Phương pháp tọa độ trong không gian (Phần 2)

;0
2
a 
 
 
, D ;0;0
2
a 
 
 
, 
3
S 0;0;
2
a 
  
 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 213 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
3. Hình lăng trụ đứng
Dạng 1. Hình lập phương .ABCD A B C D    cạnh bằng a : Chọn hệ trục toạ độ sao cho: (0;0;0)A , 
( ;0;0)B a , ( ; ;0)C a a , D(0; ;0)a ; (0;0; )A a , ( ;0; )B a a , ( ; ; )C a a a , D (0; ; )a a 
x
y
z
C'
D'
B'
C
A(0;0;0) D(0;a;0)
B(a;0;0)
A'(0;0;a)
Dạng 2. Hình hộp chữ nhật .ABCD A B C D    cạnh AB a , AD b , AA c  : Chọn hệ trục toạ độ 
sao cho: (0;0;0)A , ( ;0;0)B a , ( ; ;0)C a b , (0; ;0)D b ; (0;0; )A c , ( ;0; )B a c , ( ; ; )C a b c , 
(0; ;c)D b
b
a
c
x
y
z
C'
D'
B'
C
A(0;0;0) D(0;b;0)
B(a;0;0)
A'(0;0;c)
y 
x 
z 
H (0;0;0) 
;0;0
2
a
A
 
 
 
; ;0
2
a
B b
 
 
 
; ;0
2
a
C b
 
 
 
;0;0
2
a
D
 
 
 
3
0;0;
2
a
S
 
 
 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 214 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
Dạng 3. Hình hộp đứng đáy hình thoi .ABCD A B C D    : Chọn hệ trục toạ độ sao cho: gốc trùng 
với giao điểm O của hai đường chéo AC , BD ; hai trục ,Ox Oy lần lượt chứa hai đường 
chéo của hình thoi, trục Oz đi qua tâm hai đáy. 
x
y
z
O'
C'
D'
B'
O
C
A
D
B
A'
B. BÀI TẬP CÓ GIẢI
Câu 1. Cho tứ diện ABCD có các cạnh , ,AB AC AD vuông góc nhau từng đôi một, có độ dài 3AB  , 
4AC AD  . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng  BCD
A. 
6 34
17
d  . B. 
12
5
d  . C. 
1
2
d  . D. 
34
17
d 
Hướng dẫn giải 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau:  0;0;0O A ;  4;0;0D ;  0;4;0C ;
 0;0;3B
* Tìm phương trình mặt phẳng  BCD : 1
4 4 3
x y z
   3 3 4 12 0x y z    
z 
O 
B 
y 
C 
x 
D 
A 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 215 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
* Tính khoảng cách d =   ,d A BCD =
2 2 2
12 6 34
173 3 4


 
Câu 2. Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng  ABC và AD a , có tam giác ABC
vuông tại A và AC b , AB c . Tính diện tích S của tam giác BCD theo , ,a b c . 
A. 
1
2
S abc . B. . 2 2 2 2 2 2
1
2
S a b b c c a   . 
C.  
1
2
S ab bc ca   . D.  2 2 2 2 2 2
1
2
S a b b c c a   . 
Hướng dẫn giải 
x
y
z
A
B
C
D
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau:  0;0;0O A ;  ;0;0B c ;  0; ;0C b ;
 0;0;D a
* Tìm toạ độ véc tơ
 Cạnh của tam giác BCD :  ; ;0BC c b  ,  ;0;BD c a 
 Véctơ tích có hướng  ; ; ;BC BD ab ac bc   
* Sử dụng công thức tính diện tích tam giác
 
1
,
2
BCDS BC BD    =
2 2 2 2 2 21
2
a b b c c a 
Câu 3. Cho tứ diện .O ABC có các tam giác OAB , OBC , OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O . Gọi 
 , ,    lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng  OBC ,  OCA ,  OAB với mặt phẳng
 ABC . Tìm hệ thức lượng giác liên hệ giữa , ,    . 
A. 2 2 2sin sin sin 1     . B. 60o     . 
C. 2 2 2cos cos cos 1     . D. cos 2 cos 2 cos 2 1     . 
Hướng dẫn giải 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 216 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
x
y
z
B'
H
O
A
B
C
A'
C'
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau: (0;0;0)O ; ( ;0;0)A a ; (0; ;0)B b ; 
(0;0; )C c . 
 ; ; 0AB a b  ,  ; 0;AC a c 
* Tìm vectơ pháp tuyến của
 Mặt phẳng  ABC :  , ; ;n AB AC bc ca ab   
 Mặt phẳng  OBC :  1; 0; 0i  (vì: ( )Ox OBC )
 Mặt phẳng  OCA :  0; 1; 0j  (vì: ( )Oy OCA )
 Mặt phẳng  OAB :  0; 0; 1k  (vì: ( )Oz OAB )
* Sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
     cos cos ,OBC ABC  
2 2 2 2 2 2
cos
bc
b c c a a b
 
