Signal & Systems - Lecture 14 - Trần Quang Việt

- Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.3. Bộ lọc Butterworth
Coefficients of Butterworth Polynominal Bn(s)=sn+an-1sn-1++a1s+1
n 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a
5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.3. Bộ lọc Butterworth
Butterworth Polynominal in Factorized Form
n ( )nB s
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.3. Bộ lọc Butterworth
 Xác định hàm truyền H(s) của bộ lọc:
( )sH / cs s ω← ( )H s
Thiết kế bộ lọc Butterworth bậc 2 với ωc=10
2
1( )
2 1
s
s s
=
+ +
H ( ) ( )2s s10 10
1H(s)=
+ 2 +1
/ cs s ω←
2
100H(s)=
s +10 2s+100
⇒
6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.3. Bộ lọc Butterworth
 Xác định bậc n của bộ lọc và ωc theo các yêu cầu thiết kế:
 Độ lợi (dB) tại tần số ωx: ( )21 010 log 1 xc nxG ωω = − +  
 Độ lợi (dB) tại tần số ωp: ( )21 01 0 log 1 0pc npG ωω ≤ − + ≤  
 Độ lợi (dB) tại tần số ωs: ( )2100 10 log 1 sc nsG ωω ≥ ≥ − +  
( )2 / 1 01 0 1s s
c
n Gω
ω
−≥ −
( )2 /1010 1p p
c
n Gω
ω
−≤ −
⇒ ( ) /102 /1010 110 1
s
s
p p
Gn
G
ω
ω
−
−
−≥
−
⇒
/10/10log (10 1) /(10 1)
2 log ( / )
ps GG
s p
n
ω ω
−
− 
− − ≥⇒
/10 1 / 2(10 1)p
p
c G n
ω
ω
−
≥
−
/10 1/ 2(10 1)s
s
c G n
ω
ω
−
≤
−
⇒
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.3. Bộ lọc Butterworth
 Các bước thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth:
Ví dụ: Thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth thỏa mãn các yêu cầu
sau: Độ lợi dãi thông (0≤ω<10) không nhỏ hơn -2dB; độ lợi dãi
chắn (ω≥20) không vượt quá -20dB
 Bước 1: Xác định
 Bước 2: Xác định ωc:
/10/10log (10 1) /(10 1)
2 log ( / )
ps GG
s p
n
ω ω
−
− 
− − ≥
/10 1 / 2(10 1)p
p
c G n
ω
ω
−
≥
−
/10 1/ 2(10 1)s
s
c G n
ω
ω
−
≤
−
và
 Bước 3: Xác định H(s): dùng n (bước 1) tra bảng (hoặc tính) 
 Bước 4: Xác định H(s): ( )sH / cs s ω← ( )H s
7Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.3. Bộ lọc Butterworth
 Bước 1:
 Bước 2:
2 0 .2lo g (1 0 1) / (1 0 1)
3 .7 0 1
2 lo g 2
n
 − − ≥ =
0 .2 1 / 8
1 0 1 0 .6 9 4(1 0 1)cω ≥ =−
 Bước 3:
 Bước 4:

