Giáo trình Xử lý số tín hiệu - Chương 3: Các hệ thống thời gian rời rạc

1, 0,
4
26/09/2012
3
Tín hiệu thời gian rời rạc
 Một số dạng biểu diễn của tín hiệu thời gian rời rạc:
o Tín hiệu hữu hạn
ݔ ݊ = 	0, 0, 1, 2, 1, 0
 Dạng đồ thị
0 1 2 3 4 5 6 7-1-2-3
ݔ(݊)
5
1
2
Tín hiệu thời gian rời rạc
 Một số dạng tín hiệu thời gian rời rạc cơ bản:
 Tín hiệu xung đơn vị
ߜ ݊ = ൜1
0
	đố݅	ݒớ݅	݊ = 0
đố݅	ݒớ݅	݊ ≠ 0
 Tín hiệu bước đơn vị
ݑ ݊ = ൜1
0
	đố݅	ݒớ݅	݊ ≥ 0
đố݅	ݒớ݅	݊ < 0
 Tín hiệu dốc đơn vị
ݑ௥ ݊ = ൜
݊
0	
đố݅	ݒớ݅	݊ ≥ 0
đố݅	ݒớ݅	݊ < 0
 Tín hiệu mũ
ݔ ݊ = ܽ௡	∀݊ ∈ ܼ
6
26/09/2012
4
Tín hiệu thời gian rời rạc
 Phân loại tín hiệu thời gian rời rạc
 Tín hiệu năng lượng
o Năng lượng tín hiệu:
ܧ௫ = ෍ ݔ(݊) ଶ
ାஶ
௡ୀିஶ
o ܧ௫: Hữu hạn 0 < ܧ௫ < +∞ ⇒ ݔ ݊ : Tín hiệu năng lượng
 Tín hiệu công suất
o Công suất tín hiệu:
௫ܲ = limே→ஶ
ଵ
ଶேାଵ
∑ ݔ(݊) ଶାே௡ୀିே
o ௫ܲ: Hữu hạn 0 < ௫ܲ < +∞ ⇒ ݔ ݊ : Tín hiệu công suất
7
Tín hiệu thời gian rời rạc
 ݔ ݊ tín hiệu năng lượng hay công suất
 Vd 1:
ݔ ݊ = ൜1/2
௡
3௡
	݊ ≥ 0
	݊ < 0
	ܧ௫=
35
24
 Vd 2: 
ݔ ݊ = ݑ ݊ ܧ௫ = ∑ 1
ାஶ
௡ୀ଴ , ௫ܲ = 0.5
 Vd 3:
ݔ ݊ = ݑ௥ ݊ , ܧ௫ , ௫ܲ: Vô hạn
ܧ௫ ܧ௫
8
26/09/2012
5
Tín hiệu thời gian rời rạc
 Phân loại tín hiệu thời gian rời rạc
 Tín hiệu tuần hoàn
ݔ(݊) tuần hoàn với chu kỳ ܰ ∈ ܼ∗ 	⇔ 	ݔ ݊ + ܰ = 	ݔ ݊ , ∀݊
 Tín hiệu không tuần hoàn
