Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh khai thác tính chất hình học để giải bài toán về tam giác trong hình học tọa độ phẳng - Dương Thị Thu

t trọng tâm của tam giác ABC là G(2;2). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Định hướng:
Giả thiết chỉ cho biết tọa độ điểm G và tọa độ điểm E ta cần xoay quanh hai điểm này. Từ trực quan hình vẽ ta nhận thấy GE//AC. Nếu chứng minh được điều này thì có thể suy luận được vuông cân tại trung điểm N của BC. 
 MN là đường trung trực của GE
 lập được PT trung trực MN
Mặt khác điểm N 
 Điểm A từ tính chất trọng tâm tam giác.
Lời giải:
Gọi N là trung điểm BC ANBC. 
Gọi H là giao điểm của BM và AE BHAE
 G là trực tâm tam giác ABE
 GEAB GE//AC.
Ta có vuông cân tại N 
 vuông cân tại N
 MN là đường trung trực của GE
 Đường thẳng MN đi qua trung điểm I(2;3/2) của đoạn GE và có vec tơ pháp tuyến nên có phương trình .
 mà hoặc .
*)Với ta có: A(3;3).
Đường thẳng BC đi qua hai điểm N, E nên có phương trình x+y-3=0
Đường thẳng AB đi qua A và song song với MN nên có phương trình y-3=0.
Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với MN nên có phương trình x-3=0.
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: .
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: .
*)Với ta có A(1;3)
Phương trình BC x-y-1=0; phương trình AB: y-3=0; phương trình AC: x-1=0; 
Hoàn toàn tương tự như trên ta có B(4 ;3); C(1 ;0).
Vậy A(3;3); B(0;3); C(3;0) hoặc A(1;3); B(4;3); C(1;0).
Nhận xét: Trong ví dụ này ta cần phải tìm được tính chất hình học ẩn
trong bài toán là cân tại N. Điều này được suy luận từ tính chất của tam giác vuông cân tại A: trung tuyến AN là đường cao và AN=NC=NB.
Ví dụ 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân đỉnh A, phương trình cạnh BC là 2x+y-2=0; đường cao kẻ từ B có phương trình x+y+1=0; điểm M(1;1) thuộc đường cao kẻ từ C. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C.
Định hướng:
Biết phương trình cạnh BC và đường cao kẻ từ B 
ta tìm ngay được tọa độ điểm B. Ta còn giả thiết 
điểm M(1;1) thuộc đường cao kẻ từ C và tam giác
 ABC cân đỉnh A. Với 4 giả thiết đã cho ta lập
 ngay được phương trình đường thẳng đi qua M và
 song song với BC cắt đường cao kẻ từ B tại N; 
M, N đối xứng nhau qua đường cao AH suy ra 
trung điểm I của MN thuộc AH. 
Ta lập được phương trình đường cao AH và tìm
 được trung điểm D của BC từ đó suy ra tọa độ
 điểm C
Lời giải:
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: .
Đường thẳng d đi qua M và song song với BC có phương trình 2x+y-3=0
Tọa độ giao điểm N của d và đường cao kẻ từ B là nghiệm của hệ:
Trung điểm I của MN có tọa độ 
Vì tam giác ABC cân tại A nên M, N đối xứng nhau qua trung trực của BC nên I thuộc đường cao AH.
Đường thẳng AH đi qua I và AHBC nên có phương trình . 
Tọa độ trung điểm D của BC là nghiệm của hệ:
Đường thẳng CA đi qua C và vuông góc với đường thẳng x+y+1=0 nên có phương trình .
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: 
Vậy .
Ví dụ 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có M(3;2) là trung điểm cạnh BC. Biết chân đường cao kẻ từ B là điểm và trung điểm cạnh AB nằm trên đường thẳng . Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C.
Định hướng:
Bài toán cho biết trung điểm N của AB thuộc gợi cho ta nghĩ tới tìm tọa độ điểm N trước. N và hai điểm M, K có mối liên hệ với nhau như thế nào?
