Giáo trình Toán cao cấp A2

 tầm by hoangly85 117 
Vì chỉ cần chọn ữ nghiệm riêngờ nên có thể chọn cụ thể c1 = 0 , c2 = 0. vậy 
, cho nên ầ 
và nhý vậy nghiệm tổng quát của phýõng trình ban ðầu là ầ 
Lýu ý: Nếu vế phải của phýõng trình vi phân có dạng tổng của ị hàm số fậxấ ụ f1(x) 
+ f2(x), thì khi ðó có thể giải phýõng trình với riêng vế phải là từng hàm f1(x), f2(x) ðể 
tìm nghiệm riêng là yr1, yr2. Cuối cùng dễ kiểm lại làầ nghiệm riêng của phýõng trình 
ban ðầu là yr ụ yr1, yr2 (theo nguyên lý chồng chất nghiệmấề 
V. PHÝÕNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG 
1. Khái niệm chung 
y(n) + a1y(n-1) + a2y(n-2) +……ề ự any ụ fậxấ ậữấ 
trong ðó a1, a2,……ềềờ an là các hằng số 
Trong phần sau ta trình bày kỹ phýõng trình cấp haiề 
2. Phýõng trình cấp hai thuần nhất 
Xét phýõng trình ầ y’’ ự py’ ự qy ụ fậxấ ậịấ 
trong ðó pờ q là hằng số 
Ta tìm nghiệm của nó ở dạng ầ y ụ ekx ậĩấ 
Thế ậĩấ vào ậịấ ta cóầ ậk2 + pk +q) ekx = 0 
 (k2 + pk +q) = 0 (4) 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 118 
Phýõng trình ậởấ gọi là phýõng trình ðặc trýng của phýõng trình ậịấờ và cũng từ ậ4) 
cho thấy y ụ ekx là nghiệm của ậịấ khi và chỉ khi k là nghiệm của ậởấề ắo ðó dựa vào 
việc giải phýõng trình bậc ị nàyờ ta có các khả nãng sauầ 
a). Phýõng trình ðặc trýng ậởấ có ị nghiệm phân biệt k1,k2 ( > 0): Khi ðó ị nghiệm 
y1 = ek1x , y2 = ek2x là ị nghiệm riêng của ậịấờ và nên ị nghiệm 
riêng này ðộc lập tuyến tínhề Vậy khi ðó nghiệm tổng quát của ậịấ sẽ làầ y ụ ũ1ek1x + 
C2ek2x 
b). Phýõng trình ðặc trýng ậởấ có ữ nghiệm kép k ậ = 0). Khi ðó nghiệm y1 = ekx là 
1 nghiệm riêng của ậịấờ và nghiệm riêng thứ hai ðộc lập tuyến tính với nó có dạng y ụ 
u(x).y1 = u(x).ekx 
y2’ ụ kềekx ề uậxấ ự u’ậxấềekx 
y2’’ụ k2.ekx.u(x) + 2ku’ậxấềekx ự ekxềuậxấ’’ 
Thế vào phýõng trình ậịấ ta có ầ 
(k2.u + 2ku’ự u’’ấ ekx ự pậku ự u’ấ ekx ự q ekxu ụ ế 
 u’’ ự ậịk ựpấu’ ự ậk2 + pk + q)u = 0 
Do k là nghiệm kép của ậởấ nên ầ 
k = -p/2  2k +p = 0 và ậk2 + pk + q) =0 
từ ðó ầ u’’ ụ ế  u = C1x + C2 
Do chỉ cần chọn ữ nghiệm nên lấy ũ1 = 1, C2 =0 , và nhý thế có ầ y2 = x ekx 
Và nghiệm tổng quát của ậịấ làầ y ụ ậ ũ1+ C2x) ekx 
c). Phýõng trình ðặc trýng ậởấ có ị nghiệm phức liên hiệp k1,2 =    ,   0 ( < 0). 
