Phát triển một số kiến thức hình học cho giáo viên Tiểu học bằng cách lật ngược vấn đề

 diện tích nhưng không cùng chu vi với hình chữ nhật MNPQ 
c) Một hình có cùng chu vi và đồng thời có cùng diện tích nhưng không trùng khít với 
hình chữ nhật MNPQ. 
B A 
C D E 
F
N M S R 
P Q 
T
M N 
Q P 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Trần Đức Thuận
713 
3.2. Phân tích tiên nghiệm 
 Những nội dung liên quan trong sách giáo khoa Toán cấp tiểu học 
Tại Việt Nam, học sinh tiểu học được học các quy tắc tính chu vi hình tam giác, chu 
vi hình tứ giác (Do Dinh Hoan et al., 2012a, p.130), chu vi và diện tích hình vuông, chu vi 
và diện tích hình chữ nhật (Do Dinh Hoan et al., 2012b, p.87-153), diện tích hình bình hành, 
diện tích hình thoi (Do Dinh Hoan et al., 2012c, p.103-142), diện tích hình tam giác, diện 
tích hình thang, diện tích hình tròn (Do Dinh Hoan et al., 2012d, p.87-99). Ngoài ra, học sinh 
được học cách sử dụng thước thẳng, ê-ke để vẽ hình tròn với tâm và bán kính cho trước (Do 
Dinh Hoan et al., 2012b, p.110), vẽ hình chữ nhật, hình vuông với độ dài các cạnh cho trước 
(Do Dinh Hoan et al., 2012c, p.54-55). Ngoại trừ một bài tập so sánh diện tích hình tứ giác 
với hình tam giác tạo bởi ba đỉnh của hình tứ giác đó, hầu hết các bài tập về so sánh chu vi 
và diện tích được đưa về so sánh các số đo tương ứng sau khi thay số vào quy tắc. Sách Toán 
5 có bài toán “vẽ một hình chữ nhật có cùng diện tích với hình chữ nhật ABCD nhưng có 
các kích thước khác với các kích thước của hình chữ nhật ABCD”, trong đó hình chữ nhật 
ABCD được cho trước hình vẽ và số đo các cạnh (Do Dinh Hoan et al., 2012d, p.25). Lời 
giải được mong đợi là tính diện tích của hình chữ nhật ABCD, sau đó nhẩm chiều dài, chiều 
rộng của hình chữ nhật mới để hai hình có cùng diện tích (Do Dinh Hoan et al., 2012e, p.65). 
 Các biến và giá trị được lựa chọn 
- Đối tượng hình học liên quan: Bài toán thực nghiệm yêu cầu vẽ “hình”, không yêu cầu 
vẽ “hình chữ nhật” (có thể không cần vẽ hình mà chỉ cần xác định chiều dài, chiều rộng) hay 
ràng buộc về số cạnh của hình. Như vậy, các giáo viên tiểu học có thể vẽ các hình đa giác 
có nhiều hơn 4 cạnh, không lồi, thậm chí không là hình đa giác. 
- Kiểu nhiệm vụ được chọn: Bài toán thực nghiệm thuộc dạng “dựng hình” thỏa điều 
kiện hoặc cùng chu vi, hoặc cùng diện tích, hoặc vừa cùng chu vi và vừa cùng diện tích với 
một hình cho trước. Với kiểu nhiệm vụ “dựng hình” này, cách giải không nhất thiết phải đo 
đạc hay thực hiện các tính toán số học. 
- Hình thức tổ chức: các giáo viên tiểu học được giao thực hiện cá nhân trước khi thảo 
luận tập thể để có câu trả lời thống nhất. 
