Một nghiên cứu về đọc hình vẽ biểu diễn đối tượng hình học trong không gian của học sinh Lớp 11

22 câu trả lời kiểu này (19,6%) trong bài 
toán 2. Điều này khẳng định tầm quan 
trọng của biến dạy học “tính chất của đối 
tượng” và cụ thể hơn, học sinh bị hạn chế 
với các mặt phẳng được trình bày trong 
trường hợp đối tượng được nghiên cứu là 
một khối đa diện thường xuyên hơn trong 
các trường hợp khác. 
6.5.2. Bài toán nghiên cứu vị trí tương 
đối của đường thẳng và mặt phẳng 
Trường hợp đối tượng nghiên cứu 
không phải là hình hộp 
Bảng 2: Chính là ba bài toán 3, 4 và 5 có kết quả thực nghiệm 
được trình bày trong bảng 2 
Bài toán 3 4 5 
Kiểu trả lời C K KB C K KB C K KB 
Số lượng 
Phần trăm 
36 
17,5 
8 
3,9 
162 
78,6 
80 
38,8 
6 
2,9 
120 
58,3 
142 
68,9 
0 
0 
64 
31,1 
Trong bài toán 3, mặc dù có gần 80% 
câu trả lời kiểu “KB”, nhưng học sinh đã 
sử dụng một số quy tắc ngầm ẩn của hình 
vẽ biểu diễn: “Thiếu dấu nét đứt đoạn”, 
“Cần kéo dài đoạn thẳng để xem”, “Cần 
làm rõ giao điểm”. 
Tám học sinh đã trả lời “K” mà không 
chứng minh câu trả lời bằng sự thiếu vắng 
nét đứt đoạn. 
Trong 36 câu trả lời “C”, có 8 chứng 
minh đề cập đến quy tắc diễn giải “đường 
thẳng – cắt – mặt phẳng” và 14 sử dụng 
M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN 
46 
một phần kết quả hình học: một đường 
thẳng hoặc song song hoặc cắt một mặt 
phẳng, trong đó chứng minh đường thẳng d 
không song mặt phẳng (P) bằng cách sử 
dụng quy tắc diễn giải “đường thẳng – 
song song – mặt phẳng” (phỏng đoán 2) 
Trong bài toán 4, phần lớn các chứng 
minh cho câu trả lời kiểu “C” là: 
“Có, vì A và B nằm hai phía của mặt 
phẳng (P)”. Một số học sinh đã cho rằng “A 
nằm phía trên (P) và B nằm bên dưới (P)”. 
Các chứng minh này là một phần quy tắc 
diễn giải “ở trên / ở dưới” (phỏng đoán 1). 
“Có, vì đường thẳng AB không song 
song với (P)”. Chúng tôi nghĩ rằng các học 
sinh đưa ra các chứng minh này vì đường 
thẳng AB không song song với bất kỳ cạnh 
nào của hình bình hành (quy tắc diễn giải 
“đường thẳng – song song – mặt phẳng”). 
Các chứng minh “Vì A và B nằm hai 
phía mặt phẳng (P)”, “Vì đường thẳng AB 
xuyên qua (P)” và “Nếu ta mở rộng mặt 
phẳng (P) ra” “thì đường thẳng cắt mặt 
phẳng” là hệ quả của sự phân hoạch mặt 
phẳng “ở trên / ở dưới”. 
Trong bài toán 5, câu trả lời “C” chiếm 
đa số thuộc kiểu “Có, vì đường thẳng song 
song với một đường thẳng của mặt phẳng” 
(chiếm 40%) hay “Có, vì đường thẳng d 
không cắt mặt phẳng (P)” (chiếm 15%). 
Trường hợp đối tượng nghiên cứu là 
một hình hộp. 
Bảng 3: Chính là bốn bài toán 6, 7, 8 và 9 có kết quả được trình bày trong bảng 3 
Bài toán 6 7 8 9 
Kiểu trả lời C K KB C K KB C K KB C K KB 
Số lượng 
Phần trăm 
2 
0,9 
134 
65,1 
70 
34 
46 
22,3 
10 
4,9 
150 
72,8 
24 
11,7 
32 
15,5 
150 
72,8 
20 
9,7 
16 
7,8 
170 
82,5 
Trong bài toán 6, đa số câu trả lời 
trùng với mong đợi của chúng tôi, nghĩa là 
trả lời “K”. Trong số đó, có 50 học sinh đã 
chứng minh với luận chứng liên quan đến 
sự hiển nhiên về mặt nhận thức: “Không, 
nó cho thấy rõ”. 
