Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực vận dụng phương pháp tọa độ vào một số dạng toán hình học không gian Trung học phổ thông

. Các thành tố của năng lực vận dụng phương pháp tọa độ vào giải toán 
hình học không gian 
Một số thành tố cơ bản: 
2.2.1. Năng lực huy động kiến thức, vận dụng các tính chất, các công thức vào việc 
giải nhanh và chính xác bài tập dạng tính toán (tính góc, tính khoảng cách). 
2.2.2. Năng lực trình bày lời giải một cách chặt chẽ, lôgic và có cơ sở lý luận. 
2.2.3. Năng lực phân tích, tổng hợp giả thiết và kết luận của bài toán để định 
hướng lời giải. 
2.2.4. Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ trong quá trình giải toán (từ ngôn ngữ hình 
học sang ngôn ngữ tọa độ, đại số). 
2.3. Đề xuất một số biện pháp bồi dưỡng năng lực vận dụng phương pháp tọa 
độ vào một số dạng toán hình học không gian 
2.3.1. Biện pháp 1: Thường xuyên củng cố kiến thức về phương pháp tọa độ trong 
không gian cho học sinh và các kiến thức có liên quan khác 
Để giải được bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ đòi hỏi 
học sinh phải nắm vững những kiến thức cơ bản về tọa độ trong không gian. Kiến 
thức là điều kiện cần để giải một bài toán; do đó, khâu củng cố kiến thức khá quan 
trọng. Đối với một bài toán cụ thể, sau khi đọc đề bài xong ta nên phân tích đề và 
nhắc lại những kiến thức có liên quan. Thường xuyên nhắc đi nhắc lại những nội 
dung kiến thức cũng là một cách thiết thực để học sinh ghi nhớ. 
Tóm tắt kiến thức cơ bản cần nhớ về phương pháp tọa độ trong không gian. 
Ví dụ 1 [4,185]: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D có các cạnh bên 
', ', ', 'AA BB CC DD và cạnh AB a . Cho các điểm ,M N trên cạnh 'CC sao cho 
'CM MN NC  . Xét mặt cầu  S đi qua bốn điểm , ', ,A B M N . 
a) Chứng minh ',A B thuộc mặt cầu  S . 
b) Xác định tâm và bán kính của  S theo a . 
Để giải được ví dụ trên, đòi hỏi học sinh phải nhớ lại kiến thức về phương 
trình mặt cầu dạng khai triển, tâm và bán kính xác định như thế nào. Đây là đòi hỏi 
thiết yếu, tiếp đến ta có thể kết hợp vừa hướng dẫn vừa gợi mở cho học sinh: 
Cách chọn hệ trục tọa độ Oxyz như thế nào? 
Điểm ',A B thuộc mặt cầu  S khi nào? Khi tọa độ của nó thỏa mãn phương 
trình mặt cầu  S . 
Để xác định tâm, bán kính của  S thì ta cần viết được phương trình mặt cầu 
 S . 
Tóm lại, kiến thức chuẩn bị cho việc giải ví dụ trên là: 
Tọa độ của điểm; 
Phương trình mặt cầu  S dạng khai triển: 
HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TOÁN-TIN THÁNG 05/2015 
70 
x
z
y
C'
D'
D
A'
A
B
B'
C
N
M
  2 2 2 2 2 2: 2 2 2 0, ( )S x y z x by cz d b c d           trong đó, tâm  , ,I b c và 
bán kính 2 2 2R b c d    . 
Ngoài ra, từ giả thiết mặt cầu  S đi qua bốn điểm , ', ,A B M N dẫn đến hệ 
phương trình cũng đòi hỏi học sinh nhớ lại cách giải hệ phương trình để tìm , , ,b c d 
theo a (giải bằng phương pháp thế kết hợp cộng đại số). 
Giải 
a) Chứng minh ',A B thuộc  S . 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như sau: 
 Gốc O A ; 
 Trục Ox đi qua AB ; 
 Trục Oy đi qua AD ; 
 Trục Oz đi qua 'AA . 
Khi đó: 
         0;0;0 , ;0;0 , ; ;0 , 0; ;0 , ' 0;0;A B a C a a D a A a . 
Ta có: 
2 2
; ; ; ; ;
3 3 3 3
a a a a
CM M a a CN N a a
   
      
   