 Tín hiệu đối xứng (chẵn)
ݔ(݊) tín hiệu thực, ݔ ݊ = ݔ −݊ 	∀݊
 Tín hiệu bất đối xứng (lẽ)
ݔ(݊) tín hiệu thực, ݔ −݊ = −ݔ ݊ 	∀݊
9
Các quy tắc vào/ra
ݕ(݊) = ܪ[ݔ ݊ ]
 Phương pháp xử lý sample – by – sample
{ݔ଴, ݔଵ, ݔଶ , ݔଷ ,  , ݔ௡ ,  } −> {ݕ଴ , ݕଵ , ݕଶ , ݕଷ ,  , ݕ௡ ,  }
Hệ thống
thời gian
rời rạc
ܪ
ݔ(݊) ݕ(݊)
	ݔ0 	ݕ0	ݔ1 	ݕ1	ݔ2 	ݕ2	ݔ3 	ݔ3
⋯ ⋯
ݔn ݕn
⋯ ⋯
10
26/09/2012
6
Các quy tắc vào/ra
 Phương pháp xử lý khối
ݔ = [ݔ଴ , ݔଵ, ݔଶ , ݔଷ,  , ݔ௡]
்→ ݕ = [ݕ଴ , ݕଵ , ݕଶ , ݕଷ ,  , ݕ௡ ,  ]
்
 Vd:
ݔ ݊ = ൜|݊|
0
݊ ∈ [−3,3]
	ܶݎườ݊݃	ℎợ݌	݇ℎáܿ
i. ݕ(݊) = ݔ(2݊)
ii. ݕ(݊) = ݔ(݊/2)
iii. ݕ(݊) = ݔ(݊ − 1)
iv. ݕ ݊ = ݔଶ ݊
v. ݕ ݊ = ݔ ݊ + 1
vi. ݕ ݊ = max	{ݔ ݊ + 1 , ݔ ݊ − 1 }
11
Các kết nối phần tử cơ bản
 Bộ cộng
 Bộ nhân một hằng số
 Bộ nhân một tín hiệu
+
ݔଵ(݊)
ݔଶ(݊)
ݔଵ(݊) + ݔଶ(݊)
ݔଵ(݊) ܽ ܽݔଵ(݊)
×
ݔଶ(݊)
ݔଵ(݊)ݔଶ(݊)
ݔଵ(݊)
12
26/09/2012
7
Các kết nối phần tử cơ bản
 Bộ trễ một đơn vị
 Bộ tiến một đơn vị
 Vd: Vẽ sơ đồ khối của hệ thống sau:
i. ݕ ݊ = 3ݔ ݊ − 1 − 2ݔ ݊ + 2 + ݔ ݊
ii. ݕ ݊ = 2ݔ ݊ + 1 ݔ ݊ − 1 − 3ݕ ݊ − 2
iii. ݕ ݊ = 2ݕ ݊ − 1 + ݔ ݊ − 1 − 3ݔ ݊
iv. ݕ ݊ = 2ݔ ݊ + 1 ݕ ݊ − 1 − 1ݔ ݊ − 3
ݔଵ(݊) 	ࢠି૚ ݔଵ(݊ − 1)
ݔଵ(݊) 	ࢠ ݔଵ(݊ + 1)
13
Phân loại các h/t t/g rời rạc
 Hệ thống tĩnh (không nhớ):
 Nếu ngõ ra tại bất kỳ thời điểm ݊ chỉ phụ thuộc ngõ vào ở cùng
thời điểm, không phụ thuộc vào mẫu tương lai hay quá khứ ở 
ngõ vào.