 chọn n=4 
2 1 / 8
2 0 1 1 .2 6(1 0 1)cω ≤ =−

 chọn ωc=11
( ) ( )81010 1110 log 1 1 .66 2p designG dB dB = − + = − > − 
( ) ( )8201 0 1110 log 1 20 .8 20s d esignG dB dB = − + = − < − 
2 2
1( ) ( 0 .76536686 1)( 1.84775907 1)s s s s s= + + + +H
( ) ( ) ( ) ( )2 211 11 11 11
1( )
[ 0.76536686 1][ 1.84775907 1]s s s s
H s =
+ + + +
2 2
14641( ) ( 8.41903546 121)( 20.32534977 121)H s s s s s= + + + +⇒
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
 Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp Chebyshev:
2 2
1| ( ) |
1 ( )
cn
H j
C ωω
ω
ε
=
+
 Trong thiết kế, ta dùng đáp ứng chuẩn hóa (ωc=1):
2 2
1| ( ) |
1 ( )n
j
C
ω
ε ω
=
+
H
 Vậy khi có H(s) 
 H(s) bằng cách: 
( )sH / cs s ω← ( )H s
8Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
 Xét đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp chuẩn hóa Chebyshev :
2 2
1| ( ) |
1 ( )n
j
C
ω
ε ω
=
+
H
( )1( ) cos cosnC nω ω−= ; | | 1ω <
( )1( ) cosh coshnC nω ω−= ; | | 1ω >
Cn(ω) là một đa thức thỏa tính chất sau:
1 2( ) 2 ( ) ( ) ; 2n n nC C C nω ω ω ω− −= − ≥
0 ( ) 1C ω =Có: và 1 ( )C ω ω= 22 ( ) 2 1C ω ω⇒ = −
Một cách tương tự ta có thể tính được bảng Cn(ω)!!!
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
n ( )nC ω
Chebyshev Polyminals
9Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
 Đáp ứng biên độ bộ lọc Chebyshev:
2 2
1| ( ) |
1 ( )n
j
C
ω
ε ω
=
+
H
2
1010 log (1 )r ε= +
-r ↔Gp (Butterworth)
p cω ω≡
Độ gợn r (Độ lơi max/Độ lơi min) trong dãi thông:
(dB)
(dB)
Pass-band Pass-band
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
 Xác định ε và bậc(n) của bộ lọc Chebyshev thỏa yêu cầu thiết kế:
 Độ lợi tại tần số ω: 2 2101 0 lo g [1 ( )]pnG C ωωε= − +
 Độ lợi tại tần số ωs:
2 2
1 01 0 lo g [1 ( )]spnC
ω
ωε− +
⇒ ( ) 1 / 2/ 1 01 / 1 01 0 1c o s h c o s h 1 0 1
s
s
p
G
r
n
ω
ω
−
−
 
−  ≥   
− 
( )
1 / 2/ 1 0
1
/ 1 01
1 1 0 1
c o s h
1 0 1c o s h /
sG
r
s p
n
ω ω
−
−
−
 
−≥  
− 
⇒
( ) 21010 log (1 )designr rε= + ≤ ⇒ Xác định ε:
sG≤ 0≤
/1010 1rε ≤ −
/ 1 0
1
1 0 1
co sh [ co sh ( / )]
sG
s pn
ε
ω ω
−
−
−≥⇒
10
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
1
( 2 1) ( 2 1)
s in s in h c os c o sh
2 2
1, 2 , 3, ...,
1 1
s in h
k
k k
s x j x
n n
k n
x
n
pi pi
ε
−
− −
= − +
=
 
=  
 
 Xác định hàm truyền H(s) của bộ lọc:
Người ta tính được các poles của H(s) như sau: 
600
600
600
600
Re
Im
s in h ; c o sha x b x= =
H(s) H(-s)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
' 1
1 1 0
( ) ( ) ...
n n
n n
n n
K K
s
C s s a s a s a−
−
= =
+ + + +
H
1 2
( ) ( )( )...( )
n
n
K
s
s s s s s s
=
− − −
H⇒
⇒
Kn được lựa chọn để bảo đảm độ lợi DC: 
0
2
0
1
an
a n odd
K
n even
ε+

= 

Để việc thiết kế được đơn giản, người ta thành lập bảng C’n(s) 
hoặc giá trị của các poles với một số độ gợn r thường gặp 

Tra bảng!!!
11
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
0.5 dB ripple
0.5r dB=
1 dB ripple
1r dB=
Chebyshev Filter Coefficients of the Denominator Polynominal
' 1 2
1 2 1 0...
n n n
n n n
C s a s a s a s a− −
− −
= + + + + +
n 0a 1a 2a 3a 4a 5a 6a
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
2 dB ripple
2r dB=
3 dB ripple
3r dB=
Chebyshev Filter Coefficients of the Denominator Polynominal
' 1 2
1 2 1 0...
n n n
n n n
C s a s a s a s a− −
− −
= + + + + +
n 0a 1a 2a 3a 4a 5a 6a
12
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
Chebyshev Filter Poles Locations 
n 0.5r dB= 1r dB= 2r dB= 3r dB=
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
Chebyshev Filter Poles Locations 
n 0.5r dB= 1r dB= 2r dB= 3r dB=
13
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
 Các bước thiết kế bộ lọc thông thấp Chebyshev:
Ví dụ: Thiết kế bộ lọc thông thấp Chebyshev thỏa mãn các yêu cầu
sau: r trong dãi thông (0≤ω≤10) ≤ 2dB; độ lợi dãi chắn (ω≥20) 
Gs≤ -20dB
 Bước 1: Xác định: 
 Bước 2: Chọn ε:
( )
1 / 2/10
1
/101
1 10 1
cosh
10 1cosh /
sG
r
s p
n
ω ω
−
−
−
 