 Các chiến lược giải và câu trả lời có thể xuất hiện 
- Chiến lược đại số: Thực hiện đo đạc (chiều dài 8 cm, chiều rộng 3 cm), tính toán chu 
vi (22 cm), diện tích (24 cm2), sau đó nhẩm nghiệm hoặc giải phương trình để xác định các 
số đo cần thiết của hình mới. Chẳng hạn, với lựa chọn hình mới là hình chữ nhật, cách nhẩm 
22 = 2 × (9 + 2) = 2 × (7 + 4) = 2 × (6 + 5) sẽ cho phép tìm ra các hình chữ nhật với kích 
thước 9 cm × 2 cm hoặc 7 cm × 4 cm hoặc 6 cm × 5 cm có cùng chu vi với hình chữ nhật 
MNPQ ban đầu. Cách nhẩm 24 = 24 × 1 = 12 × 2 = 6 × 4 sẽ cho phép tìm ra các hình chữ 
nhật với kích thước 24 cm × 1 cm hoặc 12 cm × 2 cm hoặc 6 cm × 6 cm có cùng diện tích 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 11 (2019): 709-716
714 
với hình chữ nhật MNPQ ban đầu. Tuy nhiên, với điều kiện hình mới vừa có cùng chu vi, 
vừa có cùng diện tích với hình chữ nhật MNPQ ban đầu thì giả định hình mới là hình chữ 
nhật sẽ đưa đến hình chữ nhật mới có kích thước 8 cm × 3 cm (sau khi giải hệ phương trình 
2 ( ) 22
. 24
x y
x y
    để tìm x, y là chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật mới), trùng khít với 
hình chữ nhật MNPQ ban đầu. Nếu không giả định hình mới là hình chữ nhật thì việc xây 
dựng hệ phương trình từ giả thiết có cùng chu vi và cùng diện tích sẽ phức tạp hơn, có thể 
cần đến hình vẽ minh họa. 
- Chiến lược hình học: Dựa vào định nghĩa chu vi một hình và đặc điểm của hình chữ 
nhật, hình vuông (các cạnh đối diện bằng nhau) để tạo ra hình mới có cùng chu vi nhưng 
khác biệt về diện tích với hình ban đầu. Dựa vào tính chất cộng tính của diện tích để tạo ra 
hình mới có cùng diện tích với hình ban đầu bằng cách cắt – ghép. Để tạo ra hình mới vừa 
có cùng diện tích, vừa có cùng chu vi thì có thể dùng cách cắt – ghép để đảm bảo có cùng 
diện tích và thử – sai nhiều trường hợp khác nhau để thỏa thêm điều kiện có cùng chu vi. 
Chẳng hạn, sau nhiều lần thử – sai thì có thể chọn ra cách cắt – ghép hình như sau: 
Hình 4. Tách – ghép tạo hình cùng chu vi và diện tích với hình chữ nhật ban đầu 
3.3. Phân tích hậu nghiệm 
Kết quả thực nghiệm cho thấy với cả ba câu a), b), c) thì các giáo viên tiểu học tham 
gia lớp bồi dưỡng đều ngầm giả định hình cần vẽ là hình chữ nhật nên cần phải xác định 
được chiều dài, chiều rộng trước khi vẽ hình. Các giáo viên tiểu học đã thực hiện đo các 
cạnh của hình, thay số vào công thức tính chu vi, diện tích của hình chữ nhật MNPQ. Sau 
đó, họ nhẩm tìm các số hạng (đối với yêu cầu cùng chu vi), nhẩm tìm các thừa số (đối với 
yêu cầu cùng diện tích) để tìm ra các số đo chiều dài, chiều rộng phù hợp để vẽ các hình chữ 
nhật có cùng chu vi (câu a) hoặc có cùng diện tích (câu b) với hình chữ nhật MNPQ ban đầu. 
Chiến lược đại số đã được các giáo viên tiểu học lựa chọn như gợi ý ở trang 65 sách giáo 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Trần Đức Thuận
715 
viên Toán 5. Chiến lược hình học hoàn toàn không được sử dụng. Tuy nhiên, với giả định 
hình mới là hình chữ nhật, chiến lược đại số không cho phép các giáo viên tiểu học xác định 
được một hình chữ nhật mới vừa có cùng chu vi, vừa có cùng diện tích nhưng không trùng 
khít với hình chữ nhật MNPQ ban đầu. Có đến 51/59 giáo viên tiểu học đã kết luận không 
có hình nào khác thỏa mãn vì hai hình vừa cùng chu vi, vừa có cùng diện tích thì bằng nhau. 
Chỉ 8/59 giáo viên tiểu học nghi ngờ rằng có thể tìm được hình thỏa mãn, nhưng sau những 
tính toán số học thì họ không chỉ ra được hình phù hợp. Như vậy, các giáo viên tham gia 
thực nghiệm đều tin rằng mệnh đề đảo ngược, “hai hình vừa cùng chu vi, vừa cùng diện tích 
thì bằng nhau”, là mệnh đề đúng. 
Sau kết quả thực nghiệm này, người nghiên cứu đã tổ chức cho các giáo viên tiểu học 
này thực hiện thao tác cắt – ghép hình theo chiến lược hình học để tìm được nhiều hình mới 
vừa có cùng chu vi, vừa có cùng diện tích với hình chữ nhật MNPQ ban đầu. Các giáo viên 
tiểu học tham gia thực nghiệm nhận ra mệnh đề đảo ngược không hẳn lúc nào 
cũng đúng. 