 Hệ thống động (có nhớ): 
 Không phải trường hợp trên
 Ngõ ra tại thời điểm ݊ phụ thuộc các mẫu ở ngõ vào trong 
khoảng ݊	– 	ܰ, ݊ ܰ	 ≥ 	0
• ܰ	 = 	0 ⇒ hệ thống tĩnh
• 0 < ܰ < +∞	 ⇒ hệ thống có bộ nhớ hữu hạn
• ܰ	 =	+∞⇒ hệ thống có bộ nhớ vô hạn
14
26/09/2012
8
Phân loại các h/t t/g rời rạc
 Vd: Xét tính động và tĩnh của các hệ thống sau:
i. ݕ(݊) 	= 	ݔ(݊)	– 3ݔ(݊– 3) Đ 
ii. ݕ(݊) 	= 	݊ݔ(݊)	– 9 T
iii. ݕ(݊) 	= 	 ݔଶ(݊) T
iv. ݕ(݊) 	= 	3ݔ(݊ଶ) T
v. ݕ(݊) 	= 	 ݊– 1 ݔ(݊– 1) 	+ 	ݔ(݊) Đ
vi. ݕ ݊ = ݔ(−݊ + 2) Đ
vii. ݕ(݊) = ݔ(݊)cos	(߱଴݊) T
viii.ݕ ݊ = ݔ ݊ + 3ݔ ݊ + 4 Đ
ix. ݕ ݊ = |ݔ ݊ | T
15
Phân loại các h/t t/g rời rạc
 Hệ thống bất biến theo thời gian
 Đặc tính vào-ra không thay đổi theo thời gian
 ܪ: hệ thống thời gian bất biến: nếu và chỉ nếu
ݔ ݊ ݕ ݊
 Hệ thống biến thiên theo thời gian
 Hệ thống không có tính chất trên
ܪ
ܪ
	ݔ ݊ − ݇ 	ݕ ݊ − ݇ 	∀݊, ݇
16
26/09/2012
9
Phân loại các h/t t/g rời rạc
 Vd: Xét tính bất biến theo thời gian và biến thiên theo 
thời gian của các hệ thống sau:
i. ݕ(݊) 	= 	ݔ(݊)	– 3ݔ(݊– 3) Bất biến
ii. ݕ(݊) 	= 	ݔ ݊ ݑ(݊) Biến thiên
iii. ݕ(݊) 	= ݊ݔ(݊) Biến thiên
iv. ݕ(݊) 	= 	3ݔ(݊ଶ) Biến thiên
v. ݕ(݊) 	= 	ݔ(−݊) Bất biến
vi. ݕ(݊) = ݔ(݊)cos	(߱଴݊) Biến thiên
vii. ݕ(݊) 	= ∑ ݔ(݇)௡௞ୀିஶ Bất biến
viii.ݕ ݊ = ݔ(2݊) Biến thiên
ix. ݕ ݊ = |ݔ ݊ | Bất biến
17
Phân loại các h/t t/g rời rạc
 Hệ thống tuyến tính
 Hệ thống thoả mãn nguyên lý xếp chồng
 ܪ là hệ thống tuyến tính nếu và chỉ nếu
ݔ1	 ݊ 	ݕ1 ݊ = ܪ ݔଵ(݊)
ݔଶ(݊)	ݕଶ(݊) = ܪ[ݔଶ(݊)]
Nếu ݔ ݊ = 	ܽ1ݔ1 ݊ + 	ܽ2ݔ2 ݊ 	
ݕ ݊ = ܪ ݔ ݊ = ܽ1ݕ1(݊) + ܽ2ݕ2(݊)
 Hệ thống phi tuyến
o Hệ thống không thoả mãn nguyên lý xếp chồng
18
26/09/2012
10
Phân loại các h/t t/g rời rạc
 Hệ thống tuyến tính
ܪ
ݔ1(݊)
ݔ2(݊)
ܽ1
ܽ2
ݔ(݊)
ݕ(݊)
ݕᇱ ݊ = ܽ1ݕ1 ݊ + ܽ2ݕ2(݊)
ܪ
ݔ1(݊)
ݔ2(݊)
ܽ1
ܽ2
ܪ
ݕ1(݊)
ݕ2(݊)
࢟ ࢔ = ࢟ᇱ ࢔
19
Phân loại các h/t t/g rời rạc
 Vd: Xét tính tuyến tính và phi tuyến của các hệ thống 
sau:
i. ݕ(݊) 	= |ݔ ݊ | Phi tuyến
ii. ݕ(݊) 	= ݊ݔ ݊ Tuyến tính
iii. ݕ(݊) 	= 	 ݔଶ(݊) Phi tuyến
iv. ݕ(݊) 	= 	3ݔ(݊ଶ) Tuyến tính
v. ݕ ݊ = 	ݔ ݊ + 1 Phi tuyến
vi. ݕ(݊) 	= ݁௫(௡) Phi tuyến
vii. ݕ(݊) = ݔ(݊)cos	(߱଴݊) Tuyến tính
viii.ݕ ݊ = ݔ −݊ Tuyến tính
20
26/09/2012
11
Phân loại các h/t t/g rời rạc
 Hệ thống nhân quả
 Ngõ ra của hệ thống chỉ phụ thuộc các mẫu của ngõ vào ở thời
điểm hiện tại và quá khứ, không phụ thuộc các mẫu tương lai
 Hệ thống ܪ được gọi là nhân quả nếu như đáp ứng tại thời
điểm ࢔૙	chỉ phụ thuộc vào tác động tại các thời điểm trước ݊଴: 
݊଴–1, ݊଴–2, 
ݕ(݊଴) 	= ܪ[ݔ(݊଴), ݔ(݊଴– 1), ݔ(݊଴– 2), ]
 Hệ thống phản nhân quả
 Hệ thống không thoả mãn điều kiện trên
21
Phân loại các h/t t/g rời rạc
 Tín hiệu nhân quả
 Tín hiệu chỉ tồn tại khi ݊	 ≥ 	0 và triệt tiêu với các giá trị
݊ ≤ 	−1.
