Một số vấn đề về sai số và nội suy

cầu đường kính d tính bởi 
𝑉 =
1
6
𝜋𝑑3 
Cho d=3,7±0,05 và 𝜋 =3,14. Tính 𝛿𝑣 và ∆𝑉. 
Giải: Theo công thức (5) và (8) ta có 𝛿𝑣 =
𝛿𝜋 + 𝛿𝑑3 = 𝛿𝜋 + 3𝛿𝑑 
Mặt khác 𝛿𝜋 =
0,0016
3,14
= 0,0005, 𝛿𝑑 =
0,05
3,7
=
0,0135. 
Vậy 𝛿𝑉 = 0,0005 + 3.0.0135 = 0,04 
 ∆𝑉= 𝑉. 𝛿𝑉 =
1
6
. 3,14. 3,73. 0,04 = 1,06 
2.3. Sai số hệ thống và sai số tính toán 
Nói chung sai số hệ thống hay sai số phương 
pháp được xác định thông qua sai số tính toán của 
phương pháp đó. Để sáng tỏ điều này ta xét chi tiết 
ví dụ sau: 
Ví dụ 1 
Tính 𝐴 = (√2 − 1)10 bằng 2 phương pháp 
Cách 1: Tính trực tiếp 𝐴 = (√2 − 1)10 
Cách 2: Áp dụng khai triển Newton ta được 
A=3363-2378√2 
√2 (√2 − 1)10 3363-2378√2 
1,4 0,0001048576 33,8 
1.41 0,00013422659 10,02 
1,41421 0,00014866399 0,00862 
1,414213563 0,00014867678 0,0001472 
Kết quả khác biệt đó xảy ra vì theo công thức 
(3), mỗi phương pháp có sai số tính toán khác 
nhau. Cụ thể theo công thức (3) 
Sai số tính toán theo cách 1 
A=(x-1)10 
Suy ra: ∆𝑎= 10. (𝑥 − 1)
9∆𝑥 
Sai số tính toán theo cách 2 
A=3363-2378x 
Suy ra: ∆𝑎= 2378∆𝑥 
Ta nhận thấy rằng xấp xỉ x = 1,4 có sai số tuyệt 
đối x = 0,05. Tính sai số như trên dễ dàng lý giải 
sự khác biệt kết quả trong Bảng 1 (các dòng sau 
của Bảng 1 có sai số được tính tương tự). 
Sự ổn định 
Xét một quá trình tính vô hạn (tức là gồm vô 
số bước) để tính ra một đại lượng nào đó. Ta nói 
quá trình tính là ổn định nếu sai số tính toán tức là 
các sai số quy tròn tích lũy lại không tăng vô hạn. 
Nếu sai số đó tăng vô hạn thì ta nói quá trình 
tính là không ổn định. 
Rõ ràng nếu quá trình tính không ổn định thì 
khó có hy vọng tính được đại lượng cần tính với 
sai số nhỏ hơn sai số cho phép. Cho nên trong tính 
toán nên tránh các quá trình tính không ổn định. 
Để kiểm tra tính ổn định của một quá trình 
tính thường người ta giả sử sai số chỉ xảy ra tại 
một bước, sau đó các phép tính đều làm đúng 
không có sai số, nếu cuối cùng sai số tính toán 
không tăng vô hạn thì xem như quá trình tính là 
ổn định. 
Ví dụ2 
Xét quá trình tính 
yi+1 = qyi 
yo và q cho trước. 
Giả sử tại bước i xác định nào đó khi tính yi ta 
phạm một sai số 𝛿𝑖 (đây không phải là kí hiệu của 
sai số tương đối như trước đây), nghĩa là thay cho 
yi ta chỉ thu được 𝑦�̃�. Giả sử: 
|�̃�𝑖 − 𝑦𝑖| = 𝛿, 𝛿 > 0 
Sau đó thay cho 𝑦𝑖+1 ta có �̃�𝑖+1 với (11) 
�̃�𝑖+1 = 𝑞�̃�𝑖 
Lấy (11) trừ (9) vế với vế ta được: 
�̃�𝑖+1 − 𝑦𝑖+1 = 𝑞�̃�𝑖 − 𝑞𝑦𝑖 
�̃�𝑖+1 − 𝑦𝑖+1 = 𝑞(�̃�𝑖 − 𝑦𝑖) 
Tiếp theo đó ta có: 
�̃�𝑖+2 = 𝑞�̃�𝑖+1 
𝑦𝑖+2 = 𝑞𝑦𝑖+1 
Bằng phép trừ như trên ta lại có: 
�̃�𝑖+2 − 𝑦𝑖+2 = 𝑞(�̃�𝑖+1 − 𝑦𝑖+1) 
= 𝑞2(�̃�𝑖 − 𝑦𝑖) 
Một cách tổng quát ta có (12) 
�̃�𝑖+𝑛 − 𝑦𝑖+𝑛 = 𝑞
𝑛(�̃�𝑖 − 𝑦𝑖) 
Như vậy, nếu ở bước thứ i ta mắc một sai số 
|�̃�𝑖 − 𝑦𝑖| = 𝛿 và sau đó mọi phép tính đều làm 
đúng thì ở bước i+n ta sẽ mắc sai số: 
|�̃�𝑖+𝑛 − 𝑦𝑖+𝑛| = |𝑞|
𝑛𝛿
Bảng 1. Kết quả của A tính theo 2 cách. 