Hai tam giác AKB và AMB vuông nên NK=NM ta tìm được tọa độ điểm N. Với ba điểm M, N, K đã biết tọa độ có thể suy luận được điều gì? Dễ thấy nên lập được phương trình AC. Tham số hóa tọa độ điểm A suy ra tọa độ điểm B theo tham số và sử dụng AMBM để tìm tham số.
Lời giải:
Gọi N là trung điểm AB. 
Vì N thuộc nên N(t;t+2).
Ta có tam giác AKB và AMB vuông nên NK=NM
 N(1;3).
Đường thẳng AC đi qua và có vec tơ
chỉ phương nên có phương trình :
 x+2y-4=0
A thuộc AC nên A(4-2a;a) B(2a-2;6-a)
Ta có :
 A(2;1) . Vì N(1;3) là trung điểm AB nên B(0;5) .
Điểm M(3;2) là trung điểm của BC nên C(6 ;-1)
 Vậy A(2;1); B(0;5); C(6;-1).	
Ví dụ 16 : (Đề thi THPT quốc gia năm 2015)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AD. Giả sử H(-5 ;-5); K(9;-3) và trung điểm cạnh AC thuộc đường thẳng d : x-y+10=0. Tìm tọa độ điểm A.
Định hướng : Bài toán cho biết tọa độ hai điểm H, K và điểm M thuộc đường
thẳng d, tương tự như VD 14 ta dễ dàng chứng minh được MH=MK, từ đó tìm được tọa độ điểm M. Bây giờ ta cần tìm mối liên hệ giữa điểm A với 3 điểm đã biết tọa độ là M, H, K. Từ trực quan hình vẽ ta thấy AKHM. Chứng minh được điều này thì bài toán được giải quyết. 
Lời giải :
Vì M thuộc d : x-y+10=0 nên M(t;t+10).
Ta có nên MH=MK
Vì tứ giác AHKC nội tiếp nên 
Mà ( cùng phụ với )
Mà nên cân đỉnh H
 HA=HK.
Mặt khác ta có MA=MK HM là đường trung trực của AK.
Đường thẳng AK đi qua K và có VTPT nên có phương trình: x+3y=0.
Đường thẳng HM có phương trình: 3x-y+10=0.
Gọi I là trung điểm AK, tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:
Vậy A(-15;5).
Nhận xét: 
Trong ví dụ này ta sử dụng tính chất của tam giác vuông : trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền để chỉ ra tính chất hình học ẩn trong bài toán này là AK vuông góc với HM.
Bài tập tương tự:
1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H(-1;3), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(3;-3), chân đường cao kẻ từ A là K(-1;1). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh C(4;3), phương trình đường phân giác trong và trung tuyến kẻ từ một đỉnh của tam giác lần lượt là x+2y-5=0; 4x+13y-10=0. Viết phương trình các cạnh của tam giác.
3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) có phương trình , điểm G là trọng tâm tam giác ABC và điểm M(7;2) nằm trên đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC, M khác A. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết tung độ điểm B lớn hơn tung độ điểm C.
4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm của BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên AC, là trung điểm của HD, phương trình đường thẳng BD: ; phương trình đường thẳng AB: . Tìm tọa độ điểm C.
5. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;4), tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D, đường phân giác trong của góc có phương trình x-y+2=0, điểm M(-4;1) thuộc cạnh AC. Viết phương trình đường thẳng AC.
6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có AC=2AB. Điểm M(2;-2) là trung điểm cạnh BC. Gọi E là điểm thuộc cạnh AC sao cho EC=3EA, điểm là giao điểm của AM và BE. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết điểm E nằm trên đường thẳng d: x+2y-6=0.
