Giáo trình Xử lý số tín hiệu - Chương 6: Biến đổi Z

XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU
BIẾN ĐỔI Z
Nội dung
o Giới thiệu
o Định nghĩa
o Các tính chất của biến đổi ࢦ
o Các tính chất của biến đổi ࢦ
+
o Biến đổi Z hữu tỷ
2
Giới thiệu
o Tín hiệu tương tự, hệ thống tương tự: Biến đổi Laplace, 
biến đổi Fourrier
o Tín hiệu rời rạc, hệ thống rời rạc?
3
Pierre-Simon Laplace 
(1749–1827), France
Jean-Baptiste Joseph Fourier
(1768-1830, France)
Định nghĩa
o Biến đổi ત của một tín hiệu rời rạc về thời gian ݔ(݊) được
định nghĩa như sau:
ܺ ݖ 	≜ ෍ ݔ ݊ ݖି௡
ାஶ
௡ୀିஶ
= ⋯+ ݔ −1 ݖଵ + ݔ 0 ݖ଴ + ݔ 1 ݖିଵ +⋯
ݖ: là biến phức, ký hiệu: ܺ ݖ = ત ݔ(݊)
o Mối quan hệ giữa ݔ ݊ , ܺ ݖ : ݔ ݊ 	ܺ ݖ
o Vùng hội tụ (ROC: Region of Convergence) của ܺ ݖ : 
ݖ ∈ ℂ, ܺ ݖ < +∞	
4
ݖ
Định nghĩa
o Cho chuỗi đáp ứng xung ℎ(݊), hàm truyền của bộ lọc:
ܪ ݖ ≡ ત ℎ(݊)
o Biến đổi Z một phía ݔ ݊ 	ܺା ݖ
ܺା ݖ ≜ ෍ ݔ(݊)ݖି௡
ାஶ
௡ୀ଴
o Không có thông tin của ݔ(݊) với ݊ < 0
o Là duy nhất đối với tín hiệu nhân quả
o ܺା ݖ = ત ݔ ݊ ݑ(݊)
o ROC luôn nằm ngoài một vòng tròn bán kính ݎ => không quan
tâm đến ROC.
5
ݖା
Định nghĩa
o ܽ௤ +⋯+ ܽ௡ = ൝
௔೜ି௔೙శభ
ଵି௔
݊ − ݍ + 1
	݊ếݑ	ܽ ≠ 1
݊ếݑ	ܽ = 1
, ݍ, ݊ ∈ ܼ
o 1 + ܽ + ܽଶ +⋯ =
ଵ
ଵି௔
	݊ếݑ	 ܽ < 1
o ܽ + ܽଶ +⋯ =
௔
ଵି௔
	݊ếݑ	 ܽ < 1
o ln 1 + ܽ = ∑ −1 ௡ାଵ
௔೙
௡
ାஶ
௡ୀଵ ݊ếݑ	 ܽ < 1
o ln
ଵା௔
ଵି௔
= ∑
ଶ௔మ೙శభ
ଶ௡ାଵ
ାஶ
௡ୀଵ ݊ếݑ	 ܽ < 1
o 
6
Ví dụ
Tìm biến đổi Z và ROC của các tín hiệu (hàm truyền sau)
i. ݔଵ ݊ = 1,2,5,7,0,1
ii. ݔଶ ݊ = 1,2,5,7,0,1
iii. ݔଷ ݊ = 1,2,5,7,0,1,0
iv. ݔସ ݊ = ߜ ݊
v. ݔହ ݊ = ߜ ݊ + 3
vi. ݔ଺ ݊ = ߜ ݊ − 4