Khi ðó ị nghiệm của ậịấ có dạng ầ 
Khi ðó ầ 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 119 
cũng là ị nghiệm của ậịấ và nên chúng ðộc lập tuyến tínhề 
Từ ðó ta có nghiệm tổng quát của ậịấ là ầ y ụ ậ ũ1cos  x + C2 sin  x) e x 
Thí dụ 1: Giải phýõng trình ầ y’’ ự ĩy’ – 4y = 0 
Phýõng trình ðặc trýng týõng ứng có dạng ầ 
k2 + 3k -4 = 0  k1 =1 , k2= -4 
Vậy nghiệm tổng quát của phýõng trình thuần nhất là ầ y ụ ũ1ex + C2e-4x 
Thí dụ 2: Giải phýõng trình ầ y’’ ự ởy’ ự ởy ụ ế 
Phýõng trình ðặc trýng týõng ứng có dạng ầ 
k2 + 4k +4 = 0  k1,2 =2 
Vậy nghiệm tổng quát của phýõng trình là ầ y ụ ậũ1 + C2 x)e2x 
Thí dụ 3: Giải phýõng trình ầ y’’ ự ẳy’ ự ữĩy ụ ế 
Phýõng trình ðặc trýng týõng ứng có dạng ầ 
k2 + 6k +13 = 0  k1,2 =-3  2 i 
Vậy nghiệm tổng quát của phýõng trình thuần nhất làầ 
y = ( C1 cos 2x + C2 sin 2x)e-3x 
3. Phýõng trình cấp hai không thuần nhất vế phải có dạng ðặc biệt 
Xét phýõng trình vi phân cấp hai hệ số hằng không thuần nhất ầ 
y’’ ự py’ ự qy ụ fậxấ ậỏấ 
Qua việc trình bày tìm nghiệm tổng quát của phýõng trình cấp hai thuần nhất týõng 
ứngờ và dựa vào ðịnh lý ịờ mục ỗỗềữ ằằ thì ðể có nghiệm tổng quát của ậỏấ ta cần tìm 
ðýợc ữ nghiệm riêng của ậỏấề 
Ngoài phýõng pháp biến thiên hằng số ðã trình bàyờ dýới ðây trình bày phýõng pháp 
hệ số bất ðịnh ðể tìm một nghiệm riêng cho ậỏấ khi vế phải có dạng ðặc biệt thýờng 
gặpề 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 120 
3.1 Vế phải fậxấ ụ e x Pn(x) 
trong ðó ỳnậxấ là ða thức cấp nờ  là một số thựcề 
Khi ðó ta tìm nghiệm riêng của ậỏấ ở dạngầ yr ụ uậxấ ẵnậxấ ậẳ) 
với ẵnậxấ là ða thức cấp n có ậnựữấ hệ số ðýợc xác ðịnh bằng cách thay ậẳấ vào ậỏấ và 
ðồng nhất ị vế ta có ậnựữấ phýõng trình ðại số tuyến tính ðể tìm ậnựữấ hệ sốề ổàm 
u(x) có dạng cụ thể là ầ 
a). Nếu  là nghiệm ðõn của phýõng trình ðặc trýng ậởấờ uậxấ = xe x và khi 
ðóầ yr ụ xe x Qn(x) 
b). Nếu  là nghiệm kép của phýõng trình ðặc trýng ậởấờ uậxấ ụ x2e x và khi 
ðóầ yr ụ x2e x Qn(x) 
c). Nếu  không là nghiệm của phýõng trình ðặc trýng ậởấờ uậxấ ụ e x và khi 
ðóầ yr ụ e x Qn(x) 
Thí dụ 4: Giải phýõng trình ầ y’’ -4y’ ự ĩy ụ ĩ e2x 
Phýõng trình ðặc trýng týõng ứng có dạng ầ 
k2 - 4k +3 = 0 có nghiệm k1 =1 , k2= 3 
nên nghiệm tổng quát của phýõng trình thuần nhất týõng ứng làầ y ụ ũ1ex + C2e3x 
Mặt khác số  = 2 không là nghiệm của phýõng trình ðặc trýngờ nên nghiệm riêng tìm 
ở dạng yr ụ ồe2x (do Pn(x) =3 ða thức bậc ế ấờ thay vào phýõng trình ðã cho cóầ 
4Ae2x - 8Ae2x + 3Ae2x = 3e2x  A = -3 
Vậy nghiệm tổng quát của phýõng trình là ầ 
y = C1ex + C2e3x –3e2x 
Thí dụ 5: Giải phýõng trình ầ y’’ ựy ụ xex ự ĩ e-x 
Phýõng trình ðặc trýng týõng ứng có dạng ầ 
k2 +1 = 0  k1,2 =  i2 
nên nghiệm tổng quát của phýõng trình thuần nhất týõng ứng làầ yo ụ ũ1cos x C2 sin 
x 
Do vế phải là tổng của ị hàm f1 = xex , f2 = 2e-x nên ta lần lýợt tìm nghiệm riêng của 