 Tín hiệu không nhân quả
 Tín hiệu chỉ tồn tại khi ݊ ≤	−1 và triệt tiêu với các giá trị
݊	 ≥ 	0.
 Tín hiệu trung gian
 Tín hiệu tồn tại cả hai miền thời gian nói trên
22
26/09/2012
12
Phân loại các h/t t/g rời rạc
 Vd: Xét tính nhân quả, không nhân quả của các hệ thống 
(tín hiệu) sau:
i. ݕ(݊) 	= 	 ݔଶ ݊ ݑ(݊) Nhân quả
ii. ݕ ݊ = 	ݔ ݊ Không nhân quả
iii. ݕ(݊) 	= ݔ(݊– 1) 	+ 	ݔ(݊ − 3) Nhân quả
iv. ݕ ݊ = ݔ ݊ − 3ݔ(݊ଶ − ݊) Không nhân quả
v. 	ݕ ݊ = ∏ ݔ ݊ − ݇ே௞ୀଵ Nhân quả
vi. ݕ ݊ = ∑ ݔ ݊ − ݇ାஶ௞ୀ௡ Không nhân quả
vii. ݕ ݊ = |ݔ ݊ | Nhân quả
viii.ݕ ݊ = ݔ ݊ + ݊ݔ(݊ + 1) Không nhân quả
ix. ݕ ݊ = ݔ −݊ + 2 Không nhân quả
23
Phân loại các h/t t/g rời rạc
 Hệ thống ổn định
 Hệ thống được gọi là BIBO (Bounded Input - Bounded output) 
ổn định nếu và chỉ nếu mọi ngõ vào hữu hạn sẽ tạo ra ngõ ra
hữu hạn
ݔ ݊ ≤ ܯ௫ ݕ ݊ ≤ ܯ௬ < +∞
 Hệ thống không ổn định
 Hệ thống không thỏa mãn điều kiện trên
24
26/09/2012
13
Phân loại các h/t t/g rời rạc
 Vd: Xét tính ổn định của hệ thống:
i. ݕ(݊) 	= 	 ݔଶ(݊) Ổn định
ii. ݕ ݊ = ௘
ೣ ೙
௫ ௡ିଵ
Không ổn định
iii. 	ݕ(݊) 	= cos	(ݔ(݊)) Ổn định
iv. ݕ(݊) 	= ∑ ݔ(݊)ାஶ௡ୀିஶ Không ổn đinh
v. ݕ(݊) = ݔ(݊)cos	(݊ߨ/8) Không ổn định
vi. ݕ(݊) = |ݔ(݊)| Ổn định
vii. ݕ ݊ = ݔ ݊ + ݊ݔ(݊ + 1) Không ổn định
25
Kết nối của h/t thời gian rời rạc
 Xét hai hệ thống ܪଵ, ܪଶ
 Casacade (nối tiếp)
 Parallel (song song)
26
ܪଵ
ݔ(݊) ݕଵ(݊)
ܪଶ
ݕ(݊)
ܪ஼
ܪଵݔ(݊)
ݕଵ(݊)
ܪଶ
ݕ(݊)
ܪ௉
ݕଶ(݊)
26/09/2012
14
Kết nối của h/t thời gian rời rạc