vii.ݔ଻ ݊ = ߙ௡ݑ ݊
viii.ݔ଼ ݊ = −ߚ௡ݑ −݊ − 1
7
Ví dụ
Kết quả:
i. ଵܺ ݖ = 1 + 2ݖିଵ + 5ݖିଶ + 7ݖିଷ + ݖିହ
ii. ܺଶ ݖ = ݖଶ + 2ݖ + 5 + 7ݖିଵ + ݖିଷ
iii. ܺଷ ݖ = ݖ଺ + 2ݖହ + 5ݖସ + 7ݖଷ + ݖଵ
8
ܴ݁(ݖ)
ܫ݉(ݖ)
ܴ݁(ݖ)
ܫ݉(ݖ)
ܴ݁(ݖ)
ܫ݉(ݖ)
i. Cả mặt phẳng Z, 
ngoại trừ ݖ = 0
ii. Cả mặt phẳng Z, 
ngoại trừ ݖ = 0 & ݖ = ∞
iii. Cả mặt phẳng Z, 
ngoại trừ ݖ = ∞
ROC
Ví dụ
Kết quả:
iv. ܺସ ݖ = 1
v. ܺହ ݖ = ݖଷ
vi. ܺ଺ ݖ = ݖିସ
9
ܴ݁(ݖ)
ܫ݉(ݖ)
ܴ݁(ݖ)
ܫ݉(ݖ)
ܴ݁(ݖ)
ܫ݉(ݖ)
iv. Cả mặt phẳng Z vi. Cả mặt phẳng Z, 
ngoại trừ ݖ = 0
v. Cả mặt phẳng Z, 
ngoại trừ ݖ = ∞
ROC
Ví dụ
Kết quả:
vii. ܺ଻ ݖ =
ଵ
ଵିఈ௭షభ
=
௭
௭ିఈ
nếu ݖ > ߙ
viii.଼ܺ ݖ =
ଵ
ଵିఉ௭షభ
=
௭
௭ିఉ
nếu ݖ < ߚ
10
ܴ݁(ݖ)
ܫ݉(ݖ)
vii. Cả mặt phẳng Z
ngoại trừ ݖ < ߙ
viii. ݖ < ߚ
ܴ݁(ݖ)
ܫ݉(ݖ)
ߙ ߚ
ROC
Ví dụ
Tìm biến đổi ܼା của các tín hiệu (hàm truyền sau)
i. ݔଵ ݊ = 1,2,5,7,0,1
ii. ݔଶ ݊ = 1,2,5,7,0,1
iii. ݔଷ ݊ = 1,2,5,7,0,1,0
iv. ݔସ ݊ = ߜ ݊
v. ݔହ ݊ = ߜ ݊ + 3
vi. ݔ଺ ݊ = ߜ ݊ − 4
11
Ví dụ
Kết quả:
i. ଵܺ
ା ݖ = 1 + 2ݖିଵ + 5ݖିଶ + 7ݖିଷ + ݖିହ
ii. ܺଶ
ା ݖ = 5 + 7ݖିଵ + ݖିଷ
iii. ܺଷ
ା ݖ ݖ = 0
iv. ܺସ
ା ݖ =1
v. ܺହ
ା ݖ = 0
vi. ܺ଺
ା ݖ = ݖିସ
12
Định nghĩa
o ݖ biểu diễn dưới dạng cực: ݖ = ݎ݁௝ఏ với ݎ = ݖ 	&	ߠ = ∡ݖ
ܺ ݖ ቚ
௭ୀ௥௘ೕഇ
= ෍ ݔ(݊)ݎି௡݁ି௝௡ఏ
ାஶ
௡ୀିஶ
13
ܴ݁{ݖ}
ܫ݉{ݖ}
0 ݎܿ݋ݏ(߱)
ݎܿ݋ݏ(߱)
ݎ
ݎ݁௝ఠ
߱
Định nghĩa
o Vẽ	ܺ(ݖ) =
௭షభି௭షమ
ଵାଵ.ଶ଻ଷଶ௭షభା଴.଼ଵ௭షమ
14
Định nghĩa
o ROC của ܺ ݖ :
ܺ ݖ ≤ ∑ ݔ ݊ ݎି௡ାஶ௡ୀିஶ 	≤ ∑ ݔ −݊ ݎ
௡ାஶ
௡ୀଵ +
	 ∑
௫(௡)	
௥೙
ାஶ
௡ୀ଴
15
ܴ݁(ݖ)
ܫ݉(ݖ)
ݎଵ
ܴ݁(ݖ)
ܫ݉(ݖ)
ݎଶ ܴ݁(ݖ)
ܫ݉(ݖ)
ࢠ ࢘૛ ࢘૛ < ࢠ < ࢘૚
ݎଶ
ݎଵ
Định nghĩa
o Nếu ݔ ݊ = ݔଵ ݊ + ݔଶ ݊ +⋯+ ݔே ݊ , ܴܱܥ của ܺ ݖ :
ܴܱܥ = ܴܱܥଵ ∩ ܴܱܥଶ ∩⋯∩ ܴܱܥே
o Ví dụ: Tìm biến đổi Z và ROC của các tín hiệu sau