90 Nguyễn Văn Ngọc, Tô Văn Đinh/Tạp chí Khoa học Kỹ thuật Mỏ - Địa chất 60 (1), 87 - 92 
(13) 
(14) 
Ta thấy có hai trường hợp cần phân biệt: 
1) Trường hợp |q|≤1 lúc đó |𝑞|𝑛 ≤ 1 nên sai 
số 
�̃�𝑖+𝑛 − 𝑦𝑖+𝑛 ≤ 𝛿, ∀𝑛 
Nghĩa là sai số tính toán bị chặn (không tăng 
vô hạn). Vậy quá trình tính ổn định. 
2) Trường hợp |q|>1 lúc đó |𝑞|𝑛 tăng khi n 
tăng và |𝑞|𝑛 → ∞ khi 𝑛 → ∞, nên sai số 
|�̃�𝑖+𝑛 − 𝑦𝑖+𝑛| → ∞ 𝑘ℎ𝑖 𝑛 → ∞ 
Vậy quá trình tính không ổn định. 
Trong thực tế, mặc dù quá trình tính là vô hạn, 
người ta cũng chỉ làm một số hữu hạn bước, 
nhưng vẫn phải đòi hỏi quá trình tính ổn định mới 
hy vọng với một số hữu hạn bước có thể đạt được 
mức độ chính xác mong muốn. 
4. Nội suy đối với hàm số hai biến số 
Các tài liệu phương pháp tính chỉ đề cập bài 
toán nội suy cho hàm số một biến số. Theo yêu cầu 
của các nhà kỹ thuật chúng tôi mở rộng nội suy 
cho hàm số hai biến số theo hai phương pháp sau. 
4.1. Nội suy theo phương pháp Lagrange 
Bài toán 1 
Cho trước hệ lưới điểm ba chiều 
x x1 x2 ... xn 
y y1 y2 ... yn 
z z1 z2 ... zn 
Tìm hàm số z = F(x,y) thoả mãn bảng 2 dạng 
đa thức Lagrange. 
Hàm F(x,y) được thành lập theo hai bước sau 
Bước 1 
Lập hàm số sau, gọi là đa thức Lagrange cơ sở: 
𝐼𝑖(𝑥, 𝑦) =
(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥𝑖−1)(𝑥−𝑥𝑖+1)(𝑥−𝑥𝑛)
(𝑥𝑖−𝑥1)(𝑥𝑖−𝑥𝑖−1)(𝑥𝑖−𝑥𝑖+1)(𝑥𝑖−𝑥𝑛)
∗
(𝑦−𝑦1)(𝑦−𝑦𝑖−1)(𝑦−𝑦𝑖+1)(𝑦−𝑦𝑛)
(𝑦𝑖−𝑦1)(𝑦𝑖−𝑦𝑖−1)(𝑦𝑖−𝑦𝑖+1)(𝑦𝑖−𝑦𝑛)
xi, yi (1 ≤ I ≤ n) cho ở Bảng 2. 
Bước 2 
Lập hàm số 
𝐹(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝐼𝑖(𝑥, 𝑦)𝑧𝑖
𝑛
𝑖=1 
Dễ dàng kiểm nghiệm z = F(x,y) nghiệm đúng 
Bảng 2. 
Ví dụ 1 
Tìm đa thức nội suy Lagrange biết lưới điểm 
như Bảng 3. 