 Casacade (nối tiếp)
 ݕଵ ݊ = ܪଵ[ݔ ݊ ]
 y ݊ = ܪଶ ݕଵ ݊ = ܪଶ{ܪଵ[ݔ ݊ ]} = ܪ௖ ݔ ݊
 ࡴ૛ࡴ૚ ≠ ࡴ૚ࡴ૛ (chú ý thứ tự kết nối)
 Nếu ܪଵ, ܪଶ tuyến tính và bất biến (LTI):
o ܪଶܪଵ = ܪଵܪଶ
o ܪ௖: tuyến tính và bất biến (LTI)
 Parallel (song song)
 y ݊ = ܪଵ ݔ ݊ + ܪଶ ݔ ݊ = {ܪଵ+ܪଶ[ݔ ݊ ]}ଵ = ܪ௉ ݔ ݊
27
Kết nối của h/t thời gian rời rạc
 Vd: Xét hệ thống Casacade (nối tiếp)
i. ܪଵ, ܪଶ: Hệ thống tuyến tính => ܪ௖ tuyến tính? Đúng
ii. ܪଵ, ܪଶ: Hệ thống bất biến => ܪ௖ bất biến? Đúng
iii. ܪଵ, ܪଶ: Hệ thống nhân quả => ܪ௖ nhân quả? Đúng
iv. ܪଵ, ܪଶ: LTI => ܪ௖ LTI? Đúng
v. ܪଵ, ܪଶ: Hệ thống phi tuyến => ܪ௖ phi tuyến? Sai
vi. ܪଵ, ܪଶ: Hệ thống ổn định => ܪ௖ ổn định? Đúng
28
26/09/2012
15
Phân tích hệ thống LTI
 Biểu diễn quan hệ vào/ra bằng phương trình sai phân và 
giải phương trình này:
 ݔ ݊ = ∑ ܽ௞ݔ(݊ − ݇)௞
 ݕ ݊ − ݇ = ܪ ݔ ݊ − ݇
 ࢟ ࢔ = ∑ ࢇ࢑࢟(࢔ − ࢑)࢑
 Phân tích tín hiệu vào ra đáp ứng xung đơn vị ߜ ݊ :
 ݔ ݊ − ݇ = ݔ ݊ ߜ ݊ − ݇
 ࢞ ࢔ = ∑ ࢇ࢑࢞(࢔)ࢾ(࢔− ࢑)࢑
 Vd: ݔ ݊ = {1, 3, 4, 5}
 ݔ ݊ = ߜ ݊ + 1 + 3ߜ ݊ + 4ߜ ݊ − 1 +5 ߜ ݊ − 2
29
Phân tích hệ thống LTI
 Hệ thống LTI = Tuyến tính + Bất biến
 ℎ(݊): đáp ứng xung đơn vị
 ݕ ݊ = ݔ ݊ ⊛ ℎ ݊ = ∑ ݔ ݇ ℎ(݊ − ݇)ାஶ௞ୀିஶ
 ݕ ݊ = ℎ ݊ ⊛ ݔ ݊ = ∑ ℎ ݇ ݔ ݊ − ݇ାஶ௞ୀିஶ
30
ܪệ	ݐℎố݊݃	ܮܶܫ
ܪ(݊)
ݔ(݊) ݕ(݊)
26/09/2012
16
Phân tích hệ thống LTI
 Hệ thống LTI
 Khi ngõ vào là xung đơn vị ݔ ݊ = ߜ ݊
ℎ ݊ = {ℎ଴, ℎଵ, ℎଶ, ℎଷ, ℎସ,  }
31
Phân tích hệ thống LTI
 Các tính chất của hệ thống LTI
 Giao hoán
ݔ(݊) ⊛ ℎ ݊ = ℎ(݊) ⊛ ݔ(݊)
 Kết hợp
