Phân tích dao động tấm dày bằng phương pháp phần tử tự do galerkin (EFGM)

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Tập 74B, Số 5 (2012), 75-80 
75 
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TẤM DÀY 
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ TỰ DO GALERKIN (EFGM) 
Tôn Thất Hoàng Lân 
Khoa Xây Dựng, Trường Đại học Kiến Trúc Tp. HCM 
Tóm tắt. Đối với các bài toán cơ học môi trường liên tục, việc chia lưới là cả một vấn đề, 
ta có thể gặp khó khăn khi đưa ra một mắt lưới thích hợp do cấu trúc hình học phức tạp, đôi 
khi quá trình xử lý có thể yêu cầu chia lại lưới thường xuyên. Thời gian cần thiết để ta tạo 
các mắt lưới hoặc chia lại lưới thường gấp nhiều lần so với thời gian cần thiết hình thành và 
giải quyết các hệ phương trình. Để tránh hoặc giảm công việc tạo lưới khó khăn này, người 
ta đã đề xuất một số phương pháp, thường được gọi chung là phương pháp không lưới, 
chẳng hạn: phương pháp SPH (SPHM), phương pháp RKP (RKPM), phương pháp EFG 
(EFGM), phương pháp PUFE (PUFEM) Phương pháp không lưới với các cách tiếp cận 
khác nhau của nó đã được áp dụng cho một loạt các vấn đề kỹ thuật. Chẳng hạn, G.R.Liu sử 
dụng phương pháp EFGM để phân tích vỏ và tấm mỏng. Việc áp dụng phương pháp không 
lưới phần tử tự do Galerkin (EFGM) để nghiên cứu dao động tấm dày chữ nhật đồng chất là 
chủ đề bài báo. 
Từ khoá: phương pháp không lưới, phương pháp EFGM, dao động, bình phương tối thiểu 
động, tấm dày. 
1. Hàm xấp xỉ bình phương tối thiểu động (MLS) 
 Hàm MLS đã được phát triển bởi Lancaster và Salkauskas để xấp xỉ đường 
cong và bề mặt. Xem xét miền Ω có chứa một tập hợp các nút phân tán xi(1 ≤ i ≤ n), 
tương ứng giả định các giá trị wi. Xấp xỉ MLS của hàm liên tục w trên Ω gọi là wh(x) 
được cho bởi: 
 x(x)αTp(x)i(x)α
m
1i i
P(x)hw 

 (1) 
trong đó p(x) là một tổ hợp m hàm độc lập tuyến tính, 



 (x)mp....(x)2p(x)1p(x)
Tp (2) 
 và α(x) là một tổ hợp các thông số chưa xác định, 
 (x)mα....(x)2α(x)1α(x)0α(x)Tα  (3) 
Các thông số α(x) được tìm thấy tại điểm x bất kỳ bằng cách cực tiểu: 
76 Phân tích dao động tấm dày bằng phương pháp phần tử tự do Galerkin (EFGM) 
 2iw)i(xhw).ix(x
n(x)
1i i
J(x) 

  (4) 
 2iw-(x)).i(xTp).ix(x
n(x)
1i i
J(x)  

 (5) 
)ix(xi  là hàm trọng số có giá trị khác 0 trên miền ảnh hưởng của nút xi. Chỉ 
có các nút xi mà miền ảnh hưởng chứa điểm x sẽ xuất hiện trong công thức trên. Kích 
thước miền ảnh hưởng của mỗi nút và cách lựa chọn hàm trọng số là yếu tố quyết định 
sự gần đúng của MLS. Cực tiểu J (x) để biết các thông số α(x) 
(x).B(x).w1Aα(x)  (6) 
 )n).p(xnx(xn)...2).p(x2x(x2)1).p(x1x(x1B   (7) 
)i).p(xi(x
T).pix-(x
n(x)
1i i
A 