ݔ ݊ = ߙ௡ݑ ݊ + ߚ௡ݑ −݊ − 1
o Kết quả: i. Nếu ߚ < ߙ , ܺ(ݖ) không tồn tại. ii. Nếu 
ߚ > ߙ , ܺ ݖ =
ଵ
ଵିఈ௭షభ
−
ଵ
ଵିఉ௭షభ
với
16
ܴ݁(ݖ)
ܫ݉(ݖ)
ߙ
ܴ݁(ݖ)
ܫ݉(ݖ)
ߙ ܴ݁(ݖ)
ܫ݉(ݖ)
ࢠ ࢼ ࢼ < ࢠ < ࢻ
ߙ
ߚ
Vùng hội tụ của các tín hiệu rời rạc
o Tín hiệu có chiều dài hữu hạn
17
ܴ݁(ݖ)
ܴ݁(ݖ)
ܴ݁(ݖ)
ܫ݉(ݖ)
ܫ݉(ݖ)
ܫ݉(ݖ)
݊
݊
݊
Độ	lớn
Độ	lớn
Độ	lớn
Nhân quả
Không nhân quả
Trộn lẫn
Vùng hội tụ của các tín hiệu rời rạc
o Tín hiệu có chiều dài vô hạn
18
ܴ݁(ݖ)
ܴ݁(ݖ)
ܴ݁(ݖ)
ܫ݉(ݖ)
ܫ݉(ݖ)
ܫ݉(ݖ)
݊
݊
݊
Độ	lớn
Độ	lớn
Độ	lớn
Nhân quả
Không nhân quả
Trộn lẫn
Các tính chất của biến đổi ત
19
Tính chất Miền thời gian Miền Z ROC
Ký hiệu
ݔ(݊)
ݔଵ ݊
ݔଶ ݊
ܺ(ݖ)
ଵܺ ݖ
ܺଶ ݖ
ROC: ݎଶ < ݖ < ݎଵ
ܴܱܥଵ
ܴܱܥଶ
Tuyến tính ݔ ݊ = ෍ܽ௞ݔ௞(݊)
ଶ
௞ୀଵ
ܺ ݖ = ෍ܽ௞ܺ௞(ݖ)
ଶ
௞ୀଵ
Tối thiểu ܴܱܥଵ ∩ ܴܱܥଶ
Mở rộng theo thời
gian
ݔ௞ ݊
= ቄݔ(ݎ)	
0
݊ = ݎ݇
݊ ≠ ݎ݇
ܺ(ݖ௞) ROCଵ/௞
Dịch theo thời gian ݔ ݊ − ݇ ݖି௞ܺ ݖ
ROC, ngoại trừ
ቄ ݖ = 0
ݖ = ∞
nếu ݇ > 0
nếu	݇ < 0
Co giãn trong miền Z ܽ௡ݔ ݊ ܺ ܽିଵݖ ܽ ݎଶ < ݖ < ܽ ݎଵ
Đảo thời gian ݔ −݊ ܺ ݖିଵ 1/ݎଵ < ݖ < 1/ݎଶ
Liên hợp phức ݔ∗ ݊ ܺ∗ ݖ∗ ROC
Các tính chất của biến đổi ત
20
Tính chất Miền thời gian Miền Z ROC
Phần thực ܴ݁ ݔ ݊ ܺ ݖ + ܺ∗ ݖ∗ /2 ROC
Phần ảo ܫ݉ ݔ ݊ ܺ ݖ − ܺ∗ ݖ∗ /2 ROC
Vi phân trong miền Z ݊௞ݔ(݊) (−ݖ)௞
݀௞
݀ݖ௞
ܺ(ݖ) ROC
Chia trong miền thời
gian
ݔ(݊)
݊
−න
ܺ(ݖ)
ݖ
݀ݖ
௭
଴
ROC
Tích chập ݔଵ ݊ ⊛ ݔଶ ݊ ଵܺ(ݖ) ܺଶ(ݖ)
Tối thiểu
ܴܱܥଵ ∩ ܴܱܥଶ
Tương quan chéo
ݎ௫భ௫మ ݈
= ݔଵ ݈ ⊛ ݔଶ −݈
ܴ௫భ௫మ ݖ
= ଵܺ ݖ ܺଶ ݖିଵ
Tối thiểu của
(ROC ܺଶ ݖିଵ
)∩ ܴܱܥଵ
Lý thuyết giá trị đầu Nếu ݔ ݊ nhân quả ݔ(0)= lim௭→ஶ
ܺ(ݖ)
Các tính chất của biến đổi ત
21
Tính chất Miền thời gian Miền Z ROC