TT x y z 
1 2 2 0 
2 2 0 2 
3 2 -2 0 
4 0 1 0 
5 0 0 1 
6 0 -1 0 
7 -2 2 0 
8 -2 0 2 
9 -2 -2 0 
Giải như Bảng 4 
x y 
Tử số của đa thức 
Lagrange cơ sở 
Mẫu số của 
Đa thức cơ sở 
z 
2 2 
x(x+2)(y-1)y 
(y+1)(y+2) 
192 0 
2 0 
x(x+2)(y-2) 
(y-1)(y+1)(y+2) 
32 2 
2 -2 
x(x+2)(y-2) 
(y-1)y(y+1) 
192 0 
0 1 
(x-2)(x+2)(y-2) 
y(y+1)(y+2) 
24 0 
0 0 
(x-2)(x+2)(y-2) 
(y-1)(y+1)(y+2) 
-16 1 
0 -1 
(x-2)(x+2)(y-2) 
 (𝑦 − 1)𝑦(𝑦 + 2) 
24 0 
-2 2 
(𝑥 − 2)𝑥(𝑦 − 1)𝑦 
(𝑦 + 1)(𝑦 + 2) 
192 0 
-2 0 
(𝑥 − 2)𝑥(𝑦 − 2) 
(𝑦 − 1)(𝑦 + 1)(𝑦 + 2) 
32 2 
-2 -2 
(𝑥 − 2)𝑥(𝑦 − 2) 
(𝑦 − 1)𝑦(𝑦 + 1) 
192 0 
Vậy hàm số cần tìm: 
𝐹(𝑥, 𝑦) =
𝑥(𝑥+2)(𝑦−2)(𝑦−1)(𝑦+1)(𝑦+2)
32
. 2 +
(𝑥−2)(𝑥+2)(𝑦−2)(𝑦−1)(𝑦+1)(𝑦+2)
16
+
(𝑥−2)𝑥(𝑦−2)(𝑦−1)(𝑦+1)(𝑦+2)
32
. 2 
Bảng 2. Bảng giá trị của hàm số tại n điểm cho trước. 
Bảng 3. Lưới điểm đa thức nội suy Lagrange. 
Bảng 4. Kết quả đa thức nội suy Lagrange. 
 Nguyễn Văn Ngọc, Tô Văn Đinh/Tạp chí Khoa học Kỹ thuật Mỏ - Địa chất 60 (1), 87 - 92 91 
(15) 
(16) 
𝐹(𝑥, 𝑦) =
1
16
[𝑥(𝑥 + 2)(𝑦 − 2)(𝑦 − 1)(𝑦 +
1)(𝑦 + 2) + (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑦 − 2)(𝑦 − 1)(𝑦 +
1)(𝑦 + 2) + (𝑥 − 2)𝑥(𝑦 − 2)(𝑦 − 1)(𝑦 +
1)(𝑦 + 2)] 
4.2. Nội suy bởi hệ hàm độc lập tuyến tính 
Bài toán 2 
Chọn trước một họ gồm n hàm số, gọi là họ 
hàm cơ sở 
𝑓1(𝑥, 𝑦); 𝑓2(𝑥, 𝑦);  ; 𝑓𝑛(𝑥, 𝑦). 
Tìm z = F(x,y) thỏa mãn bảng 2 dạng 
𝑧 = 𝑎1𝑓1(𝑥, 𝑦) + 𝑎2𝑓2(𝑥, 𝑦) + 
 + 𝑎𝑛𝑓𝑛(𝑥, 𝑦) 
Trong đó: 𝑎1; 𝑎2;  ; 𝑎𝑛 là các tham số. 
Hàm F(x,y) được thành lập theo 2 bước sau: 
Bước 1 
Giải hệ phương trình tuyến tính sau với 
𝑎1; 𝑎2;  ; 𝑎𝑛 là ẩn, xi, yi, zi (1 ≤ i ≤ n) cho ở Bảng 2 
{
𝑎1𝑓1(𝑥1, 𝑦1) + 𝑎2𝑓2(𝑥1, 𝑦1) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑓𝑛(𝑥1, 𝑦1) = 𝑧1
𝑎1𝑓1(𝑥2, 𝑦2) + 𝑎2𝑓2(𝑥2, 𝑦2) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑓𝑛(𝑥2, 𝑦2) = 𝑧2
𝑎1𝑓1(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛) + 𝑎2𝑓2(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑓𝑛(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) = 𝑧𝑛
Bước 2 
Lập hàm số z = F(x,y) theo công thức (15) 
Để giải được hệ cần điều kiện cho hệ hàm cơ 
sở là ma trận của hệ (16) không suy biến. 
Ví dụ 2 
Tìm hàm nội suy cho lưới điểm ở Ví dụ 1. 
Giải: Do tính đối xứng của hàm lưới, nên ta chỉ 
cần nội suy cho các điểm lưới trong góc phần tư I, 
và hệ hàm cơ sở là các hàm chẵn theo x và y. 