  (8) 
Ta thay kết quả và suy ra:  nw......2w1wTw  (9) 
Φ(x).wi(x).w
n
1i i
φ(x)hw 

 (10) 
Với: iB
1ATpji(x)B(x))
1(x)(A
m
1j j
p(x)iφ


 (11) 



 (x)nφ...(x)2φ(x)1φΦ(x) (12) 
2. Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (Lý thuyết tấm dày Mindlin-Reissner) 
Đối với tấm dày, pháp tuyến của mặt trung hòa vẫn thẳng nhưng không nhất 
thiết phải vuông góc với mặt phẳng này trong suốt quá trình biến dạng. Lý thuyết của 
Mindlin-Reissner được sử dụng để tính toán biến dạng và ứng suất trong tấm dày trong 
khi lý thuyết Kirchhoff-Love được áp dụng cho các tấm mỏng. Lý thuyết của Mindlin 
giả định rằng có một sự biến đổi tuyến tính của chuyển vị thông qua độ dày tấm nhưng 
độ dày tấm không thay đổi trong suốt quá trình biến dạng. Điều này ngụ ý rằng, ứng 
suất pháp thông qua chiều dày tấm bị bỏ qua, trạng thái ứng suất phẳng xảy ra. Mặt 
khác, lý thuyết của Reissner giả định rằng ứng suất uốn là tuyến tính trong khi ứng suất 
cắt là bậc hai trên suốt chiều dày của tấm. Điều này dẫn đến một trạng thái khác mà ở 
đó chuyển vị trên suốt chiều dày tấm không nhất thiết phải tuyến tính và độ dày tấm có 
thể thay đổi trong quá trình biến dạng. Lý thuyết tấm dày Mindlin-Reissner là sự kết 
hợp lý thuyết của hai người và từ đây thường được gọi là lý thuyết biến dạng cắt bậc 
nhất. Trường chuyển vị được thể hiện theo tài liệu [10]. 
 TÔN THẤT HOÀNG LÂN 77 
α3x)2x,1(x
o
α
u(x)
α
u  (13) 
)2x,1w(x(x)3u  (14) 
1,2α  (15) 
trong đó x1, x2 , x3, 1, 2 và w lần lượt được diễn đạt như hình vẽ và oαu là 
chuyển vị trong mặt phẳng trung hòa theo 2 phương 1, 2. 
Tấm có chiều dày h thì độ cứng uốn 
)2ν12(1
3EhD

 (16) 
Hình 1. Hệ trục tọa độ và các thông số của tấm dày 
Phương trình vi phân chủ đạo: w2hρt)q(x,w22D  (17) 
Đối với dao động tự do w2hρw22D  (18) 
3. Phương pháp EFG và ví dụ số xét dao động của tấm hình chữ nhật 
Phương pháp EFG là một phương pháp kết hợp giữa xấp xỉ bình phương tối 
thiểu động MLS và dạng yếu Galerkin. Ở đây dạng yếu Galerkin thể hiện bởi phương 
trình 
    
Ω Ω
0dΩwTρδwwδwdΓ
Tλ
Ω Ω
wwdΓ
TδλσdΩTδε  (19) 
 trong đó  vuT λλλ  là toán tử Lagrange 
Xét dao động của tấm dày đồng chất hình chữ nhật có kích thước 4x4m, dày 
0.4m. Nghiệm chính xác của tần số dao động tự do theo tài liệu [10] sẽ được so sánh với 
nghiệm có được từ phương pháp EFG và ta thể hiện sự sai số giữa chúng theo các bảng 
1, 2, 3. 
78 Phân tích dao động tấm dày bằng phương pháp phần tử tự do Galerkin (EFGM) 
Hình 2. Thể hiện 3 mode dao động đầu tiên 
Ngôn ngữ Matlab đã được sử dụng để lập trình tính toán dao động tấm dày dựa 
theo phương pháp không lưới phần tử tự do Galerkin (EFGM). 
Bảng 1. Sai số giữa nghiệm gần đúng và nghiệm chính xác của mode 1 
Mode 1 55 1010 1515 2020 
100
chínhxác
chínhxácEFG 



