Giáo trình Vật lý Đại cương 1 - Chương 1: Điện trường tĩnh

g mặt cầu kín S hoặc mặt kín bất kỳ D
rnr
dS
O
Mr
dS
nr
Σ
dΣ
O
M
R q
α Dr
) Vector điện cảm (điện trường) ≡ phương OM
24
1
r
qD π=Có: 
30
) Điện thông qua diện tích vi phân dS:
Ωπ=
α
π=α=Φ d
q
r
dSqDdSd e 4
cos
4
cos 2
) Mặt kín bao quanh điện tích điểm hay vật
mang điện: mặt Gauss
qqdqd
S
e
S
e =ππ=Ωπ=Φ=Φ ∫∫ 444)
4. Định lý Gauss
Ngoài mặt kín S bất kỳ
Điện thông xuất phát từ điện tích điểm q
31
D
r
D
r
nr
nr
nr
nr
α
α
α
α
q
S1
S2
) Đường sức vector điện cảm là đường hở⇒
hoặc không cắt hoặc cắt số chẵn lần (một đi
vào mặt S1, một ra khỏi mặt S2). 
∫ Ωπ=Φ Se d
q
4
) Có:
∫∫∫ Ω+Ω=Ω
21 SSS
ddd) Với:
( ) ( ) 0
21
=ΔΣ++ΔΣ−=Ω+Ω ∫∫
SS
ddª
) Vì vậy:Φe = 0
nrª S1 tương ứng hướng ngược chiều D
r
nrª S2 tương ứng hướng cùng chiều D
r
Định lý Gauss cho phân bố điện tích gián đoạn
∫ ∑
=
==Φ
n
i
ine qdSD
1
.
Định lý Gauss cho phân bố điện tích liên tục
∫∫ =
VS
dVDdivSdD ..
rrr vì:
z
D
y
D
x
DDdiv zyx ∂
∂+∂
∂+∂
∂=r với:
4. Định lý Gauss
 ) Khi đó: ∫∑ = dVq
i
i .ρ
∫∫ ρ==Φ
VS
e dVSdD ..
rr ª
ρ=Ddiv r ⇒
 (Phương trình Poisson)
) Nội dung: Thông lượng điện cảm gửi qua một mặt kín bất kỳ bằng tổng
đại số các điện tích nằm trong mặt kín đó.
32
Xác định cường độ điện trường ứng dụng định lý Gauss
4. Định lý Gauss
Quả cầu rỗng (bán kính R) tích điện đều (Q > 0) trên bề mặt
QrDe =π=Φ 24.Có:
) Trên bề mặt: r = R
2
00 4
1
R
QDE πεε=εε=
) Bên ngoai: r (mặt Gauss) > R r
Mặt Gauss
) Bên trong: r (mặt Gauss) < R
r
r
2
04
1)(
r
QrE πεε=
2
04
1)(
R
QRE πεε=
24 r
QD π= 200 4
1
r
QDE πεε=εε= dẫn đến ⇒
QrDdSDdSDdSD
SSS
ne =π====Φ ∫∫∫ 24..
 ⇒ 0=Φe hay: 0=E
Do bên trong quả cầu không có điện tích
33
Mặt Gauss
4. Định lý Gauss
Khối cầu (bán kính R) tích điện đều (Q > 0) trong toàn bộ thể tích
)Mật độ điện tích khối:
3
3
4 R
Q
V
Q
câukhôi π
==ρ
) Bên trong: xét r (mặt Gauss) < R
Trên bề mặt: r = R:
2
04
1
R
QE πεε=
 ⇒ 34 R
QrD π= và 300 4
1
R
QrDE πεε=εε=
Điện tích mặt Gauss: ⇒
3
3
3
3
4'
R
rQrVq Gausscâumat =πρ=ρ=
'4 2 qre =π=ΦCó:
QrDdSDdSDSdD
SSS
ne =π====Φ ∫∫∫ 24... rr
24 r
QD π= 200 4
1
r
QDE πεε=εε= dẫn đến
) Bên ngoài: r (mặt Gauss) > R
Xác định cường độ điện trường ứng dụng định lý Gauss
34
4. Định lý Gauss
Xác định cường độ điện trường ứng dụng định lý Gauss
Mặt phẳng vô hạn tích điện đều (Q > 0)
) Vector điện cảm (điện trường) có chiều
và phương vuông góc mặt phẳng
ΔS
M
D
r
D
r
Mặt Gauss
ΔS
nr
) Xét điểm M nằm trên một đáy hình trụ
(mặt bên là mặt Gauss) cắt vuông góc mặt
phẳng tích điện. ΔS là giao diện trụ và mặt
phẳng tích điện⇒ Điện thông gửi qua 2 mặt
đáy là Dn, qua mặt bên = 0.
