Giáo trình Tín hiệu và hệ thống - Chương 6: Phân tích hệ thống liên tục theo thời gian dùng biến đổi Laplace

6.2-3 Tìm biến đổi Laplace của các hàm sau 
(a) 
65
)52(
2
2
++
+ -
ss
es s
 (c) 
52
3
2
)1(
+-
+--
ss
e s
(b) 
22
2
2
3
++
+-
ss
se s
 (d) 
23
3
2
2
++
++ --
ss
ee ss
6.2-4 Có thể tìm biến đổi Laplace của tín hiệu tuần hoàn dùng kiến thức của biến đổi 
Laplace trong chu kỳ đầu 
(a) Nếu biến đổi Laplace của )(tf trong hỉnh P6.2-4a là )(sF , chứng tõ là )(sG , 
biến đổi Laplace của )(tg [hình P6.2-4b], là 
 0Re
1
)(
)(
0
>
-
= - se
sF
sG sT 
(b) Từ kết quả này, tìm biến đổi Laplace của tín hiệu )(tp trong hình P6.2-4c 
Hướng dẫn: 
x
xxx
-
=++++
1
1
1 32 L 1<x 
6.2-5 Đầu tiên từ 1)( Ûtd , tạo các cặp từ 2 đến cặp 10 trong bảng 6.1, dùng các đặc 
tính của biến đổi Laplace. Hướng dẫn: )(tu là tích phân của )(td , )(ttu là tích 
phân của )(tu [hay đao hàm lần hai của )(td ], v.v.,..,. 
6.2-6 (a)Tìm biến đổi Laplace của xung hình 6.3 chỉ dùng các đặc tính vi phân theo 
thời gian, dời theo thời gian, và 1)( Ûtd . 
(c) Trong thí dụ 6.7, biến đổi Laplace của )(tf tìm được từ biến đổi của 
22 / dtfd . Tìm biến đổi Laplace của )(tf trong thi 1dụ này bằng cách dùng 
biến đổi Laplace của dtdf / . 
Hướng dẫn: phần (b) dtdf / có thể xem là tổng của nhiều hàm bước (trễ với 
nhiều lượng khác nhau) 
6.3-1 Dùng biến đổi Laplace, giải các phương trình vi phân: 
(a) )()()23( 2 tDftyDD =++ )()(,0)0()0( tutfyy === -- & 
(b) )()1()()44( 2 tfDtyDD +=++ )()(,1)0(,2)0( tuetfyy t--- === & 
(c) )()2()()256( 2 tfDtyDD +=++ )(25)(,1)0()0( tutfyy === -- & 
6.3-2 Giải các phương trình vi phân trong bài tập 6.3-1 dùng biến đổi Laplace. Trong 
từng trường hợp xác định các thành phần ngõ vào –zêrô và trạng thái – zêrô của 
nghiệm. 
6.3-3 Giải các phương trình vi phân đồng nhất dùng biến đổi Laplace, giả sử các điều 
kiện đầu là zerô và ngõ vào )()( tutf = 
(a) )()(2)()3( 21 tftytyD =-+ 
 0)()42()(2 21 =++- tyDty 
(b) 0)()42()()2( 21 =+-+ tyDtyD 
 )()()12()()1( 21 tftyDtyD =+++- 
 Tìm hàm truyền quan hệ giữa )(1 ty và )(2 ty với ngõ vào )(tf 
6.3-4 Cho mạch điện hình P6.3-4, chuyển mạch ở vị trí mở thời gian dài trước 0=t , 
khóa được đóng lại tức thì 
(a) Viết phương trình vòng (trong miền thời gian) khi 0³t 
 (b) Giải tìm )(1 ty và )(2 ty bằng phương pháp biến đổi Laplace. 