 82% 61% 1.1% 0.2% 
Bảng 2. Sai số giữa nghiệm gần đúng và nghiệm chính xác của mode 2 
Mode 2 55 1010 1515 2020 
100
chínhxác
chínhxácEFG 



 51% 47% 0.4% 0.05% 
 TÔN THẤT HOÀNG LÂN 79 
Bảng 3. Sai số giữa nghiệm gần đúng và nghiệm chính xác của mode 3 
Mode 3 55 1010 1515 2020 
100
chínhxác
chínhxácEFG 



 8.7% 7.9% 0.33% 0.04% 
4. Kết luận 
Bài báo này đã áp dụng phương pháp không lưới phần tử tự do Galerkin để phân 
tích dao động tấm dày. Các kết quả thu được cho thấy tính chính xác, hội tụ của phương 
pháp. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. T. Belytschko, Y. Krongauz, D. Organ, M. Fleming, and P. Krysl, Meshless methods: 
An overview and recent developments, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 139, 
(1996), 3–47 . 
[2]. T. Belytschko, Y. Lu, and L. Gu., Element-Free Galerkin Methods, Int. J. Numer. Meth. 
Engng. , 37, (1994), 229–256. 
[3]. P. Lancaster and K. Salkauskas, Surfaces genarated by the moving least squares 
methods, Math.Comput. , 37, (1981), 141–158. 
[4]. GR Liu, Mesh Free Methods: Moving beyond the Finite Element Method, CRC Press, 
2003. 
[5]. L. Liu, GR Liu, and VBC Tan, Element free method for static and free vibration 
analysis of spatial thin shell structures, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. ,191, 
(2002), 5923-5942. 
[6]. K. Washizu, Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Press, second 
edition, 1975. 
[7]. Nguyen Vinh Phu, Meshless method and their computer implementation aspects. 
August 10, 2006. 
[8]. S. Timoshenko and S. Woinowsky-Krieger, Theory of plates and shells, 2d ed. 
McGraw-Hill, New York, 1959. 
[9]. P. Hein, Diffuse element method applied to Kirchhoff plates, Technical report, Dept. 
Civil Engrg, Northwestern University, Evanston, Il., 1993. 
[10]. J. N. Reddy, Theory and analysis of elastic plates, Taylor & Francis, 1999. 
80 Phân tích dao động tấm dày bằng phương pháp phần tử tự do Galerkin (EFGM) 
VIBRATION ANALYSIS OF THICK PLATE 
BY ELEMENT FREE GALERKIN METHOD (EFGM) 
Ton That Hoang Lan 
Department of Civil Engineering, HCM city University of Architecture 
Abstract. For several types of continuum mechanics problems, the mesh is an issue in 
itself: it may be difficult to devise an appropriate mesh due to geometry complexity and/or 
because the solution process may require frequent remeshing. The time taken in creating 
the mesh (or remeshing) is often several times more than the time needed to form and solve 
the systems of equations. To avoid or reduce mesh-related difficulties, several methods, 
commonly known as meshless methods have been proposed, for example the Smoothed 
Particle Hydrodynamics Method (SPHM), the Reproducing Kernel Particle Method 
(RKPM), the Element Free Galerkin Method (EFGM) and the Partition of Unity Finite 
Element Method (PUFEM), among others. These meshless methods with different 
approaches have been applied to a variety of technical issues. For example, G.R.Liu used 
EFG method to analyze thin shells and plates. This paper studies how the Element-Free 
Galerkin Method (EFGM) is used for vibration analysis of homogeneous rectangular thick 
plates based on First order Shear Deformation Theory (FSDT). 
Keywords: meshless method, EFG method, vibration, moving least square, thick plate.