 
     cos cos ,OCA ABC  
2 2 2 2 2 2
cos
ac
b c c a a b
 
 
 
2 2 2 2 2 2
cos
ab
b c c a a b
 
 
* Biến đổi và kết luận     cos cos ,OAB ABC 
 
2 2
2
2 2 2 2 2 2
cos
b c
b c c a a b
 
 
 
2 2
2
2 2 2 2 2 2
cos
c a
b c c a a b
 
 
 
2 2
2
2 2 2 2 2 2
cos
a b
b c c a a b
 
 
Vậy 2 2 2cos cos cos 1    
Câu 4. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB AC a  , có SA vuông góc 
với mặt phẳng  ABC và 
2
2a
SA  . Tính góc  giữa hai mặt phẳng  SAC và  SBC 
A. 120o  . B. 30o  . C. 45o  . D. 60o  . 
Hướng dẫn giải 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 217 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
x
y
z
A
B
C
S
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau:  0;0;0O A ;  ;0;0B a ;  0; ;0C a ;
2
0;0;
2
a
S
 
 
 
. 
* Tìm vectơ pháp tuyến của
 Mặt phẳng .  SAC .:  1; 0; 0i  (vì ( )Ox SAC )
 Mặt phẳng  SBC : có cặp véc tơ chỉ phương
2
;0;
2
a
SB a
 
  
 
, 
2
0; ;
2
a
SC a
 
  
 
véc
tơ pháp tuyến là 
2 2
22 2, ; ;
2 2
a a
SB SC a
 
       
 
 hay là  1;1; 2n 
* Tính góc giữa hai mặt phẳng  SAC và  SBC 
. 1
cos
2.
i n
i n
    60o  . 
Câu 5. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB AC a  , có SA vuông góc 
với mặt phẳng  ABC và 
2
2a
SA  . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AI và SC , 
với I là trung điểm cạnh BC . 
A. 
2
a
d  . B. d a . C. 
2
2
a
d  . D. 
3
2
a
d 
Hướng dẫn giải 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 218 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
x
y
z
I
A
B
C
S
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau:  0;0;0O A ;  ;0;0B a ;  0; ;0C a ;
2
0;0;
2
a
S
 
 
 
. 
 ; ; 0AB a b ,  0; ;0AC a
* Tìm vectơ pháp tuyến của
 Mặt phẳng  SAC :  1;0;0i  (vì ( )Ox SAC )
 Mặt phẳng  SBC : có cặp véc tơ chỉ phương
2 2
;0; ; 0; ;
2 2
a a
SB a SC a
   
      
   
véc
tơ pháp tuyến là 
2 2
22 2, ; ;
2 2
a a
SB SC a
 
       
 
 hay là  1;1; 2n 
* Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AI và SC
 Vì I là trung điểm của BC  ; ;0
2 2
a a
I
 
 
 
 nên ta có: ; ;0
2 2
a a
AI
 
  
 
, 
2
0; ;
2
a
SC a
 
  
 
, 
2 2 22 2
, ; ;
4 4 2
a a a
AI SC
 
     
 
, 
2
0;0;
2
a
AS
 
  
 
 
3 2
, .
4
a
AI SC AS    , mà 
4 4 4 2
,
8 8 4 2
a a a a
AI SC       . 
 Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC là
 
3
2
, . 2 2
, .
4 2,
AI SC AS a a
f AI SC
aAI SC
  
  
  
