Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh Lớp 12 cách giải các dạng toán về tính tích phân cơ bản ở bậc THPT

tỷ:
a) Tích phân 
Ví dụ 1: Tinh tích phân 
Ta c ó: = (*) = 
Chú ý: Tích phân (*) có dạng 
Bài tập tương tự: Tính (Trích ĐH khối D năm 2013) 
b) - Tích phân (với bậc của nhỏ hơn hai)
Ta viết = 
 - Tích phân với bậc của nhỏ hơn ba
Ta tìm các hệ số A, B, C sao cho: = 
Ví dụ 2: Tính tích phân 
Mẫu số là tam thức bậc hai có hai nghiệm: , nên ta tìm sao cho:
 = 
Bằng phương pháp hệ số bất định ta tìm được: 
Vậy: = + 3 = = 
Bài tập tương tự: Tính (Trích ĐH khối B năm 2014) 
Ví dụ 3. Tính tích phân 
Ta có: = = = = 
Ví dụ 4. Tính tích phân 
Ta tìm sao cho: = + , 
Theo phương pháp hệ số bất định ta có A =; B = ; C = . Khi đó: = dx + . 
Tính ta đổi biến: x + 1 = tant. Từ đó tính được tích phân I
Chú ý : Khi gặp tích phân dạng : 
ta có thể đặt : hoặc 
Bài tập tương tự: Tính I = (Trích ĐH khối B năm 2012) 
c) Việc sử dụng thành thạo các vi phân cơ bản giúp ta định hướng cách giải, chẳng hạn: .
Ví dụ 5. Tính tích phân sau I = Ta có: = . 
Nên ta đặt t = dt = 
 = = ... = 
 Ví dụ 6. Tính tích phân: .
Ta có: , nên ta đặt t = 
2.3.2. Một số tích phân cơ bản của hàm số vô tỷ: 
a) Tích phân 
Ta có thể thực hiên theo các cách giải sau:
+) Cách 1: Đổi biến số 
+) Cách 2: Đổi biến số 
+) Cách 3: Đổi biến số 
+) Cách 4: Đổi biến số 
+) Cách 5: Ta viết và đặt t = 
Nhận xét: Trong mỗi bài tập ta chọn cách nào là còn tuỳ vào tình huống đổi cận.
Ví dụ 7. Tính các tích phân sau : ; 
Đối với tích phân I ta đặt x = . Đổi cận khi x = thì t = còn khi x = 4 thì t = . Vậy (Ta sẽ nói kỹ về tích phân này ở phần sau). Đối với tích phân J ta đặt t = thì ta được : . 
Tích phân J = = = .
b) - Tích phân 
Ta có thể thực hiện theo các cách giải sau:
+) Cách 1: Đổi biến số 
+) Cách 2: Đổi biến số 
+) Cách 3: Đổi biến số 
+) Cách 4: Đổi biến số 
+) Cách 5: Đổi biến số 
Nhận xét: Trong mỗi bài tập ta chọn cách nào là còn tuỳ vào tình huống đổi cận
 - Tích phân 
+) Cách 1: Đổi biến số 
+) Cách 2: Đổi biến số 
+) Cách 3: Tích phân từng phần 
Khi đó J = =
 = J3 = + (đã có)
+) Cách 4: Đổi biến số 
Nhận xét: Trong mỗi bài tập ta chọn cách nào là còn tuỳ vào tình huống đổi cận
Ví dụ 8. Tính tích phân sau: 
Đặt và khi x = 2 thì t = , khi x = thì t = . 
 (tích phân này có thể chuyển về tích phân hàm hữu tỷ khi đặt )
Ví dụ 9. Tính tích phân: I = ta dùng phương pháp tích phân từng phần: Do biểu thức trong dấu tích phân có chứa căn bậc hai , nên ta đặt: 
 = 
hay 2I = (Đây là tích phân đã đề cập phần a) tích phân J1)
c) Tích phân 
Đổi biến số hoặc 
Ví dụ 9: Tính tích phân . Ta đặt thì I ==..
Bài tập tương tự: a) ; b) 
d) Tích phân: với , 
Đổi biến số: ta sẽ đưa tích phân về dạng (Tích phân J2).
Ví dụ 10: Tính tích phân ,(ĐH khối A - 2003) 
ta đặt ta có . Khi đó (tích phân J2)
Nhận xét: Trong ví dụ 10 nhiều học sinh nghĩ là đặt , nhưng vấp phải việc đổi cận tích phân. 
Bài tập tương tự. Tính tích phân ; J = 
e) Tích phân (với )
Cách tính: 
Tìm A, B bằng phương pháp hệ số bất định
Ví dụ 11. Tính tích phân: 
Ta tìm A ; B sao cho 
 Khi đó = 
 = 
Với đưa về dạng (quen thuộc)
f) Khi gặp tích phân dạng: hoặc dạng thì đặt 
còn khi gặp dạng ta đặt sint.