Có: Φ e= Dn.2ΔS = Q
22
1
2
1 σ=Δ
Δσ=Δ== S
S
S
QDDnª
00 2εε
σ=εε=
DEª
(σ:mật độ điện tích mặt)
35
4. Định lý Gauss
Hai mặt phẳng vô hạn song song tích điện
bằng nhau, trái dấu (+q và –q)
ª Áp dụng nguyên lý chồng chất điện trường
21 DDD
rrr +=
ª Độ lớn: σ=σ+σ=
22
D
00 εε
σ=εε=
DE
) Không gian giữa 2 mặt phẳng:
) Không gian bên ngoài 2 mặt phẳng:
E = 0 E = 0 E = 0
0εε
σ=E
E
x
Xác định cường độ điện trường ứng dụng định lý Gauss
36
Mặt trụ (bán kính R) vô hạn tích điện đều (Q > 0)
4. Định lý Gauss
D
r
nM
R
(S)
Mặt Gauss
) Xét M trên mặt trụ bao quanh - mặt Gauss (r > 
R, độ dài l, cạnh mặt bên song song trục, 2 đáy
vuông góc trục) ⇒ Vector điện cảm (điện trường) 
có chiều và phương vuông góc mặt trụ ⇒ Điện
thông gửi qua mặt bên là Dn, qua 2 mặt đáy = 0.
Có:
Φe = Q = λl (λ: mật độ điện tích dài)
rlDdSDdSDdSD
bênMatbênMat
n
S
ne π====Φ ∫∫∫ 2...
và
r
R
rlr
QDE
0000 22 εε
σ=πεε
λ=πεε=εε=
ª Khi R rất nhỏ⇒
r
E
02πεε
λ=
) r
R
rrl
QDDn
σ=π
λ=π== 22 (σ:mật độ điện tích mặt)
Xác định cường độ điện trường
ứng dụng định lý Gauss
37
5. Điện thế
Công của lực tĩnh điện – Tính chất thế trường tĩnh điện
ª A ∉ dạng đường đi, chỉ ∈ điểm đầu và điểm cuối đoạn dịch chuyển! 38
) Điện tích q đứng yên tạo
ra điện trường E
r
) Điện tích q0 dịch chuyển trong
từ a→ b trên quĩ đạo cong (C).
E
r
q0
qa
b
r r
 +
d r
r b
ra
E
r
(C)
) Công lực F thực hiện trong
dịch chuyển vô cùng nhỏ dl:
φ=⋅=⋅= cos.00 dlEqldEqldFdA
rrrr
hay:
2
0
0
4 r
drqqdA πεε=
q0
φ
dr
E
rF
r
rdr ld
r
EqF
rr
0=
F
r⇒ q0 chịu tác dụng của lực tĩnh điện :
ª Công lực tĩnh điện: 
ba
r
r
b
a
b
a r
qq
r
qq
r
qq
r
drqq
r
drqqA
b
a 0
0
0
0
0
0
2
0
0
2
0
0
44
1
444 πεε−πεε=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−πεε=πεε=πεε= ∫∫
5. Điện thế
Lưu số vector cường độ điện trường
) A = 0 khi ra ≡ rb⇒ trường tĩnh điện là trường thế.