4. Kết luận 
Kết quả nghiên cứu cho thấy một vài điểm đáng chú ý như sau: 
- Khi nói tới “hình”, các giáo viên tiểu học thường đồng nhất với “hình tứ giác”, thậm 
chí là “hình chữ nhật” khi gặp bài toán vẽ hình mới có cùng chu vi hoặc có cùng diện tích 
với hình đã cho. 
- Chiến lược đại số được ưu tiên lựa chọn đối với kiểu nhiệm vụ dựng hình có cùng chu 
vi hoặc có cùng diện tích với hình đã cho. Đặc biệt, việc đồng nhất “hình” với “hình chữ 
nhật” càng tạo điều kiện thuận lợi hơn cho sự xuất hiện của chiến lược đại số vì một hình 
chữ nhật sẽ vẽ được khi xác định được chiều dài, chiều rộng của nó. 
- Nhiều giáo viên tiểu học thường nghĩ “hình có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau là 
hình vuông”, “hai hình vừa có cùng chu vi, vừa có cùng diện tích thì bằng nhau”. Các mệnh 
đề này không chính xác như phân tích ở trên trong trường hợp hình đa giác có nhiều hơn 4 
cạnh. Những trải nghiệm của giáo viên tiểu học với các phản ví dụ cho phép họ điều chỉnh 
sai lầm của bản thân. 
- Trong một số trường hợp cụ thể, chẳng hạn như ví dụ liên quan đến chu vi và diện tích 
nêu trong bài báo, chiến lược hình học tỏ ra hiệu quả hơn chiến lược đại số. 
 Tuyên bố về quyền lợi: Tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 11 (2019): 709-716
716 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Do Dinh Hoan, Nguyen Ang, Do Tien Dat, Do Trung Hieu, & Dao Thai Lai. (2012a). Maths 2. 
[Toan 2]. Hanoi: Vietnam Education Publishing House Limited Company. 
Do Dinh Hoan, Nguyen Ang, Do Tien Dat, Dao Thai Lai, Do Trung Hieu, Tran Dien Hien, Pham 
Thanh Tam, & Vu Duong Thuy. (2012b). Maths 3 [Toan 3]. Hai Duong: Vietnam Education 
Publishing House Limited Company. 
Do Dinh Hoan, Nguyen Ang, Vu Quoc Chung, Do Tien Dat, Do Trung Hieu, Tran Dien Hien & 
Vu Duong Thuy. (2012c). Maths 4 [Toan 4]. Son La: Vietnam Education Publishing House 
Limited Company. 
Do Dinh Hoan, Nguyen Ang, Dang Tu An, Vu Quoc Chung, Do Tien Dat, Do Trung Hieu & 
Vu Duong Thuy. (2012d). Maths 5 [Toan 5]. Hanoi: Vietnam Education Publishing House 
Limited Company. 
Do Dinh Hoan, Nguyen Ang, Dang Tu An, Vu Quoc Chung, Do Tien Dat, Vu Trung Hieu & 
Vu Duong Thuy. (2012e). Maths 5 – Teacher book [Toan 5 – Sach giao vien]. Ho Chi Minh 
City: Vietnam Education Publishing House Limited Company. 
DEVELOPING GEOMETRY KNOWLEDGE 
FOR PRIMARY TEACHERS BY REVERSING PROBLEMS 
Tran Duc Thuan 
Ho Chi Minh City University of Education 
Corresponding author: Tran Duc Thuan – Email: thuantd@hcmue.edu.vn 
Received: August 22, 2019; Revised: October 07, 2019; Accepted: October 25, 2019 
ABSTRACT 
Vietnam are going to deploy “one education program, many textbooks” in the coming years. 
This requires teachers to have good professional knowledge. However, primary teachers have to 
teach many subjects, and their knowledge is wide but not really deep so that sometimes they do not 
understand some knowledge. This misunderstanding is perhaps resulted from teachers’ limited skills 
of reversing problems. They may change binding conditions, teach definitions instead of 
characteristics and properties. The results from experiments reported in this paper confirm these 
assumptions. The paper also suggests some measures to help primary teachers develop reasoning 
skills and some Geometry knowledge. 
Keywords: perimeter; area; primary teachers; geometry; reversing problems