Trong góc phần tư I có 4 điểm lưới. Chọn 4 
hàm cơ sở là 𝑥2 ; 𝑦2 ; 𝑦4 ; 1 . 
Hàm nội suy có dạng 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 +
𝑐𝑦4 + 𝑑. 
TT x y x2 y2 y4 1 z 
1 0 0 0 0 0 1 1 
2 0 1 0 1 1 1 0 
3 2 2 4 4 16 1 0 
4 2 0 4 0 0 1 2 
Vậy a, b, c, d là nghiệm của hệ 
(
0 0
0 1
0 1
1 1
4 4
4 0
16 1
0 1
) (
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
) = (
1
0
0
2
) 
Giải hệ được nghiệm: 
(
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
) = (
0,25
−0,16667
0,166667
1
). 
Vậy hàm số cần tìm là 
0.25𝑥2 − 1,16667𝑦2 + 0,166667𝑦4 + 1 
Ví dụ 3 
Giải ví dụ 2 với hệ hàm cơ sở khác. 
Giải: Trong góc phần tư I có 4 điểm lưới. Chọn 
4 hàm cơ sở chẵn theo biến x và y là 
cos 𝑥 ; cos 𝑦 ; cos 2𝑦 ; 1. 
Hàm nội suy có dạng 𝐹(𝑥, 𝑦) = a cos 𝑥 +
𝑏 cos 𝑦 + 𝑐 cos 2𝑦 + 𝑑. 
Lập bảng giá trị 
x y cos(x) cos(y) cos(2y) 1 z 
0 0 1 1 1 1 1 
0 1 1 0.540302 -0.41615 1 0 
2 2 -0.41615 -0.41615 -0.65364 1 0 
2 0 -0.41615 1 1 1 2 
Vậy a, b, c, d là nghiệm của hệ 
( 
1
1
−0,41615
−0,41615
1
0,540302
−0,41615
1
1
−0,41615
−0,65364
1
1
1
1
1
) 
(
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
) = (
1
0
0
2
) 
Giải hệ được nghiệm 
(
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
) = (
−0,70614
0,946482
0,398902
0,360757
) 
Vậy hàm nội suy cần tìm là 
𝐹(𝑥, 𝑦) = −0,70614 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 0,946482 𝑐𝑜𝑠 𝑦 +
+0,398902 𝑐𝑜𝑠 2𝑦 + 0,360757 
Bảng 5. Bảng giá trị 
Bảng 6. Bảng giá trị 
92 Nguyễn Văn Ngọc, Tô Văn Đinh/Tạp chí Khoa học Kỹ thuật Mỏ - Địa chất 60 (1), 87 - 92 
5. Kết luận 
Bài báo này trình bày các phương pháp nội 
suy hàm số hai biến số theo định hướng ứng dụng. 
Chúng tôi lựa chọn cách lấy ví dụ để chứng minh 
cho hiệu quả của các phương pháp đã trình bày, 
phù hợp với tư duy biện chứng của các nhà kỹ 
thuật. 
Chúng tôi chân thành cám ơn các đồng nghiệp 
đã tin tưởng đặt vấn đề. Tác giả rất vui và rất sẵn 
sàng tiếp tục trao đổi cùng các bạn ở các lĩnh vực 
liên quan đến ứng dụng của toán học trong kỹ 
thuật. 
Tài liệu tham khảo 
Tô Văn Đinh, 2016, Phương pháp tính. Nhà xuất 
bản giáo dục Việt Nam. 
Võ Trọng Hùng, 1992, Nghiên cứu xây dựng sơ đồ 
tính toán lớp đất đá bảo vệ đáy moong khai 
thác chịu tác dụng của nước ngầm cao áp. Tạp 
chí Công nghiệp Mỏ 4. 12-14. 
Võ Trọng Hùng. 1993, Nghiên cứu tính toán chiều 
dày lớp đất đá bảo vệ chịu ảnh hưởng của áp 
lực nước ngầm trong khai thác lộ thiên. Tuyển 
tập các công trình khoa học Hội nghị Cơ học 
Toàn quốc Lần thứ 5. Tập 5. 78-83. 
ABSTRACT 
Some problems about errors and interpolation. 
Ngoc Van Nguyen, Dinh Van To 
Faculty of General Education, Hanoi University of Minning and Geology, Vietnam 
All computations contain errors. In the first part of this article, computational errors are defined and 
examined through several examples. We highlight the importance of selecting appropriate computation 
method to ensure numerical stability. The second part of the article discusses data interpolation using 
Lagrange polynomials. We demonstrate how Lagrange method can be extended for engineering 
applications that involve more than one independent variable.