Có 64 học sinh đã chứng minh với luận 
chứng “Không, vì d không song song với 
bất kỳ đường thẳng nào của mặt phẳng” hay 
“Không, vì đường thẳng d không song song 
với đường thẳng AC”. Các câu trả lời này là 
hệ quả của quy tắc diễn giải “đường thẳng – 
song song – mặt phẳng”. Cụ thể hơn, các 
học sinh này đã sử dụng kết quả là nếu 
đường thẳng không song song với bất kỳ 
đường thẳng nào của mặt phẳng thì nó 
không song song với mặt phẳng đó. 
 Trong ba bài toán 7, 8 và 9, mặc dù 
câu trả lời kiểu “KB” chiếm tỉ lệ phần trăm 
khá cao, nhưng chỉ có 30% của các câu trả 
lời này là đúng. Một loại chứng minh khác 
cho câu trả lời “KB” (chiếmj 30%) dựa trên 
thực tế là “đường thẳng d song song với 
mặt phẳng (ABCD) hay nằm trong mặt 
phẳng này”. 
Sự thiếu vắng của đánh dấu giao điểm 
hay nét đứt đoạn cho phép học sinh 
(khoảng 10%) kết luận về sự giao nhau của 
hai đườnh thẳng hay của một đường thẳng 
và một mặt phẳng. 
6.5.3. Bài toán nghiên cứu vị trí tương 
đối của hai đường thẳng 
NGUYỄN ÁI QUỐC 
47 
Bảng 4: Các kết quả liên quan đến hai bài toán 10 và 11 được trình bày trong bảng 4 
Bài toán 10 11 
Kiểu trả lời C K KB C K KB 
Số lượng 
Phần trăm 
40 
19,4 
136 
66 
30 
14,6 
134 
65,1 
18 
8,7 
54 
26,2 
Câu trả lời chiếm đa số đối với bài toán 
10 là “K”và đối với bài toán 11 là “C”. 
Trong câu trả lời “K” của bài toán 10, 
có 31 học sinh chứng minh “vì chúng không 
được chứa trong cùng một hình bình hành” 
và có 37 học sinh chứng minh “vì chúng 
không có giao điểm chung trên hình vẽ”. 
Trong 18 câu trả lời “K” của bài toán 
11, chỉ có 6 học sinh đã chứng minh “d và 
d’ không cắt nhau vì giao điểm của chúng 
lần lượt với giao tuyến của hai mặt phẳng 
(SAB) và (SCD) là hai điểm phân biệt”. 
Các chứng minh khác cho câu trả lời 
“K” là “d và d’ không nằm trong cùng một 
mặt phẳng” hay “các mặt phẳng không 
cắt nhau”. 
Các chứng minh cho câu trả lời “C” 
chủ yếu là: 
- “d và d’ cắt nhau vì chúng cùng 
nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau” (49%). 
- “Bằng cách kéo dài hai đường 
thẳng, ta thấy chúng cắt nhau” (7%). 
 Các chứng minh cho câu trả lời 
“KB” chủ yếu là: 
- “bài toán cho thiếu dữ kiện” (38%). 
- “Cần phải biết d và d’ có đồng 
phẳng hay không?” (10%). 
6.6. Tổng hợp các kết quả thực nghiệm 
Phân tích cho thấy các chứng minh 
dựa trên duy nhất sự hiển nhiên về mặt 
nhận thức chiếm số lượng rất nhỏ. Hầu hết 
các chứng minh đều sử dụng các tính chất 
hình học. 
Ràng buộc “Chứng minh” cho phép 
chúng tôi làm rõ các quy tắc diễn giải. 
Học sinh sử dụng theo cách liên hợp 
các quy tắc diễn giải cùng với các định lý 
của hình học trong không gian để chứng 
minh cho các trả lời câu hỏi. Cần lưu ý 
rằng các định lý này không hề mâu thuẫn 
với các quy tắc diễn giải vì các quy tắc 
diễn giải chỉ là minh họa của các định lý 
đó. Chúng ta có thể suy ra rằng không tồn 
tại các mâu thuẫn giữa kiến thức hình học 
và việc đọc hình vẽ biểu diễn. Điều này có 
thể củng cố việc sử dụng các quy tắc 
diễn giải. 
Khái niệm đồng phẳng đóng một vai 
trò quan trọng trong các bài toán về sự 
tương giao của hai đường thẳng trong 
không gian như trong bài toán 10 và 11. 