Quan hệ Parseval
෍ ݔଵ ݊ ݔଶ
∗
ାஶ
௡ୀିஶ
݊ =
1
2ߨ݆
ර ଵܺ(ݒ)	ܺଶ
∗(
1
ݒ∗
)ݒିଵ݀ݒ
஼
Tính nhân ݔଵ ݊ ݔଶ ݊
1
2ߨ݆
ර ଵܺ(ݒ)ܺଶ(
ݖ
ݒ
)ݒିଵ݀ݒ
஼
Tối	thiểu	ݎଵ௟ݎଶ௟
< ݖ < ݎଵ௨ ݎଶ௨
Vi phân bậc 1 ݔ ݊ − ݔ ݊ − 1 (1 − ݖିଵ)ܺ ݖ
Tích lũy ෍ ݔ ݇
௡
௞ୀିஶ
ܺ ݖ
1 − ݖିଵ
Các tính chất của biến đổi તା
22
Tính chất Miền thời gian Miền ࢆା
Ký hiệu ݔ(݊) ܺା(ݖ)
Có tất cả các tính chất giống biến đổi Z ngoại trừ tính dịch theo thời gian
Tính trể
ݔ ݊ − ݇ , k > 0 ݖି௞ ܺା(ݖ) +෍ݔ(−݊)ݖ௡
௞
௡ୀଵ
Nếu ݔ ݊ 	nhân quả ݖି௞ܺା(ݖ)
Time advance ݔ ݊ + ݇ , k > 0 ݖ௞ ܺା ݖ −෍ݔ(݊)ݖି௡
௞ିଵ
௡ୀ଴
Lý thuyết giá trị cuối
ݔ ∞ = lim
௭→ଵ
ݖ − 1 ܺା ݖ nếu cực (ݖ − 1)ܺା(ݖ) nằm trong
vòng tròn đơn vị
Một số cặp biến đổi Z
Tín hiệu Biến đổi Z ROC
ߜ(݊) 1 ℂ
ߜ(݊ − ݊଴) ݖି௡బ ℂ \ ቄ
ݖ = 0
ݖ = ∞
nếu	݊଴ > 0
nếu	݊଴ < 0
ܽ௡ݑ(݊) 1/(1 − ܽݖିଵ) ݖ > ܽ
−ܽ௡ݑ(−݊ − 1) 1/(1 − ܽݖିଵ) ݖ < ܽ
݊ܽ௡ݑ(݊) ܽݖିଵ/(1 − ܽݖିଵ)ଶ ݖ > ܽ
−݊ܽ௡ݑ(−݊ − 1) ܽݖିଵ/(1 − ܽݖିଵ)ଶ ݖ < ܽ
݊ଶܽ௡ݑ(݊) ܽݖିଵ(1 + ܽݖିଵ)/(1 − ܽݖିଵ)ଷ ݖ > ܽ
−݊ଶܽ௡ݑ(−݊ − 1) ܽݖିଵ(1 + ܽݖିଵ)/(1 − ܽݖିଵ)ଷ ݖ < ܽ
ܽ௡cos(߱଴݊)ݑ(݊)
1 − ܽݖିଵcos(߱଴)
1 − 2ܽݖିଵcos ߱଴ + ܽଶݖିଶ
ݖ > ܽ
ܽ௡sin(߱଴݊)ݑ(݊)
ܽݖିଵsin(߱଴)
1 − 2ܽݖିଵcos ߱଴ + ܽଶݖିଶ
ݖ > ܽ
23
Biến đổi Z hữu tỷ
o Các zero của ܺ(ݖ): tất cả các giá trị ݖ sao cho ܺ ݖ = 0
o Các cực (pole) của ܺ(ݖ): tất cả các giá trị ݖ sao cho 
ܺ ݖ = ∞
o ROC không chứa bất kỳ cực nào
o Trên mặt phẳng Z, cực: × (hoặc ), zeos: o
24
Biến đổi Z hữu tỷ
o Nếu X(z) là hàm hữu tỷ:
ܺ ݖ =
ܰ(ݖ)
ܦ(ݖ)
=
ܾ଴ + ܾଵݖ
ିଵ +⋯+ ܾெݖ
ିெ
ܽ଴ + ܽଵݖିଵ +⋯+ ܽேݖିே
=
∑ ܾ௞ݖ
ି௞ெ
௞ୀ଴
∑ ܽ௞ݖି௞
ே
௞ୀ଴
o Nếu ܽ଴ܾ଴ ≠ 0
ܺ ݖ =
ܾ଴ݖ
ିெ
ܽ଴ݖିே
ݖெ + (ܾଵ/ܾ଴)ݖ
ெିଵ +⋯+ ܾெ/ܾ଴
ݖே + (ܽଵ/ܽ଴)ݖேିଵ +⋯+ (ܽே/ܽ଴)
=