−≥  
− 
/ 10
/ 10
1
10 1 10 1
cosh [ cosh ( / )]
sG
r
s pn
ε
ω ω
−
−
− ≤ ≤ −
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
 Bước 3: Xác định H(s):
 Bước 4: Xác định H(s): ( )sH / ps s ω← ( )H s
'
( ) ( )
n
n
K
s
C s
=H
0
2
0
1
an
a n odd
K
n even
ε+

= 

Nếu ε sao cho r=0.5dB, 1dB, 2dB hoặc 3dB 
 tra bảng C’n(s); 
nếu không thỏa 
 tính C’n(s):
( )
( 2 1) ( 2 1)
2 2
11 1
'
1 2
sin sinh cos cosh
1, 2, 3, ..., ; sinh
( ) ( )( )...( )
k k
k n n
n
n n
s x j x
k n x
C s s s s s s s
pi pi
ε
− −
−
= − +
= =
= − − −
14
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
 Bước 1:
 Bước 2:
1 / 22
1
1 0 .2
1 1 0 1
c o s h 2 .4 7 3
c o s h ( 2 ) 1 0 1n
−
−
 −≥ = 
− 
 Bước 3:
 Bước 4:

 chọn n=3 

 chọn ε=0.764 
 (r)design=2dB
2
0 .2
1
10 1 10 1
cosh [3 cosh (2 )] ε−
− ≤ ≤ −
0 .382 0 .764ε⇔ ≤ ≤
Tra bảng: ' 3 2( ) 0.7378 1.0222 0.3269
n
C s s s s= + + +
0 0 .3269nn odd K a⇒ = =
3 2
0.3269( )
0.7378 1.0222 0.3269
s
s s s
=
+ + +
H⇒
( ) ( )3 210 10 10
0.3269( )
0.7378 1.0222 0.3269s s s
H s =
+ + +
3 2
326.9( )
7 .378 102.22 326.9
H s
s s s
=
+ + +
⇒
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.5. Các phép biến đổi tần số
 Bộ lọc thông cao (High-pass Filter):
Prototype Filter
Pass-band Stop-bandHigh-pass Filter
p ( )sH
( )s T s← ( )H s ( )
pT s
s
ω
=
Ví dụ 1: Thiết kế bộ lọc thông cao Chebyshev thỏa mãn các yêu cầu
sau: r trong dãi thông (ω≥200) ≤ 2dB; độ lợi dãi chắn (ω≤100) 
Gs≤ -20dB?
15
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.5. Các phép biến đổi tần số
 Bộ lọc thông dãi (Band-pass Filter):
Prototype Filter
Pass-band Stop-band
Band-pass 
Filter
( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
min ;p p s s p ps
s p p s p p
ω ω ω ω ω ω
ω
ω ω ω ω ω ω
 
− − 
=  
− −  
2
1 2
2 1
( ) ( )
p p
p p
s
T s
s
ω ω
ω ω
+
=
−
p ( )sH
( )s T s← ( )H s
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.5. Các phép biến đổi tần số
Ví dụ 2: Thiết kế bộ lọc thông dãi Chebyshev thỏa mãn các yêu cầu
sau: r trong dãi thông (1000≤ω≤2000) ≤ 1dB; độ lợi dãi chắn
(ω≤450 hoặc ω≥4000) Gs≤ -20dB?
Ví dụ 3: Thiết kế bộ lọc thông dãi Butterworth thỏa mãn các yêu cầu
sau: Độ lợi trong dãi thông (1000≤ω≤2000) ≥ -1dB; độ lợi dãi chắn
(ω≤450 hoặc ω≥4000) Gs≤ -20dB?
16
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.5. Các phép biến đổi tần số
 Bộ lọc chắn dãi (Band-stop Filter):
Prototype Filter
Pass-band Stop-band
Band-stop 
Filter
( ) ( )1 2 1 2 2 1
2 2
1 2 1 2 1 2
min ;s p p s p ps
p p s s p p
ω ω ω ω ω ω
ω
ω ω ω ω ω ω
 
− − 
=  
− −  
2 1
2
1 2
( )( ) p p
p p
s
T s
s
ω ω
ω ω
−
=
+p ( )sH
( )s T s← ( )H s
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.5. Các phép biến đổi tần số
Ví dụ 4: Thiết kế bộ lọc chắn dãi Butterworth thỏa mãn các yêu cầu
sau: Độ lợi trong dãi chắn (100≤ω≤150) ≤ -20dB; độ lợi dãi thông
(ω≤60 hoặc ω≥260) ≥ -2.2dB?