7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn. Đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ A và đường thẳng BC có phương trình lần lượt là và . Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D(4;-2). Viết phương trình các đường thẳng AB,AC biết hoành độ điểm B không lớn hơn 3. 
8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H(3;0) và trung điểm cạnh BC là M(6;1). Đường thẳng AH có phương trình: x+2y-3=0. Gọi D,E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng DE có phương trình: x-2=0.
9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A(1;2), cạnh BC có phương trình: y+3=0 và điểm D(4;1). Gọi E,F lần lượt là trung điểm các đoạn BD, CD. Tìm tọa độ của B,C biết đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF đi qua điểm .
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
 Thực tế trong quá trình giảng dạy phần hình học tọa độ phẳng lớp 10 và ôn thi THPT quốc gia cho lớp 12 tôi thấy việc định hướng cho học sinh biết khai thác tính chất hình học để giải bài toán về tam giác trong hình học tọa độ phẳng giúp học sinh phát hiện nhanh hướng giải bài toán. Các em tỏ ra hứng thú tích cực học tập. Điều này được kiểm nghiệm qua những lớp tôi dạy: lớp 10I năm 2014-2015; lớp 12C năm 2015-2016. Đặc biệt kiểm nghiệm trên hai nhóm học sinh có trình độ tương đương nhau của lớp 12C năm 2015-2016 bằng việc giải bài toán: “Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(1;2). Trực tâm H của tam giác ABC nằm trên đường thẳng d: x-4y-5=0. Đường thẳng AB có phương trình 2x+y-14=0. Tìm tọa độ điểm C biết khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng ”.
Kết quả thu được thể hiện ở bảng sau:
Nhóm
Số học sinh
 Số HS có lời giải
Số HS có lời giải đúng
 Số lượng
 Tỉ lệ %
 Số lượng
 Tỉ lệ %
 I
 20
 19
 95%
 15
 75%
 II
 20
 15
 75%
 10
 50%
 III. KẾT LUẬN
 Trong quá trình dạy học , đối với mỗi bài toán nói chung và bài toán hình học nói riêng, nếu giáo viên biết tìm ra cơ sở lý thuyết , đưa ra phương pháp giải hợp lý và hướng dẫn học sinh vận dụng một cách linh hoạt thì sẽ tạo được sự hứng thú học tập của học sinh. Khi dạy học sinh giải các bài toán hình học tọa độ phẳng cần yêu cầu học sinh vẽ hình tìm mối liên hệ giữa các giả thiết của bài toán với các tính chất của hình . Giáo viên cần xây dựng một hệ thống bài tập từ dễ đến khó để nâng cao khả năng tư duy và kỹ năng làm bài của học sinh.
 Là một giáo viên tôi xác định cho mình phải luôn tạo cho học sinh niềm hứng thú say mê trong quá trình học tập; luôn cải tiến phương pháp dạy học, phát triển tư duy, vận dụng kiến thức phục vụ tốt cho bài dạy của mình.
 Bài toán hình học tọa độ phẳng rất đa dạng không có một phương pháp chung nào để giải chúng. Trong bài viết này tôi chỉ mới đưa ra một số ví dụ về bài toán tam giác hay gặp trong đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi nên chưa thể đầy đủ, chưa bao quát hết, với mong muốn giúp cho học sinh có định hướng tốt hơn khi gặp các bài toán này , tôi mong nhận được những góp ý chân thành của đồng nghiệp để bài viết của tôi được hoàn thiện hơn.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ:
 Thanh Hóa ngày 25/5/2016
Tôi xin cam đoan đây là bài viết của mình không sao chép của người khác.
 Người viết:
 Dương Thị Thu
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
Báo Toán học và Tuổi trẻ
Đề thi thử THPT Quốc gia của Sở GD và ĐT Hà Nội
Đề thi thử THPT Quốc gia của trường THPT Anh Sơn 2- Nghệ An
Sách:”Chinh phục hình học giải tích” của nhóm LOVEBOOK