Đặc biệt đối với bài toán 11, hình vẽ có thể 
chỉ là thông tin nếu chúng ta sử dụng các 
phương tiện kiểm soát khác dựa trên các 
quy tắc của phép chiếu song song. Thực 
vậy, đây chính là bài toán duy nhất trong 
thực nghiệm mà chúng ta có thể trả lời 
bằng hình vẽ biểu diễn bằng cách sử dụng 
quy tắc “nếu giao điểm của d với  là giao 
tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) 
trùng với giao điểm của d’ với  thì hai 
đường thẳng d và d’ cắt nhau”. Quy tắc này 
không được phát biểu tường minh trong 
Sách giáo khoa, nhưng nó cần thiết phải 
được chứng minh. 
6.6.1. Phân hoạch không gian 
Quy tắc diễn giải “bên trong – mặt 
phẳng” và “bên ngoài – mặt phẳng” đã 
M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN 
48 
được Parzysz kiểm chứng. Chúng ta cũng 
lưu ý rằng quy tắc diễn giải “bên trong – 
mặt phẳng” đã được học sinh huy động 
trong bài toán 1. 
Trong bài toán 4, học sinh đã sử dụng 
một số chứng minh cho thấy hai miền “ở 
trên” và “ở dưới” mặt phẳng. Điều này cho 
phép hợp thức hóa phỏng đoán 1 “ở trên / 
ở dưới”. 
6.6.2. Vị trí tương đối của đường 
thẳng và mặt phẳng 
Quy tắc diễn giải “đường thẳng – 
trong – mặt phẳng” đã được Parzysz kiểm 
chứng. 
Quy tắc diễn giải “đường thẳng – song 
song – mặt phẳng” đã được thực nghiệm 
chúng tôi kiểm chứng. Quy tắc này cho 
phép chứng minh rằng một đường thẳng 
song song với một mặt phẳng khi nó song 
song với một đoạn thẳng của mặt phẳng, và 
cũng để chứng minh rằng một đường thẳng 
không song song với một mặt phẳng khi 
trên hình vẽ nó không song song với bất kỳ 
một đoạn thẳng nào của mặt phẳng. 
Quy tắc diễn giải “đường thẳng – 
ngoài – mặt phẳng” đã được kiểm chứng 
duy nhất trong trường hợp có khối đa diện. 
6.6.3. Vị trí tương đối của hai đường 
thẳng 
Quy tắc diễn giải “đường thẳng – song 
song – đường thẳng” đã được Parzysz 
kiểm chứng. Phân tích các chứng minh của 
bài toán 10 làm lộ rõ việc sử dụng quy tắc 
diễn giải “đường thẳng – cắt – đường 
thẳng”. Riêng trong bài 11, việc phân tích 
kết quả cho thấy sự tồn tại một định lý 
hành động ở học sinh: 
Nếu hai đường thẳng lần lượt chứa 
trong hai mặt phẳng cắt nhau, thì chúng 
cắt nhau. 
7. Kết luận 
Các quy ước biểu diễn được chấp nhận 
trong giảng dạy có chức năng minh họa 
một tình huống không gian và do đó mở 
rộng miền hoạt động của hình vẽ biểu diễn. 
Các quy ước này đã trở thành các quy tắc 
diễn giải ở học sinh trong việc đọc hình vẽ 
biểu diễn. Điều này cho phép hợp thức hóa 
giả thuyết nghiên cứu về các quy ước: 
Các quy ước biểu diễn của phép chiếu 
song song trở thành các quy tắc diễn giải 
một hình vẽ biểu diễn các đối tượng hình 
học trong không gian ở học sinh. 
Tồn tại một định lý hành động ở học 
sinh liên quan đến sự cắt nhau của hai mặt 
phẳng: 
Nếu hai đường thẳng lần lượt nằm trong 
hai mặt phẳng cắt nhau thì chúng cắt nhau. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Bkouche R., Soufflet M. (1983), 
Axiomatique, formalism, théorie, Bulletin 
Inter-Irem « Enseignement de la géometrie » 
(23) 3 – 24. 
2. Parzysz B. (1989), Représentations planes et 
enseignement de la géometrie de l’espace au 
lycee, Contribution à l’étude de la relation 
voir/savoir, Thèse. Paris: Université Paris-7. 
3. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Nguyễn Huy 
Đoan, Lê Văn Hồng, Trương Công Thành, 
Nguyễn Hữu Thảo (2007), Toán 8, Tập Hai, 
Nxb Giáo dục. 
4. Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc 
Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện 
(2007), Hình học 11, Nxb Giáo dục. 
5. Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc 
Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện 
(2007), Sách Giáo viên Hình học 11, Nxb 
Giáo dục. 
Ngày nhận bài: 07/8/2017 Biên tập xong: 15/9/2017 Duyệt đăng: 20/9/2017