0.. 0 === ∫∫ ldEqldFA rrrrTức là:
Hay: 0. =∫ ldE rr
) Lưu số của Er dọc theo đường cong kín = 0 
Thế năng trường tĩnh điện
) Đối với trường thế: Công của lực trong trường = độ giảm thế năng
Tức là:
ba
ba r
qq
r
qqWWA
0
0
0
0
44 πεε−πεε=−=
r
qqW
0
0
4πεε=) ⇒ Thế năng của điện tích q0 trong trường tĩnh điện của
điện tích q tại 1 điểm nào đó có giá trị bằng công của
lực tĩnh điện khi dịch chuyển q0 từ điểm đó ra vô cực.
39
là lưu số của vector cường độ điện trường)∫ ldE rr.(
Điện thế và hiệu điện thế
5. Điện thế
ª Va chỉ ∈ điện tích q gây ra trường và vị trí xét trường .
ª Điện thế tại 1 điểm trong điện trường là đại lượng có trị số bằng công
của lực tĩnh điện khi di chuyển 1 điện tích +1 từ điểm đó ra xa vô cực.
) Đơn vị của điện thế và hiệu điện thế: V (Volt)
hay:)
a
a r
qqA
0
0
4πεε=∞ aa
a
a r
q
r
q
q
AV .
4
1
4 000 πεε
=πεε==
∞
ª Hiệu điện thế giữa 2 điểm trong điện trường là đại lượng có trị số
bằng công của lực tĩnh điện khi di chuyển 1 điện tích +1 giữa 2 điểm đó.
ª Công của lực tĩnh điện: Aab = q0(Va - Vb)
ba
baab VV
q
W
q
W
q
A −=−=
000
⇒) Nếu di chuyển q0 giữa a và b
40
5. Điện thế
M
N
) Xét q0 dịch chuyển trong trường
gây bởi q1, q2 và q3
Điện thế và hiệu điện thế
∑
=
=
3
1i
iFF
rrª Lực điện trường tổng hợp,
) Công của lực điện trường tổng hợp
để q0 dịch chuyển từM Æ N
∑∑ ∫∫
== ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
πεε−πεε===
3
1 0
0
0
0
3
1 44i iN
i
iM
i
i
N
M
i
N
M
MN r
qq
r
qqdlFdlFA
) Điện thế gây bởi hệ n điện tích tại M: nMMMM VVVV +++= ...21
) Điện thế gây bởi hệ 3 điện tích tại M:
MMM
i iM
i
MMMM
M
M VVV
r
q
rr
q
r
q
r
qV
q
A
321
3
13030
3
20
2
10
1
0 4
1
444
++=πεε=πεε+πεε+πεε== ∑=∞
Trường hợp hệ điện tích phân bố rời rạc
41
5. Điện thế
Trường hợp vật có phân bố tích điện (q) liên tục
) Chia vật thành vô số các phần tử điện tích dq (coi như điện tích điểm)
r
dqdV .
4
1
0πεε
=ª Điện thế gây bởi dq: (r là khoảng cách từ dq đến
điểm xét - M)
) Điện thế gây bởi cả vật tại điểm xét: ∫∫ πεε== vâtbôtoànMvâtbôtoànM r
dq
r
dVV
04
1
Trường hợp qo dịch chuyển trong trường tĩch điện bất kỳ
) NM
N
M
N
M
MN WWldEqldFA −=== ∫∫ rrrr .. 0 ∫∫ === ∞∞ N
MM
MM ldEqldFWA
rrrr
.. 0⇒
∫∞∞ ===
M
M
M ldEq
AV
rr
.
0
∫===− N
M
MN
NM ldEq
AVV
rv
.
0
) và
Điện thế và hiệu điện thế
42
5. Điện thế
V(x,y,z) = C
) Được mô tả bằng những đường đồng
mức 2 chiều, mỗi điểm trên đó biểu diễn
cùng 1 giá trị điện thế (hình ảnh nhận được
giống như bản đồ địa hình). 
) Các mặt đẳng thế không cắt nhau,
) Mật độ đường đẳng thế xác định cường
độ điện trường.
Mặt đẳng thế
) Qũi tích của những điểm có cùng điện thế.