(ݔ(݊) ⊛ ℎଵ ݊ )⊛ ℎଶ ݊ = (ݔ(݊) ⊛ ℎଶ ݊ )⊛ ℎଵ ݊
 Phân phối
ݔ ݊ ⊛ ℎଵ ݊ + ℎଶ ݊ = ݔ ݊ ⊛ ℎଵ ݊ + ݔ ݊ ⊛ ℎଵ ݊
 Một hệ thống LTI là nhân quả nếu và chỉ nếu các đáp 
ứng xung của nó ℎ(݊) bằng 0 đối với các giá trị âm của 
݊
ℎ(݊) 	= 	0, ∀݊	 < 	0
32
26/09/2012
17
Phân tích hệ thống LTI
 Đáp ứng của hệ thống nhân quả với tín hiệu ngõ vào
nhân quả là nhân quả
ݕ(݊) 	= 	0, ∀݊ < 0
 Hệ thống LTI là ổn định nếu hàm đáp ứng xung đơn vị 
ℎ(݊) là khả tổng tuyệt đối:
0 < ෍ |ℎ ݇ |
ାஶ
௞ୀିஶ
< +∞
 Vd: Xác định ܽ để hệ thống LTI với đáp ứng xung
ℎ(݊) = ܽ௡ݑ(݊) là ổn định.
33
Phân tích hệ thống LTI
 Hệ thống LTI có đáp ứng xung hữu hạn – FIR (Finite-
duration Impulse Response)
 ℎ ݊ = 	0, ∀݊ ܯ
 ℎ ݊ = ℎ଴, ℎଵ, ℎଶ,  , ℎெ
 Chiều dài đáp ứng xung: ܮு = ܯ+ 1
 M: Bậc bộ lọc
34
26/09/2012
18
Phân tích hệ thống LTI
 FIR
ݕ ݊ = ෍ ℎ ݇ ݔ(݊ − ݇)
ெ
௞ୀ଴
= ℎ 0 ݔ 0 + ℎ 1 ݔ ݊ − 1 +⋯+ ℎ ܯ ݔ ݊ −ܯ
 Hệ thống có đáp ứng xung vô hạn – IIR (Infinite-
duration Impulse Response)
 ℎ ݊ = 	0, ∀݊ < 0
35
Phân tích hệ thống LTI
 IIR
ݕ ݊ = ෍ ℎ ݇ ݔ(݊ − ݇)
ାஶ
௞ୀ଴
= ℎ 0 ݔ 0 + ℎ 1 ݔ ݊ − 1 +⋯+ ℎ ܯ ݔ ݊ −ܯ +
36
26/09/2012
19
Phân tích hệ thống LTI
 Vd: Xác định đáp ứng xung ℎ(݊) của hệ thống
i. ݕ(݊) = ݔ(݊) − ݔ(݊ − 2) + ݔ(݊ − 5) + ݔ(݊ − 9)
ii. ݕ(݊) = 0.3ݕ(݊ − 2) + ݔ(݊)
iii. ݕ(݊) = ݔ(݊ − 2) − ݔ(݊ − 3) + ݔ(݊ − 7) + ݔ(݊ − 8)
iv. ݕ ݊ = −0.4ݕ(݊ − 1) + ݔ(݊)
37
Bài tập
1. Gồm 4 câu:
i. Chọn 2 câu trong 4 câu 3.1 -> 3.4
ii. Chọn 2 câu trong 4 câu 3.4 -> 3.18
2. Gửi qua email hoặc nộp trực tiếp
38