Lý thuyết về tín hiệu và hệ thống - Chương 3: Đáp ứng tần số và mạch lọc tương tự

rị chính xác của hằng số K là không quan trọng trong điểm này. Khi w tăng từ zêrô trở đi, d giảm không ngừng cho đến khi w đạt giá trị w0. Khi w tăng gần w0, d không ngừng giảm. Do đó, theo phương trình (7.30), đáp ứng biên độ tăng từ đến , và giảm liên tục khi w tăng gần w0, như vẽ trong hình 7.14b. Do đó, cựa tại tạo đặc tính chọn lọc tần số làm tăng độ lợi tại tần số w0 (tần số cộng hưởng). Hơn nữa, khi cực di chuyển gần trục ảo (khi a giảm), sự tăng (cộng hưởng) này càng trở nên đáng kể. Điều này là do a, cự ly giữa cực và (d tương ứng với ) càng giảm nhỏ đi, làm tăng độ lợi K/d. Trong tình huống cực độ, khi (cực trên trục ảo), độ lợi tại tại w0 tiến về vô cùng. Các cục lặp càng tăng cường tính chọn lọc. Tóm lại, 
Ta có thê tăng độ lợi tại tần số bằng cách đặt cực đối nhau tại điểm . Cực càng gần điểm , độ lợi càng lớn và thay đổi càng nhanh (chọn lọc tần số tốt hơn) ở lân cận tần số . Chú ý là cực phải nằm bên trái mặt phăng phức để hệ thống ổn định.
 Ta vừa xem xét ảnh hưởng của cực phức đơn trong độ lợi hệ thống. Trong hệ thực, cực phức luôn có liên hợp là . Ta đã chứng minh là sự hiện diện của cực liên hợp không thay đổi đámg kể đặc tính chọn lọc tần số ở lân cận . Điều này do độ lợi trong trường hợp này là K/dd’, trong đó d’ là cự ly từ cực đến điểm . Do cực liên hợp xa điểm , nên không có thay đổi đáng kể trong độ dài d’ khi w tăng, làm tính chọn lọc tần số không thay đổi nhiều. 
Triệt độ lợi dùng zêrô 
 Lý luận tương tự, ta thấy zêrô tại (hình 7.14d) có ảnh hưởng đối kháng trực tiếp làm giảm độ lợi ở lân cận . Zêro trên trục ảo tại sẽ triệt hoàn toàn độ lợi (độ lợi zêrô) tại tần số . Các zêrô lặp càng làm tăng ảnh hưởng này. Đồng thời, các cặp cưc và zêrô đặt gần nhau (dipole) có xu hướng triệt tiêu ảnh hưởng lẫn nhau trên đáp ứng tần số. Rõ ràng, chỉnh định đúng vị trí cực và zêrô, có thể tạo các đặc tính chọn lọc tần số rất đa dạng. Từ quan sát này, ta thiết kế được các bộ lọc, thông thấp, thông cao, thông dải và triệt dải (bộ lọc notch). 
 Còn có thể tính đáp ứng pha dùng phép đồ thị. Trong hình 7.14a, góc tạo nên từ cặp cực phức tại (tại gốc) thì bằng nhau và đối dấu nhau. Khi w tăng từ 0, góc giảm độ lớn do cực có giá trị âm tại w = 0; còn góc tăng do cực có giá trị dương tại w = 0. kết quả là, tổng hai góc, tăng liên tục, tiến về p khi w ® ¥. Sau cùng ta có đáp ứng pha vẽ trong hình 7.14c. Lý luận tương tự cho trường hợp zêrô tại . Kết quả ta có đáp ứng pha vẽ trong hình 7.14f.
 Ta tiếp tục khảo sát định tính các dạng mạch lọc đơn giản khác trong phần dưới đây. 
Lọc thông thấp
 Lọc thông thấp tiêu biểu có độ lợi lớn nhất tại w = 0. Do đó, ta cần đặt cực hay (zêrô) trên trục thực đối nghịch với gốc (), như vẽ trong hình 7.5a. Hàm truyền của hệ thống là:
Ta đã chọn tử số của H(s) là nhằm chuẩn hóa độ lợi dc H(0) là đơn vị. Nếu gọi d là cự ly từ cực đến điểm (hình 7.15a), thì
Với . Khi w tăng. d giảm và giảm đơn điệu theo w, vẽ trong hình 7.15d với n = 1. Đây đúng là mạch thông thấp có độ lợi tăng ở lân cận điểm w = 0. 