phýõng trình lần lýợt ứng với vế phải là f1, và f2 : 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 121 
+ Với f1 = xex thì  = 1 không là nghiệm của phýõng trình ðặc trýng ờ ỳnậxấ ụ 
x nên nghiệm riêng có dạng ầ yr1 = (Ax+B)ex 
+ Với f2 = 2e-x thì  = -1 cũng không là nghiệm của phýõng trình ðặc trýng ờ 
Pn(x) = 2 nên nghiệm riêng có dạng ầ yr2 = Ce-x 
Theo nguyên lý xếp chồngờ nghiệm riêng của phýõng trình ðã cho ðýợc tìm ở dạng ầ 
yr = (Ax+B)ex + Ce-x 
 yr
’ ụ ậồxựửấex - Ce-x + Aex 
 yr’’ ụ ậồxựửấex + Ce-x + 2Aex 
Thế vào phýõng trình ðã choờ có ầ 
2Axex + (2A+2B)ex + 2Ce-x = xex + 2e-x 
Từ ðóờ ta có ầ ịồ ụữờ ịồ ự ịử ụ ế ờ ịũ ụị 
 
Vậy nghiệm tổng quát của phýõng trình là ầ 
3.2. Vế phải fậxấ ụ e x [ Pn(x) cos  x +Qm(x) sin  x ] 
Trong ðó ỳnậxấờ ẵmậxấ là ða thức bậc nờ m týõng ứngờ  ,  là các số thựcề 
Khi ðó ta tìm nghiệm riêng của ậỏấ ở dạngầ 
yr = u(x) [ Rs(x) cos  x + Hs(x) sin  x ] (7) 
( = 0 sẽ týõng ứng trýờng hợp ðã nêu ở trênấờ với s ụ max {mờn}ờ Ởsậxấờ ổsậxấ là ða 
thức bậc s với ịậsựữấ ðýợc xác ðịnh bằng cách thay ậứấ vào ậỏấ và ðồng nhất ị vế ta 
có các phýõng trình ðại số tuyến tính ðể tìm các hệ sốề ổàm uậxấ có dạng cụ thể là : 
a). Nếu    là nghiệm của phýõng trình ðặc trýng týõng ứngờ uậxấ ụ e x và 
khi ðó yr ụ e x [ Rs(x) cos  x + Hs(x) sin  x ] 
b). Nếu    không là nghiệm của phýõng trình ðặc trýng týõng ứngờ uậxấ ụ 
xe x và khi ðó ầ 
yr = e x [ Rs(x) cos  x + Hs(x) sin  x ] 
Thí dụ 6: Giải phýõng trình ầ y’’ ự y ụ sin x 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 122 
Phýõng trình ðặc trýng týõng ứng có dạng ầ 
k2 +1 = 0 có nghiệm k1,2 =  i2 
nên nghiệm tổng quát của phýõng trình thuần nhất týõng ứng làầ yoụ ũ1cos x C2 sin x 
Ở ðây  = 0,  =1, nên   i =  i là nghiệm của phýõng trình ðặc trýngề ∞ặt khácờ 
do n =m=0, cho nên s ụ ếề Vậy nghiệm tổng quát ðýợc tìm ở dạngầ yr ụ 
x(Acosx+Bsinx) 
 yr’ ụ xậ -Asinx + Bcosx) + (Acosx+Bsinx) 
 yr’’ ụ ịậ -Asinx + Bcosx) + x( -Acosx - Bsinx) 
 yr’ ự yr ụ -2Asinx + 2Bcosx = sinx 
 -2A = 1, 2B =0  A= -1/2 , B = 0 
Vậy nghiệm riêng là ầ 
Và nghiệm tổng quát là ầ 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 123 
BÀI TẬP CHÝÕNG 4 
I. Chứng tỏ rằng hàm số y = f(x) là nghiệm của phýõng trình vi phân týõng 
ứng 
1) xy’’ – y’ ụ ế y = x 2 ; y =1 ; y = c1x2 + c2 
2) 
a) y = 
3) x2y’ ự xy ụ exờ 
4) yy’’ụ ịậy’ấ2 - 2y’ 
a) y = 1 ; 
b) b) y = tgx 
II. Giải các phýõng trình vi phân sau: 
1. x( y2 – 1 )dx - ( x2 + 1)ydx = 0 
2. (x2 - xy)dx - (y2 + x2)dy = 0 
3. (x2 + 2xy)dx + xydy = 0 
4. y’cosx - ysinx = sin2x 
5. y = xy’ ự y’lny 
6. y’ - xy = - 
7. xy’ ụ ịậx - ) 
8. y’ ự sinậxựyấ ụ sinậx-y) 
9. y’ụịx-y , y(-3) = (-5) 
10. y’ ụ ex+y + ex-y , y(0) = 0 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 124 
11. y’ ụ 
12. y’cos2x + y = tgx 
13. y’ự = x2 y4 
14. y’cosx ự y ụ ữ – sinx 
15. (2xy +3)dy – y2dx = 0 ( coi x là hàm số ấ 
16. (y4 + 2x)y’ ụ y ậ coi x là hàm số ấ 
17. 