6.3-5 Tìm hàm truyền của các hệ thống đặc trưng bằng phương trình vi phân 
(a) )(35)(24112
2
tf
dt
df
ty
dt
dy
dt
yd
+=++ 
 (b) )(573)(6116 2
2
2
2
3
3
tf
dt
df
dt
fd
ty
dt
dy
dt
yd
dt
yd
++=+-+ 
 (c) )(2344
4
tf
dt
df
dt
dy
dt
yd
+=+ 
6.3-6 Tìm phương trình vi phân biểu diễn quan hệ giữa ngõ ra )(ty với ngõ vào )(tf , từ 
các hệ thống có hàm truyền sau: 
(a) 
83
5
)( 2 ++
+
=
ss
s
sH (b) 
758
53
)( 23
2
+++
++
=
sss
ss
sH 
(c) 
52
275
)( 2
2
+-
++
=
ss
ss
sH 
6.3-7 Hệ thống có hàm truyền 
65
5
)( 2 ++
+
=
ss
s
sH 
(a) Tìm đáp ứng (trạng thái – zêrô) khi ngõ vào )(tf là: 
(i) )(3 tue t- (ii) )(4 tue t- (iii) )5()5(4 --- tue t (iv) )()5(4 tue t-- (v) )5(4 -- tue t 
(b) Viết phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa ngõ ra )(ty với ngõ vào )(tf 
6.3-8 Làm lại bài tập 6.3-7 khi 
62
32
)( 2 ++
+
=
ss
s
sH và ngõ vào )(tf là: (a) )(10 tu (b) )5( -tu 
6.3-9 Làm lại bài tập 6.3-7 khi 
9
)( 2 +
=
s
s
sH và ngõ vào )(tf là )()1( tue t-- 
6.3-10 Cho hệ LT – TT – BB có các điều kiện đầu là zêrô (hệ thống ban đầu ở trạng thái- 
zêrô), ngõ vào )(tf tạo ngõ ra )(ty , chứng tõ là: 
(a) ngõ vào dtdf / tạo ngõ ra dtdy / 
(b) ngõ vào ò
t
df
0
)( tt tạo ngõ ra ò
t
dy
0
)( tt , từ đó, chứng tõ đáp ứng bước đơn vị 
của hệ thống là tích phân của đáp ứng xung đơn vị, tức là ò
t
dh
0
)( tt 
6.4-1 Tìm đáp ứng trạng thái – zêrô )(0 tv của mạng hình P6.4-1 nếu điện áp ngõ vào 
)()( tutetf t-= . Tìm hàm truyền quan hệ giữa ngõ ra )(0 tv và ngõ vào )(tf , tiếp 
đến, viết phương trình vi phân vào – ra của hệ thống. 
6.4-2 Chuyển mạch trong hình P6.4-2 được đóng trong thời gian dài và được mở tức 
thời tại 0=t . Tìm và vẽ dòng điện ).(ty 
6.4-3 Tìm dòng điện )(ty trong mạch cộng hưởng hìnhP6.4-3 khi ngõ vào là: 
(a) )(cos)( 0 ttuAtf w= 
 (b) )(sin)( 0 ttuAtf w= 
 Giả sử mọi điều kiện đầu là zêrô 
LC
12
0 =w 
6.4-4 Tìm dòng điện vòng )(1 ty và )(2 ty khi 0³t trong mạch hình P6.4-4a khi ngõ 
vào )(tf được vẽ trong hình P6.4-4b. 
6.4-5 Trong mạch hình P6.4-5, chuyển mạch được đóng trong thời gian dài, và được 
mở tức thời tại 0=t . Tìm )(1 ty và )(tvs khi 0³t 
6.4-6 Tìm điện áp ra )(0 tv khi 0³t V trong mạch hình P6.4-6 khi ngõ vào là 
)(100)( tutf = và hệ thống ban đầu ở trạng thái – zêrô. 