Ví dụ 12. Tính tích phân: .
+) Cách 1:Đặt và thì ; thì 
Vậy: 
+) Cách 2: Nhận thấy trong căn có dạng nên ta đặt . khi đó: .
Ví dụ 13. Tính tích phân : (ĐH khối B – 2013)
+)Cách 1: Đặt và thì  ; khi thì . Vậy: = = .
+) Cách 2: Nhận thấy trong căn có dạng nên ta đặt . khi đó: = 
Bài tập tương tự. Tính tích phân ; 
g) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa thi ta thường đặt 
Ví dụ 14: Tính tích phân (ĐH. A-2004)
Đổi biến số dạng 1: Đặt ;
Đổi cận : khi thì ; khi thì 
 = (đây là tích phân hàm hữu tỉ, từ đó tính được I ).
Ví dụ 15. Tính tích phân 
Ta có = 
= = 
Bài tập tương tự: ; 
2.3.3. Một số tích phân cơ bản của hàm số lượng giác:
a) Tích phân Ta có thể tính bằng các cách đổi biến sau: 
+) Cách 1: Đặt 
+) Cách 2: (Đặt , đưa về cách tính tích phân hàm phân thức hữu tỷ)
b) Tích phân 
- Cách 1: Đặt thay 
- Cách 2: Nhân tử và mẫu với , ta có (Đặt , đưa về cách tính tích phân hàm phân thức hữu tỷ quen thuộc)
- Cách 3: 
c) Tích phân dang: (trong đó là hàm số phân thức hữu tỉ) Thông thường ta đưa về tích phân của hàm hữu tỉ bằng phép đổi biến đặt 
i)Trường hợp đặc biệt:
+) Nếu là hàm số lẻ đối với thì đặt 
+) Nếu là hàm số lẻ đối với thì đặt 
+) Nếu là hàm số đều chẵn đối với và thì ta đặt 
ii) Trường hợp tổng quát: Ta hướng dẫn học sinh áp dụng mệnh đề sau:
Giả sử phải tính , ( trong đó là hàm số phân thức hữu tỉ)
Ta kí hiệu gọi là vi phân của hàm phải tính.
+) Nếu = thì ta đổi biến số: 
+) Nếu = thì ta đổi biến số: .
+) Nếu = thì ta đổi biếnsố: .
Ví dụ 16. Tính tích phân: ( Đề thi TN năm 2006)
Đặt = . Ta có = nên đổi biến số ,
 đưa tích phân , đây là tích phân quen thuộc.
Bài tập tương tự: Tính các tích phân ; ; 
Ví dụ 17. Tính tích phân sau: I = .
Biểu thức trong tích phân có bậc lẻ ( = ) nên đặt , đưa tích phân về dạng: , áp dụng bảng nguyên hàm ta được 
Bài tập tương tự: ; ; 
Ví dụ 18. Tính tích phân sau: ( Trích ĐH A – 2008)
Đặt thì có nên ta đổi biến số , 
 = = = (Tích phân htỷ)
Bài tập tương tự: Tính ; 
Ví dụ 19. Tích phân: (Đề thi HSG tỉnh năm 2005) 
Cách 1: Ta có = = (Tích phân hàm hữu tỷ) 
 Cách 2: Đặt và ta có và . 
Vậy (Đưa về tích phân cơ bản K2, đã trình bày cách giải)
Ví dụ 20. Tính tích phân: , 
Ta nhận thấy biểu thức dưới dấu tích phân là bậc nhất đối với và , nên thông thường ta sẽ đặt và = = 
Bài tập tương tự: ; 
2.3.4. Tích phân chứa hàm số mũ và lôgarít.
a) Sử dụng thành thạo các vi phân cơ bản. 
Chẳng hạn: với ; ; , ; , với 
Ví dụ 21. Tính tích phân . 
 Ta thấy: nên , từ đó đặt = . Vậy = = = 
Bài tập tương tự: ; ( Đề thi TN năm 2006)
Ví dụ 22. Tính tích phân: . (ĐH khối B - 2004) Vì nên . Biểu thức dưới dấu tích phân chứa hàm số . Khi đó đặt t = lnx thì bài toán được giải quyết
Bài tập tương tự: Tính: ; 
Ví dụ 23. Tính tích phân I = (ĐH. A - 2010)
Ta có: = = . Do đó: 
 + . Đặt . Vì: nên J tính được.
Bài tập tương tự: Tính 
Ví dụ 24. Tính (Đề thi ĐH khối D năm 2005)
Ta viết + .
Vì nên đối với tích phân , ta đặt 
b) Sử dụng thành thạo quy tắc chọn và trong phương pháp tích phân từng phần: Ta có: .
Chú ý : Nguyên tắc chung để chọn u, dv như sau: Ta chọn sao cho dễ tìm được nguyên hàm của .