18. ydx + ( x + x2y2)dy = 0 ( coi x là hàm số ấ 
III. Giải các phýõng trình vi phân cấp 2 sau: 
1) y’’ ự y’ ụ ế 
2) y’’ ự yy’ ụ ế 
3) y’’ ụ ậy’ấ2 
4) 2(y’ấ2 = (y - 1)y’’ 
5) y’’2 = 1 + y’2 
6) y’’ ụ y’ey 
7) (y + y’ấy’’ ự y’2 = 0 
8) 3y’2 = 4yy’’ ựy’2 
9) yy’’ – y’2 = y2lny 
IV. Giải các bài toán Cauchy sau: 
1) xy’’ ự y’ ụ ếờ yậữấ ụ -3, y’ậữấ ụ ị 
2) 2y’’ ự y’2 = -1, y(-1) = 2, y’ậữấ ụ ế 
3) y’’ậx2 + 1) = 2xy’ờ yậếấ ụ ữề y’ậếấ ụ ĩ 
4) yy’’ – y’2 = 0, y(0) = 1, y’ậếấ ụ ị 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 125 
5) y’’ ự 
6) 
7) Cho phýõng trình , r(0) = R, r’ậếấ ụ vo 
Xác ðịnh vo ðể khi t -->  thì r -->  
(bài toán tìm vận tốc vũ trụ cấp haiấ 
V. Phýõng trình tuyến tính cấp hai 
1)Các hàm sau có ðộc lập tuyến tính hay khôngầ 
a) (x + 1) và ậx2 – 1) 
b) x và ậịx ự ữấ 
c) lnx và lnx2 
2) Giải phýõng trình khi biết một nghiệm là y1 
a) y’’ ự y ụ ế ờ biết y1 = cosx 
b) x2y’’ – 2y = 0, biết y1 = x2 
c) y’’ – y’ – 2y = 0, biết y1 = e-x 
d) 4x2y’’ ự y ụ ếờ x ễ ếờ biết y1 = 
e) x2y’’ - 5xy’ ự ạy ụ ếờ biết y1 = x3 
f) (1-x2)y’’ – 2xy’ ự ịy ụ ếờ biết y1 = x 
3) Tìm nghiệm tổng quát phýõng trình ầ 
xy’’ – (2x + 1)y’ ự ậx ự ữấy ụ ế 
4) Giải phýõng trìnhầ xy’’ ự y’ ụ x2 
5) Giải phýõng trìnhầ y’’ ự 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 126 
Biết một nghiệm của phýõng trình thuần nhất týõng ứng là ầ 
VI. Phýõng trình vi phân tuyến tính hệ số hằng 
Giải các phýõng trình sauầ 
1) y’’ - 2y’ – 3y = 0 
2) y’’ ự ịỏy ụ ế 
3) y’’ – 2y’ ựữếy ụ ếờ 
4) y’’ ự y’ ụ ếờ yậếấ ụ ữờ y’ 
5) y’’ - 10y’ ự ịỏy ụ ếờ yậếấ ụ ếờ y’ậếấ ụ ữ 
6) y’’ -2y’ -3y = e4x 
7) y’’ ự y’ -2y = cosx – 3sinx 
8) y’’ – 6y’ ự ≤y ụ ĩx2 +2x +1 
9) y’’ ự ởy ụ sinịx ự ữ ờ yậếấ ụ 
10) y’’ – y = x.cos2x 
11) y’’ – 2y’ ự ịy ụ exsinx 
12) y’’ ự y ụ tgx 
13) y’’ ự ởy ụ cosịxờ yậếấ ụ y 
14) y’’ ự ỏy’ ự ẳy ụ