Wall to wall Poles
 Đặc tính lý tưởng của mạch lộc thông thấp (phần tô bóng) trong hình 7.15d, có độ lợi đơn vị đến tần số . Độ lợi giảm đột ngột từ 0 đến . Để có được đặc tính của mạch thông thấp lý tưởng, ta cần tăng độ lợi trong dải tần số từ 0 đến . Ta biết rằng để tăng độ lợi tại tần số w, cần đặt thêm cực đối xứng tại w. Để tăng độ lợi trong suốt dải tần từ (0 đến ), ta cần có cực đối xứng tại từng tần số trong dải tần này. Nói cách khác, ta cần có một bức tường liên tục các cực đối diện với trục ảo trong dải tần từ 0 đến (và từ 0 đến - cho các cực liên hợp), như vẽ trong hình 7.15b. Tại điểm này, hình dạng tối ưu của bức tường không rõ ràng do ta đang lập luận một cách trực giác và định tính. Vậy, rõ ràng là để tăng được độ lợi (hằng) tại từng tần số trong tầm này, ta cần có vô số cực trong bức tường. Có thể chứng minh được là để có đáp ứng phẳng tối đa trong dải tần số (0 đến ) , thì bức tường này phải có dạng nửa vòng tròn với vô số cực phân bố đều dọc theo bức tường. Trong thực tế, ta thỏa hiệp bằng cách dùng số cực hữu hạn (n) cho đặc tính dưới lý tưởng. Hình 7.15c cho thấy bố trí các cực trong bộ lọc bậc 5 ( n = 5). Đáp ứng biên độ với nhiều giá trị của n được vẽ trong hình 7.15d. Khi , đáp ứng biên độ hướng về lý tưởng. Họ các bộ lọc này được gọi là bộ lọc Butterworth. Ngoài ra, còn có hiều họ mạch lọc khác. Torng mạch lọc Chebyshev, dạng bức tường là nửa ellipse thay vì là nửa vòng tròn. Đặc tính của bộ lọc Chebyshev thấp hơn so với lọc Butterworth trong dải thông (0, ), với đặc tính có độ nhấp nhô thay vì phẳng tối đa như đáp ứng Butterworth. Nhưng tại stopband, đáp ứng của Chebyshev tốt hơn theo nghĩa là độ lợi mạch Chebyshev giảm nhanh hơn so với Butterworth. 
Mạch lọc thông dải
Các đặc tính tô bóng trong hình 7.16b vẽ độ lợi mạch lọc thông dải lý tưởng. Trong mạch lọc thông dải, độ lợi được tăng cường trong dải băng thông. Ta đã thấy là có thể thực hiện dùng bức tường các cực đối nhau qua trục ảo từ phía trước dải tần có tần số trung tâm w0. (Còn có bức tường các cực liên hợp đối nhau qua tần số trung tâm - w0). Về mặt lý tưởng, cần có vô số các cực, nhưng trong thực tế ta dùng một số cực hữu hạn và chấp nhận đặc tính thấp hơn lý tưởng (hình 7.16). 
Mạch lọc triệt dải
 Đáp ứng mạch lọc triệt dải lý tưởng (vẽ ở phần tô bóng trong hình 7.17b) là phần bù của đáp ứng biên độ mạch lọc thông dải lý tưởng. Độ lợi của mạch là zêrô trong dải tần hẹp có trung tân tại tần số w0 và có độ lợi đơn vị trong vùng tần số còn lại. Thực hiện dạng đặc tính này cần có vô hạn các cực và zêrô. Ta hảy xát trường hợp bộ lọc triệt dải bậc hai để có độ lợi zêrô tại tần số . Từ đó, ta phải có các zêrô tại . Yêu cầu về độ lợi đơn vị tại đòi hỏi số cực phải bằng số zêrô (m = n). Điều này bảo đảm là với số lượng lớn giá trị w, tích của cự ly từ cực đến w sẽ bằng tích cự ly từ zêrô đến w. Hơn nữa, độ lợi đơn vị tại , đòi hỏi các cực và zêrô tương ứng phải cách gốc đều nhau. Thí dụ, nếu ta dùng hai zêrô (phức liên hợp) ta cần có hai cực; cự ly từ gốc đến cực và đến zêrô phải như nhau. Có thể thực hiện yêu cầu này bằng cách đặt hai cực liên hợp trên nửa vòng tròn có bán kính w0, như vẽ trong hình 7.17a. Cực có thể nằm đâu đó trên nửa vòng tròn để thỏa điều kiện cự ly bằng nhau. Gọi hai cực liên hợp có góc ±q theo trục ảo âm. Nhắc lại là cực và zêrô ở lân cận nhau có xu hướng triệt ảnh hưởng của nhau. Như thế, khi đặt cực càng gần zêrô (chọn q càng gần p/2) khôi phục nhanh độ lợi từ 0 đến 1 khi ta di chuyển khỏi w0, với chiều bất kỳ. Hình 7.17b vẽ độ lợi với ba giá trị khác nhau của q. 
■ Thí dụ 7.5:
 Thiết kế mạch lọc triệt dải để loại tần số nhiễu 60Hz (hum) trong máy thu thanh.