Đặc biệt: Giả sử với là đa thức thì việc lựa chọn u và dv phụ thuộc vào, cụ thể:
+) Nếu là các hàm số lôgarit, các hàm số vô tỷ... thì đặt .
+) Nếu là các hàm số lượng giác, hàm số mũ, ... thì đặt 
Tuy nhiên đó chỉ là gợi ý chính, trong từng bài cụ thể và tình huống phức tạp các bạn phải thử vận dụng theo nhiều cách để chọn cách thích hợp. 
Ví dụ 25. Tính tích phân (Đề thi TN năm 2006)
Theo quy tắc chọn u và dv ở trên thì ta đặt : , ta có 
Vậy: 
Bài tập tương tự: Tính (trích : đề thi THPT QG năm 2015)
Ví dụ 26. Tính tích phân (đề thi minh họa-THPTQG năm 2015); Ta có + . Theo quy tắc chọn u và dv ở trên thì ta đặt :
, ta có Khi đó: + từ đó tính được I.
Bài tập tương tự: Tính (TN năm 2007); (ĐH-D2007)
Ví dụ 27. Tính tích phân 
Ta biến đổi như sau : 
Vậy : 
Ta nhận thấy: , với cách nhìn này thì ta dễ dàng tính được tích phân . Còn tích phân : , ta đặt : và dùng công thức tích phân từng phần ta dễ dàng tính được.
Ví dụ 28. Tính tích phân I = 
Ta có tử thức : 
Do đó : + .
Đặt ,  ; , ta thấy I1, I2 là các dạng tích phân đã được trình bày ở trên, đối với tích phân I3 theo quy tắc chọn u và dv thì ta đặt khi đó . Vậy: , đến đây hoàn toàn tính được
Nhận xét: Khi gặp tích phân dạng này ta thường biến đổi như sau: 
Giả sử cần tính tích phân có dạng ta biến đổi là: 
Bài tập tương tự : J = 
Ví dụ 28. Tính tích phân 
 Tích phân từng phần (biểu thức dưới dấu tích phân có chứa hàm số lôgarit)
+) Đặt Khi đó 
+) Quy về tính (là dạng tích phân quen thuộc và đơn giản)
 Đặt và thì , thì 
Khi đó = ( tích phân hữu tỉ quen thuộc)
Bài tập tương tự: (ĐH-A 2012) ; J = (ĐH- B 2010) 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
- Sau khi tìm tòi và áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tiễn giảng dạy, bản thân tôi nhận thấy chất lượng giảng dạy được nâng lên rõ rệt. Các em học sinh thực sự hứng thú với môn học, đa số học sinh giải tốt bài tập trong sách giáo khoa và làm được các bài tính tích phân của các kỳ thi tuyển sinh vào đại học. Qua kết quả khảo sát thực hiện trên các lớp học năm 2015-2016(Có cùng điểm đầu vào so với 2 lớp trong năm học 2013-2014), chất lượng bài làm của các em đã đạt kết quả cao hơn so với các năm trước. Kết quả cụ thể :
Lớp
Sĩ số
Điểm < 5
Điểm 5 < 8
Điểm 8
số lượng
%
số lượng
%
số lượng
%
12G
46
2
4,34
16
34,78
28
60,88
12C
47
4
8,5
19
40,42
24
51,08
- Bản thân khi trao đổi cùng đồng nghiệp thì được đồng nghiệp ủng hộ và công nhận tính hiệu quả của sáng kiến khi đồng nghiệp dạy trực tiếp trên các lớp 12.
3. Kết luận, kiến nghị: 
Có thể nói việc hướng dẫn học sinh giải các bài toán về tích phân cơ bản là một trong những phần quan trọng của chương trình giải tích lớp 12. Để giúp học sinh có kỹ năng giải tốt các dạng toán này thì cần: 
 - Cho học sinh tiếp cận với nhiều bài toán khác nhau, những cách giải khác nhau.
 - Rèn luyện cho học sinh phân tích bài toán theo chiều hướng khác nhau để tìm ra lời giải tối ưu nhất.
 - Rèn luyện cho học sinh trình bày ngắn gọn, chặt chẽ, hợp logic.
 - Phát huy tối đa tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.
 - Tạo điều kiện tối đa để học sinh chủ động giải quyết các bài cơ bản qua mỗi cách giải tự nhận ra khó khăn(hạn chế), thuận lợi(ưu thế) của mỗi cách giải mà lựa chọn một cách giải thích hợp nhất cho một bài toán.
 Trên đây là những kinh nghiệm của bản thân tôi đúc rút được trong quá trình giảng dạy. Rất mong được sự góp ý xây dựng của đồng nghiệp để để sáng kiến của tôi được hoàn thiện hơn, giúp học sinh học tốt hơn về toán tích phân, nhằm nâng cao chất lượng giáo dục. 
 Tôi xin chân thành cảm ơn ! 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 24 tháng 05 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Mai Huy Sáu