Câu 6. Cho hình chóp .O ABC có OA a , OB b , OC c vuông góc nhau từng đôi một. Gọi M là 
điểm cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các  mp OBC ,  mp OCA ,
 mp OAB là 1, 2, 3. Giá trị , ,a b c để thể tích khối chóp .O ABC nhỏ nhất là
A. 1; 1; 1a b c   . B. 3; 6; 9a b c   . C. a b c  . D. 1; 2; 3a b c   . 
Hướng dẫn giải 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 219 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:  0;0;0O ,  ;0;0A a ,  0; ;0B b ,  0;0;C c .
 , 3d M OAB   . . 3Mz  . Tương tự   1;2;3M . 
PT   : 1
x y z
mp ABC
a b c
   . 
1 2 3
( ) 1M ABC
a b c
     (1).
.
1
6
O ABCV abc (2).
3
1 2 3 1 2 3
(1) 1 3 . .
a b c a b c
    
1
27
6
abc  . 
(2) min
1 2 3 1
27
3
V
a b c
      . 
Vậy 3; 6; 9a b c   
Câu 7. Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có độ dài cạnh đáy là a . Gọi ,M N lần lượt là là trung 
điểm ,SB SC . Cho biết  AMN vuông góc với SBC ; Tính theo a diện tích AMN . 
A. .
2 3
4
AMN
a
S  .. B. 
2
2
AMN
a
S  . C. 
2 10
16
AMN
a
S  . D. 
2 10
8
AMN
a
S  . 
Hướng dẫn giải 
a
a
a
x
y
z
MN
O
I
C B
A
S
Gọi O là hình chiếu của S trên  ABC , ta suy ra O là trọng tâm ABC . Gọi I là trung điểm 
của BC , ta có: 
3 3
2 2
a
AI BC  
3
3
a
OA  , 
3
6
a
OI  . 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 220 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
Trong mp  ABC , ta vẽ tia Oy vuông góc với OA . Đặt SO h , chọn hệ trục tọa độ như hình 
vẽ ta được:  0; 0; 0O ,
3
;0;0
3
a
A
 
  
 
,  0; 0;S h
Suy ra toa độ 
3
;0;0
6
a
I
 
  
 
, 
3
; ;0
6 2
a a
B
 
  
 
, 
3
C ; ;0
6 2
a a 
   
 
, 
3
M ; ;
12 4 2
a a h 
  
 
 và 
3
; ;
12 4 2
a a h
N
 
   
 
. 
* Véctơ pháp tuyến mp  AMN :   ,AMNn AM AN    =
25 3
;0;
4 24
ah a 
  
 
, mp  SBC : 
  ,SBCn SB SC    =
2 3
;0;
6
a
ah
 
  
 
. Từ giả thiết ( ) ( )AMN SBC     . 0AMN SBCn n 

2
2 5
12
a
h  . 
* Diện tích tam giác AMN : 
21 10
, 
2 16
AMN
a
S AM AN    
Câu 8. Cho hình lăng trụ tam giác 1 1 1.ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , có 1 2AA a và 
vuông góc với mặt phẳng  ABC . Gọi D là trung điểm của 1BB ; Lấy điểm M di động trên 
cạnh 1AA . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích tam giác 1MC D . 
A. 
1
23
4
MC D
a
S  . B. 
1
25
4
MC D
a
S  . C. 
1
2 42
4
MC D
a
S  . D. 
1
2 15
4
MC D
a
S  . 
Hướng dẫn giải 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho  0;0;0O A ; B Oy :  0; ;0B a , 1A Oz :  1 0;0;2A a
 1
3
; ;2
2 2
a a
C a
 
 
 
và  0; ;D a a
Do M di động trên 1AA có tọa độ  0;0;M t với  0; 2t a
Ta có: 
1
1
1
,
2
DC MS DC DM    
z 
x C 
C1
M
A 
A1 B1
B 
D 
y 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 221 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
1
3
; ;
2 2
a a
DC a
 
  
 
,  0; ;DM a t a   ,DG DM     3 ; 3( ); 32
a
t a t a a

 
 2 2 2 2 2, ( 3 ) 3( ) 3 4 12 15
2 2
a a
DG DM t a t a a t at a           . 
1
2 21 . . 4 12 15
2 2
DC M
a
S t at a   
Xét   2 24 12 15f t t at a   với  0; 2t a . Ta có   8 12f t t a   ;  
3
0
2
a
f t t   
Giá trị lớn nhất của hàm số đạt được khi 0t   M A , vậy GTLN của diện tích là 
1
2 15
4
MC D
a
S 