. 
Phương trình mặt cầu  S có dạng: 
 2 2 2 2 2 22 2 2 0,( )x y z x by cz d b c d           . 
 S qua , ', ,A B M N dẫn đến hệ 
2
2
2
0
2
2 2 2 0
7
19 2 182 2 0
9 3
22 4 22 2 0
9 3 0
a
d
a a ca
a
b
a a ba ca
a
c
a a ba ca
d




 
      
    
 
 
    
  
 . 
Suy ra   2 2 2
7
: 0
9
a
S x y z ax y az      . 
Thay tọa độ    ' 0;0; , ;0;0A a B a vào phương trình  S : 
2 . 0a a a  (đúng)  'A S  ; 2 . 0a a a  (đúng)  B S  . 
b) Xác định tâm và bán kính của  S theo a . 
Từ phương trình mặt cầu  S suy ra tâm 
7
; ;
2 18 2
a a a
I
 
 
 
 và bán 
kính 2 2 2
211
18
a
R b c d     . 
2.3.2. Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh khả năng nhận biết một bài toán hình 
học không gian bằng phương pháp tọa độ 
HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TOÁN-TIN THÁNG 05/2015 
71 
x
y
z
O
A
B
C
M
N
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxyz với cơ sở trực chuẩn  , ,i j k , những bài toán 
hình học không gian có phần giả thiết ở những dạng sau có thể dùng phương pháp 
tọa độ để giải: 
 Hình đã cho có một đỉnh là một tam diện vuông. 
 Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy và đáy là các tam giác 
vuông, tam giác đều, hình vuông, hình chữ nhật, 
 Hình lập phương, hình hộp chữ nhật. 
 Hình đã cho có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, trong mặt 
phẳng đó có những đa giác đặc biệt: tam giác vuông, tam giác đều, 
hình thoi, 
 Hình chóp đều: hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều, 
Ví dụ 2 [4, 169]: Cho tứ diện OABC có , ,OA OB OC đôi một vuông góc, 
2 , 2AC OB BC OA  . Vẽ OM AC tại M , ON BC tại N . 
a) Chứng minh MN OC . 
b) Tính cosMON . 
Giải 
Ta có: 
2 2 2
2 2 2
OA OC AC
OB OC BC
  

 
2 2 2 24 4OB OA OA OB OA OB      . 
Đặt 3OA OB a OC a    . 
Từ giả thiết , ,OA OB OC đôi một vuông góc dẫn đến việc 
chọn hệ trục tọa độ Oxyz như sau: 
 Gốc O ; 
 Trục Ox đi qua OA ; 
 Trục Oy đi qua OB ; 
 Trục Oz đi qua OC . 
Khi đó:        0;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; 3O A a B a C a . 
a) Chứng minh MN OC . Ta cần chứng minh: . 0MN OC  . 
Từ giả thiết kết hợp chọn hệ trục toa độ, ta tìm được: 
3 3 3 3
;0; ; 0; ;
4 4 4 4
a a a a
M N
   
      
   
 . 
Xét  3 3. ; ;0 . 0;0; 3 0
4 4
a a
MN OC a
 
   
 
. 
Vậy MN OC . 
b) Tính cosMON . 
Ta có: 
. 1
cos
. 4
OM ON
MON
OM ON
  . 
HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TOÁN-TIN THÁNG 05/2015 
72 
x
z
y
N
M
C'
D'
D
A'
A
B
B'
C
z
y
x
B'
C'
N
D'
A
M
B
D
C
O
A'
2.3.3. Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ năng thiết lập hệ trục tọa độ đối với mỗi loại hình 
và cho học sinh giải bài toán hình học không gian bằng nhiều cách với việc 
chọn hệ trục tọa độ khác nhau 
 Đưa ra cách chọn hệ trục tọa độ đối với mỗi loại hình (chủ yếu là những hình 
thường gặp). 
Ví dụ 3 [4, 162]: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D cạnh bằng a . Gọi ,M N 
lần lượt là trung điểm cạnh , 'BC DD . Chứng minh rằng:  // 'MN A BD . 
Theo giả thiết bài toán: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D cạnh bằng a 
nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz như sau: 
Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ như sau: 
 Gốc O A ; 
 Trục Ox đi qua AB ; 
 Trục Oy đi qua AD ; 
 Trục Oz đi qua 'AA . 
Khi đó:        0;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , ' 0;0;A B a D a A a 
Phương trình  'A BD có dạng: 
1 0
x y z
x y z a
a a a
        . 
Suy ra vectơ pháp tuyến của  'A BD là  1;1;1n  . 
M là trung điểm ; ;0
2
a
BC M a
 