Khái niệm
Tính chất
) Công lực tĩnh điện khi dịch chuyển 1 điện
tích trên mặt đẳng thế, AMN = q0(VM-VN) = 0, 
43
Điện thế cao
Đường sức
điện trường
Điện thế thấp) Vector tại mỗi điểm trên mặt đẳng thế
⊥ mặt đẳng thế tại điểm đó,
E
r
Mặt đẳng thế quanh hệ 2 điện tích điểmMặt đẳng thế quanh lưỡng cực điện
5. Điện thế
Mặt đẳng thế
Mặt đẳng thế quanh điện tích dươngMặt đẳng thế quanh dây tích điện đều
44
6. Cường độ điện trường và điện thế
Mối liên hệ giữa cường độ điện trường và điện thế
) Chiếu lên phương dịch chuyển dl có: E.cosφ.dl = El.dl = - dV
dl
dVEl −=ª
Mặt khác: dA = q0[V – (V + dV)] = - q0.dV
dVldE −=⋅ rrª
ª 0cos <φ ⇒ φ là góc tù: Er luôn hướng về phía điện thế giảm
0cos. 0 ⇒Vì:
45
N
V V + dV
E
r
M
) Xét M & N tương ứng điện thế V & V+dV, với dV>0 trong điện trường .Er
El
ld
r
q0
φ
) Công của lực tĩnh điện để dịch chuyển q0 từM Æ N
ldEqldFdA
rrrr ⋅=⋅= 0
) Có thể viết: ;
x
VEx ∂
∂−= ;
y
VEy ∂
∂−=
z
VEz ∂
∂−=
ª VgradV
z
Vk
y
Vj
x
ViEEEE zyx −=∇−=∂
∂−∂
∂−∂
∂−=++= rrrrrrrr
6. Cường độ điện trường và điện thế
Mối liên hệ giữa cường độ điện trường và điện thế
) Xét điểm P: nMP r= ⇒
n
VEEn ∂
∂−==
N
P
V V + dVφ
El
E
r
nr
dl
M
q0
ª Cường độ điện trường tại 1 điểm trong trường
có trị số bằng độ biến thiên của điện thế trên 1 đơn
vị khoảng cách lấy dọc theo pháp tuyến với mặt
đẳng thế đi qua điểm đó.
) El= Ecosφ ≤ E ⇒ n
V
l
V
∂
∂≤∂
∂
46
6. Cường độ điện trường và điện thế
Hiệu điện thế trong điện trường các vật tích điện
Hai mặt phẳng vô hạn mật độ điện mặt (σ) đều, cách nhau một khoảng d
E
r
σ
V1
V2
) Định nghĩa (V/m): Cường độ điện
trường của một điện trường đều mà
hiệu thế dọc theo mỗi mét đường sức
bằng một Vôn (Volt).
)
d
VVE 21 −=
vì:
0εε
σ=E 021 εε
σ=− dVV
47
6. Cường độ điện trường và điện thế
Mặt cầu tích điện đều (R)
R
R1
R2
Hiệu điện thế trong điện trường các vật tích điện
ª ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −πεε=− 21021
11
4 RR
QVV
) Khi R1 = R, R2→∞ (V2 = 0)
∫∫ πεε=−
2
1
2
1
2
04
R
R
V
V
dr
r
QdVª
R
QV
04πεε
=ª
dr
r
QEdrdV 2
04πεε
==−
) Hiệu điện thế tại 2 điểm cách mặt cầu R1 và R2
(R2 > R1 > R)
48
Lưỡng cực điện
- Điện thế tại M (r, r1, r2 >> d)
- q +qdr
0
M
r
6. Cường độ điện trường và điện thế
Hiệu điện thế trong điện trường các vật tích điện
2
1
00
21 ln
2
1
2
1
2
1
R
RR
r
drREdrdVVV
R
R
R
R
V
V εε
σ=εε
σ==−=− ∫∫∫
Mặt trụ tích điện đều
)(
444 21
21
02010 rr
rrq
r
q
r
qV −πεε=πεε+πεε−=Có:
với: r1 – r2 = d.cosα và r1.r2 = r2
2
0
2
0
cos.
4
1cos.
4
1
r
p
r
qdV e απεε=
α
πεε=⇒
r1 r2
α
r1 – r2
49