 Dùng các cực và zêrô trong hình 7.17a với w0 = 120p. Các zêrô là s = ±jw0. Hai cực là . Hàm truyền là (với w0 = 120p). 
Và: 
Cực càng gần với zêro (q càng gần với p/2). Độ lợi càng khôi phục nhanh từ 0 đến 1 ở bên này hay bên kia của w0 = 120p. Hình 7.17b vẽ đáp ứng biên độ với ba giá trị của q. Thí dụ này là trường hợp thiết kế rất đơn giản. Để có được độ lợi zêrô trong dải tần, ta cần có vô số cực cũng như zêrô. ■	
Thí dụ dùng máy tính C7.3
Vẽ đáp ứng tần số của hàm truyền
Là hàm triệt dải bậc hai với w0 = 120p và và .
W0=120*pi;
Theta=[60 80 87]*(pi/180);
 for m =1:length(theta)
 num = [1 0 w0^2];
 den=[1 2*wo*cos(theta(m))w0^2];
 w=0:.5:1000; w=w’;
 [mag, phase,w]=bode(num,den,w);
 plot(w,mag),hold omn, axis([0 1000 0 1.1])
 end 
 Hình 7.16b và 7.17b vẽ đáp ứng tần số của bộ lọc triệt dải (notch – stopband) là bù của đáp ứng tần số của mạch lọc thông dải. Nếu và là hàm truyền của lọc thông dải và triệt dải (có tần số trung tâm giống nhau) thì
 Do đó, hàm truyền của mạch lọc thông cao có thể tìm từ hàm truyền mạch lọc hông thấp tương ứng.
 Bài tập E 7.2
Dùng phương pháp định tính vẽ đồ thị đáp ứng tần số, chứng tõ là hệ thống có cấu hình cực – zêrô trong hình 7.18a là mạch lọc thông cao, và trong hình 7.18b là mạch lọc thông dải. 
Mạch lọc thực tế và đặc tính
 Các mạch lọc lý tưởng cho độ lợi là một hay zêrô một cách rõ ràng trong dải tần công tác. Thực tế ta chỉ có thể thiết lập các mạch lọc có đặc tính gần đúng mạch lọc lý tưởng.
 Mạch lọc lý tưởng với dải thông (passband) có độ lợi đơn vị, dải triệt (stopband) với độ lợi là zêrô, không có dải tần chuyển tiếp. Các mạch lọc thực tế cần có dải tần chuyển tiếp, tạo thay đổi từ từ từ dải thông sang dải triệt và ngược lại. Ngoài ra, trong các mạch lọc thực tế, độ lợi không thể là zêrô trong một dải tần hữu hạn (điều kiện Paley- Wiener). Như thế không có dải triệt thực trong mạch lọc thực tế. Do đó, cần định nghĩa dải triệt là dải tần mà độ lợi bé hơn một số bé nào đó, như trong hình 7.19. Tương tự, ta định nghĩa dải thông là dải tần mà độ lợi ở giữa 1 và một giá trị ()như trong hình 7.19. Ta đã chọn độ lợi dải thông đơn vị cho thuận tiện, tuy nhiên giá trị này có thể bất kỳ. Thông thường độ lợi được biểu diễn theo decibel, đó là 20 lần giá trị của logarithm 10 của độ lợi, vậy:
Độ lợi đơn vị là 0dB và độ lợi là 3,01dB, thường được tính xấp xỉ là 3 dB. Đôi khi, trị này còn đặc trưng cho yếu tố suy giảm, là trị âm của dB, thí dụ độ lợi ; tức là 0,707. hay - 3 dB, và độ suy giảm là 3 dB. 
 Trong các bước thiết kế, ta giả sử là đã biết được Gp (độ lợi dải thông bé nhất) và Gs (độ lợi dải triệt lớn nhất). Hình 7.19 vẽ dải thông, dải triệt và dải chuyển tiếp của các mạch lọc thông thấp, thông dải, thông cao và triệt dải. Trong chương này, ta sẽ thảo luận về phương pháp thiết kế bốn dạng mạch lọc trên. Điều may mắn là các dạng thông cao, thông dải và triệt dải đều có thể tìm từ mạch lọc thông thấp cơ bản thông qua một số biến đổi tần số đơn giản. Thí dụ, khi thay s bằng trong hàm truyền thông thấp cho ta mạch lọc thông cao. Tương tự, dùng các biến đổi tần số khác, ta có lọc thông dải và triệt dải. Do đó, ta chỉ cần phát triển phương pháp thiết kế cho dạng thông thấp cơ bản. Dùng các biến đổi tần số thích hợp, ta có thể thiết kế các dạng mạch lọc khác. Ta sẻ xem xét hai dạng mạch lọc nổi tiếng: mạch lọc Butterworth và lọc Chebyshev.