ܾ଴
ܽ଴
ݖିெାே
ݖ − ݖଵ ݖ − ݖଶ (ݖ − ݖெ)
ݖ − ݌ଵ ݖ − ݌ଶ (ݖ − ݌ே)
= ܩݖேିெ
∏ ݖ − ݖ௞
ெ
௞ୀଵ
∏ ݖ − ݌௞
ே
௞ୀଵ
25
Biến đổi Z hữu tỷ
o ܺ ݖ = ܩݖேିெ
∏ ௭ି௭ೖ
ಾ
ೖసభ
∏ ௭ି௣ೖ
ಿ
ೖసభ
o ܺ ݖ |௭ୀ௭ೖ = 0, ݇ = 1, ,ܯ, ݖ௞: zero	của ܺ(ݖ)
o ܺ ݖ |௭ୀ௣ೖ = ∞, ݇ = 1, ,ܰ, ݌௞: cực	của ܺ(ݖ)
o ܺ(ݖ) có ൜
ܰ −ܯ	zero	tại	ݖ = 0
ܰ −ܯ	cựܿ	tại	ݖ = 0	
nếu ܰ > ܯ
nếu ܰ < ܯ
o ܪ ݖ =
଴.଼௭
௭ି଴.ଶ
26
Biến đổi Z hữu tỷ
o Vd: Tìm các zeros và cực của
i. ݔ(݊) = ܽ௡ݑ(݊)
ii. ݔ(݊) = ൜ܽ
௡
0
݊ếݑ	0 ≤ ݊ ≤ ܯ − 1
trường	hợp	khác
27
Biến đổi Z hữu tỷ
o Vị trí cực và hành vi của tín hiệu nhân quả ở miền thời
gian
o ݔ ݊ = ܽ௡ݑ ݊ ↔ ܺ ݖ = 1 (1 − ܽݖିଵ)⁄ , ܴܱܥ:	 ݖ > ܽ
28
29
Biến đổi Z hữu tỷ
o Vị trí cực và hành vi của tín hiệu nhân quả ở miền thời
gian
o ݔ ݊ = ݊ܽ௡ݑ ݊ ↔ ܺ ݖ = ܽݖିଵ (1 − ܽݖିଵ)ଶ⁄ , ܴܱܥ:	 ݖ > ܽ
30
31
Biến đổi Z hữu tỷ
o Vị trí cực và hành vi của tín hiệu nhân quả ở miền thời
gian
o ݔ ݊ = ܽ௡cos ߱଴݊ ݑ ݊
o ܺ ݖ =
ଵି௔௭షభ ୡ୭ୱ ఠబ
ଵିଶ௔௭షభୡ୭ୱ ఠబ ା௔మ௭షమ
, ܴܱܥ:	 ݖ > ݎ
32
33
Tính nhân quả và ổn định
o Tín hiệu nhân quả dạng:
ݔ ݊ = ܽଵ݌ଵ
௡ݑ ݊ + ܽଶ݌ଶ
௡ݑ ݊ +⋯+ ܽே݌ே
௡ݑ ݊
o Biến đổi Z của ݔ(݊):
ܺ ݖ =
ܽଵ
1 − ݌ଵݖିଵ
+
ܽଶ
1 − ݌ଶݖିଵ
+⋯+
ܽே
1 − ݌ேݖିଵ
với ROC: ݖ > max	( ݌ଵ ,  , ݌ே )
34
݌1
݌2
݌3
݌ܰ
ܴ݁{ݖ}
ܫ݉{ݖ}
Tính nhân quả và ổn định
o Tín hiệu không nhân quả dạng:
ݔ ݊ = −ܽଵ݌ଵ
௡ݑ −݊ − 1 +⋯− ܽே݌ே
௡ݑ −݊ − 1
o Biến đổi Z của ݔ(݊):
ܺ ݖ =
ܽଵ
1 − ݌ଵݖିଵ
+
ܽଶ
1 − ݌ଶݖିଵ
+⋯+
ܽே
1 − ݌ேݖିଵ
với ROC: ݖ < min	( ݌ଵ ,  , ݌ே )
35
݌1
݌2
݌3
݌ܰ
ܴ݁{ݖ}
ܫ݉{ݖ}
Tính nhân quả và ổn định
o Tín hiệu ổn định: ROC của ݔ ݊ có chứa vòng tròn đơn vị
(vòng tròn có bán kính bằng 1) 
36
ܴ݁{ݖ}
ܫ݉{ݖ}
ܴ݁{ݖ}
ܫ݉{ݖ}
ܴ݁{ݖ}
ܫ݉{ݖ}