  
 
 ; N là trung điểm ' 0; ;
2
a
DD N a
 
  
 
. 
Suy ra ; ;
2 2
a a
MN a
 
  
 
. 
Ta có: . 0nMN n MN   . 
Vậy  // 'MN A BD . 
Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ như sau: 
Gốc O , với O AC BD  ; 
Tia Ox đi qua O , song song với AB ; 
Tia Oy đi qua O , song song với AD ; 
Tia Oz đi qua O , song song với 'AA . 
Khi đó: 
 0;0;0 , ;0;0 , ; ;0 , ; ;0
2 2 2 2 2
a a a a a
O M A C
     
      
     
, 
; ;0 , ; ;0 , ' ; ; , ' ; ;
2 2 2 2 2 2 2 2
a a a a a a a a
B D A a D a
       
           
       
. 
Ta có: N là trung điểm ' ; ;
2 2 2
a a a
DD N
 
  
 
. 
HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TOÁN-TIN THÁNG 05/2015 
73 
Tiếp tục, tính ; ;
2 2
a a
MN a
 
  
 
 và vectơ pháp tuyến của  'A BD 
là  2' , ' 1;1;1n A B A D a    . 
Suy ra . 0nMN n MN   . 
Vậy  // 'MN A BD . 
2.3.4. Biện pháp 4: Rèn luyện năng lực chuyển đổi ngôn ngữ trong quá trình giải 
toán hình học không gian 
Việc chuyển đổi ngôn ngữ trong quá trình giải toán hình học không gian là 
rất quan trọng. Vì vậy, chúng ta cần rèn luyện cho học sinh năng lực chuyển đổi 
ngôn ngữ, cụ thể là từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ, đại số. 
Một vài ví dụ về cách chuyển từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ: 
 Ba điểm phân biệt , ,A B C thẳng hàng tương đương tọa độ một điểm 
thỏa phương trình đường thẳng đi qua hai điểm kia, hoặc AB k AC . 
 Bốn điểm phân biệt , , ,A B C Dđồng phẳng tương đương tọa độ một 
điểm thỏa phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm kia, hoặc 
, . 0AB AC AD    . 
Thiết lập bảng chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ: 
 Chuyển đổi khái niệm; 
 Chuyển đổi các mối quan hệ. 
2.3.5. Biện pháp 5: Cho nhiều bài tập hình học không gian giải bằng phương pháp 
tọa độ, hệ thống hóa theo dạng với mức độ từ dễ đến khó 
Đưa ra hệ thống bài tập theo dạng với mức độ từ dễ đến khó: 
 Dạng toán chứng minh quan hệ song song và vuông góc. 
 Dạng toán tính toán: tính khoảng cách, tính góc. 
 Dạng toán tính diện tích, thể tích. 
3. Kết luận 
Trên đây là một số biện pháp tôi đưa ra với mong muốn bồi dưỡng năng lực vận 
dụng phương pháp tọa độ cho học sinh trong việc giải toán hình học không gian. 
Bên cạnh đó là làm sáng tỏ sự cần thiết của việc giải toán hình học không gian bằng 
phương pháp tọa độ. Hy vọng những biện pháp nêu trên bước đầu giúp học sinh làm 
quen và tiến tới nâng cao, bồi dưỡng năng lực giải toán hình học không gian bằng 
phương pháp tọa độ; giúp học sinh hứng thú với môn hình học đặc biệt các bài toán 
về hình học không gian. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. V. N. Cương (Chủ biên) P. K. Ban, L. H. Hùng, T. Mân, Bài tập Hình học 12 
nâng cao, NXB Giáo dục. 
2. Đ. Quỳnh (Tổng chủ biên), V. N. Cương (Chủ biên), P. K. Ban, L. H. Hùng, T. 
Mân, Sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao, NXB Giáo dục. 
3. L. X. Trường (2013), Bồi dưỡng năng lực giải toán cho sinh viên ngành sư 
phạm toán trình độ cao đẳng qua dạy học môn số học, Báo cáo và tổng kết đề 
tài khoa học và công nghệ cấp cơ sở, Trường Đại học Đồng Tháp. 
HỘI NGHỊ NCKH KHOA SP TOÁN-TIN THÁNG 05/2015 
74 
4. V. T. Văn (Chủ biên), L. H. Dương, N. N. Giang, Chuyên đề ứng dụng tọa độ 
trong giải toán hình học không gian, NXB Đại học sư phạm.