣơng tự nhƣ chứng minh Định lý 2.6. 
Ví dụ. Cho  CX là không gian các hàm liên tục trên miền    .1,01,0  . 
Đặt      XxsxstFxR
t
D
t



  ,,0:,,:,:
0
. Nhận thấy rằng 
    1,0,:{ 10 CstxXxdomD  , với mỗi  1,00 s cố định}, 
       0ker : , , 0,1D x X x t s s C     , 
 XdomR  , 
toán tử D khả nghịch phải, R là nghịch đảo của D, F là toán tử ban đầu của D tƣơng 
ứng với 
DRR . Ký hiệu :
k
kX domD và  NkDZ
k
k  ker: . 
Xét hệ điều khiển tuyến tính 
      '0 1 0 2, , ,
N KD P D I P D I F R P D I x Bu      , (32) 
Cùng với điều kiện ban đầu 
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 18. 2014 
51 
 1, , 0,1,..., 1
j
j jFD x x x Z j N    , (33) 
ở đây '0 NDF F là toán tử ban đầu của 
ND tƣơng ứng với , ,
NR U X B  L0 (X), các số 
 0\, 0 NNKN  và 
    
1
0
, : , 0,1,2 .
N
i N i
i ni
i
P t s a t s a R  



   
(34) 
Đặt 
     
   .,,:
,:
,,,,:
20
'
0
2
'
0100
RIPRRIPQ
QRQ
IDPRFIDPIDPQ
K
N
K



Bởi R là toán tử Volterra suy ra toán tử giải 
'QI  khả nghịch. Hơn nữa, ta có 
NRQQ 0
'  ,do đó toán tử giải QI  khả nghịch và nghịch đảo của nó đƣợc xác định bởi 
    
11 '
0
NI Q I R I Q Q

    (35) 
Bởi vì (32) tƣơng đƣơng với 
  BuxQRID NN  0 . 
Do đó, hệ (32)-(33) có thể viết lại ở dạng 
   Nj
N
j
jN ZxRxxBuRxQI  


1
0
00 , . (36) 
Đồng nhất (35) kéo theo QI L0  NX và   NN XXQI 
1
. Do đó, phƣơng 
trình (36) có nghiệm đối với mọi Uu . Điều này nghĩa là điều kiện (7) đƣợc thỏa mãn. Vì 
vậy đối với mọi đầu vào cố định   UZux N ,0 , bài toán (32)-(33) có nghiệm duy nhất 
    
1
'
0
N N
Nx I R I Q Q R Bu x X
     
  
. (37) 
Do đó, mọi trạng thái     
1
' 0
0
N Nx I R I Q Q R BU x
    
  
 đạt đƣợc từ 
0
Nx Z . 
Lấy 
1 2, NDF F F là các toán tử ban đầu của 
ND xác định nhƣ sau 
1
1 1 2 1,
N N N NF I R D F I R R D     trên dom ND , 
ở đây  
1
1 1 1: , 0,1 , 0
t
t
R t t   . 
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 18. 2014 
52 
Hoàn toàn chứng minh đƣợc 
N
N ZXRF 1 , N
N ZXRF 2 , do đó, với mọi B L0 
(X), ta có 
     
.
0
1'
20
1'
2
N
NNNN
Z
BXRQQIIRFBURQQIRIF



Điều này chứng tỏ    * * * *2ker 0
N
B R T F  , trong đó  
1
'
0
NT I R I Q Q

   . Nhƣ 
vậy hệ đã cho (32)-(33) không phải là 
2F đạt đƣợc xấp xỉ từ 0 . 
Nếu lấy IB  . Do toán tử  
1
'
0
NI R I Q Q

  khả nghịch, suy ra toán tử 
 
1
'
0
NI I Q Q R

  khả nghịch, từ đó nhận đƣợc  
1
'
0
NI I Q Q R X X
   
  
. Điều này 
suy ra 
 
 
1 1
1
'
1 0
1
'
1 0
1 .
N N
N N
N N
N
N
FTR BU FTR BX
F I R I Q Q R X
F R I I Q Q R X
F R X Z



   
  
   
  
 
Do đó,    * * * *1ker 0
N
B R T F  , theo Định lý 2.5,hệ tuyến tính (32) - (33) là 1F -đạt 
đƣợc xấp xỉ từ 0 . 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] A. V. Balakrishnan (1976), Applied Functionsl Analysis, Spinger– Verlag, New 
York- Heideberg-Berlin. 
[2] A.D.Ioffe, V. M. Tihomirov (1979), Theory of Extrenmal Problems, North-Holland 
Pub-lishing Company, Amsterdam- New York –Oxford. 
[3] Nguyen Van Mau (1990), Controllability of general linear systems with right 
invertible operaters, prepprint No 472, Institute of Mathematics, Polish Acad. Sci, 
Warszawa. 
[4] Nguyen Van Mau (1992), Boundary value problems and controllability of linear 
sys-right invertible operators, Dissertationes Math., CCCXVI, Warszawa. 
[5] A. Pogorzelec (1983), Solvability and controllability of ill- determined systems with 
right invertible operators, Ph.D.diss., Institute of mathematics, Technical 
Universsity of War-saw, warszawa. 
[6] D.Przeworska – Rolewicz (1988), Algebraic Analysis, PWN and Reidel, Warszawa 
–Dordrecht. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 18. 2014 
53 
[7] D.Przeworska – Rolewicz and S. Rolewicz(1986), Equations in Linear Spaces, 
Monografie Math. 47, PWN, Warszawa. 
[8] Nguyen Dinh Quyet (1977), Controllability and obervability of linear systems 
described by the right invertible operators in linear space, Preprint No. 113, 
Institute of Mathematics , Polish Acad. 
[9] Nguyen Dinh Quyet (1978), On Linear Systems Described by Right Invertible 
Operators Acting in a Linear Space, Control and Cybernetics, vol.7, 33-45. 
[10] Nguyen Dinh Quyet (1981) , On the F1- controllability of the system described by 
the right invertible operators in linear spaces, Methods of mathemmatical 
Programming, System Research Institute, Polish Acad. Sci., PWN-, Polish 
Scientific Publisher, Warszawa, 223-226. 
[11] Nguyen Dinh Quyet, Hoang Van Thi (2002), The Controllability of Degenerate 
System Described by Right Invertibe Operators, VNU.Joural of Science, 
Mathematics-Physics, Viet Nam National Uniiversity, HaNoi, T.XVIII, No 3,37-48. 
[12] S.Rolewicz (1987), Functional Analysis and Control Theory, Polish Sci. 
Publication, Warzawa. 
[13] W. Rudin (1973), Functional Analysis, Mc Graw- Hill, Inc., New York. 
[14] Hoang Van Thi (2005), Degenerate Systems Described by Generalezed Invertible 
Operators and Controllablility, Demonstratio Mathematica, vol.38, No 2, 419-430. 
[15] J. Zabczyk (1992), Mathematical Control Theory, Birkhauser, Boston-Basel-Berlin. 
THE APPROXIMATE CONTROLLABILITY FOR THE GENERAL 
NINEAR SYSTEM DESCRIBED BY RIGHT INVERTIBLE 
OPERATORS 
Thieu Minh Tu, Hoang Van Thi 
ABSTRACT 
This paper is to deals with the approximate controllability for the general linear 
systems described by right invertible operators in Banach spaces. Necessary and sufficient 
conditions for controllability of the general linear systems are given.