6.4-7 Tìm điện áp ra )(0 tv trong mạch hình P6.4-7 nếu điều kiện đầu là AiL 1)0( = và 
VvC 3)0( = (Hướng dẫn: Dùng dạng song song của máy phát điều kiện đầu) 
6.4-8 Cho mạng hình P6.4-7, chuyển mạch ở vị trí a trong thời gian dài và được 
chuyển tức thời sang vị trí b tại 0=t . Tìm dòng điện )(ty khi 0>t 
Hướng dẫn: dùng mạch tương đương Thevenin 
6.4-9 Chứng tõ là hàm truyền giữa điện áp ngõ ra )(ty và điện áp ngõ vào )(tf của 
mạch op –amp trong hình P6.4-9a là 
as
Ka
sH
+
=)( với 
a
b
R
R
K +=1 và 
RC
a
1
= 
 Và hàm truyền của mạch hình P6.4-9b là 
as
Ks
sH
+
=)( 
6.4-10 Trong hệ bậc hai dùng op-amp trong hình P6.4-10, chứng tõ hàm truyền giữa 
điện áp ngõ ra )(0 tv và điện áp ngõ vào )(tf là 
128
)( 2 ++
-
=
ss
s
sH 
6.4-11 Dùng định lý giá trị đầu và giá trị cuối, tìm giá trị đầu và giá trị cuối của đáp 
ứng trạng thái – zêrô của hệ thống có hàm truyền 
562
1036
)( 2
2
++
++
=
ss
ss
sH và với ngõ vào là: (a) )(tu (b) )(tue t- . 
6.5-1 Hình P6.5-1a vẽ hai đoạn vào) là ½. Hình P6.5-1b vẽ hai đoạn này được nối đuôi 
nhau 
(a) Hàm truyền của mạng nối đuôi này có phải là (1/2)(1/2)=1/4? 
(b) Nếu đúng, chứng minh lại dùng phép tính hàm truyền? 
(c) Làm lại bài tập khi 20043 == RR . Điều này có quan hệ gì với câu (b) 
6.5-2 Trong hình 6.18, )(1 th và )(2 th là các đáp ứng xung của hệ thống có hàm truyền 
là )(1 sH và )(2 sH . Xác định đáp ứng xung của kết nối nối tiếp và kết nối song 
song của )(1 sH và )(2 sH vẽ ờ hình 6.18b và c. 
6.6-1 Thực hiện 
)4)(3)(1(
)2(
)(
+++
+
=
sss
ss
sH 
bằng dạng chính tắc, nối tiếp và song song 
6.6-2 Làm lại bài 6.6-1 nếu 
(a) 
)22)(1(
)2(3
)( 2 +++
+
=
sss
ss
sH (b) 2)4)(2(
42
)(
++
-
=
ss
s
sH 
6.6-3 Làm lại bài 6.6-1 nếu 
)3()2(5
32
)( 2 ++
+
=
sss
s
sH Hướng dẫn: đưa hệ số của bậc lủy thừa cao nhất của 
mẫu số về đơn vị. 
6.6-4 Làm lại bài 6.6-1 nếu 
)8)(6)(5(
)2()1(
)(
+++
++
=
sss
sss
sH Hướng dẫn: trường hợp này m = n = 3 
6.6-5 Làm lại bài 6.6-1 nếu 
)3)(2()1(
)( 2
3
+++
=
sss
s
sH 
6.6-6 Làm lại bài 6.6-1 nếu 
)134()1(
)( 22
3
+++
=
sss
s
sH 
6.6-7 Bài tập này được dùng để cho thấy cặp cực phức liên hợp có thể dùng thực hiện 
mạch nối đuôi hai hàm truyền bậc nhất. Chứng tõ hàm truyền các sơ đồ khối trog 
hình P6.6-7a và b là: 
(a) 
)(2
1
)(
1
)( 22222 baassbas
sH
+++
=
++
= 
(b) 
)(2)(
)( 22222 baass
as
bas
as
sH
+++
+
=
++
+
= , từ đó, chứng minh là hàm truyền 
của sơ đồ khối trong hình P6.6-7c là 
(c) 
)(2)(
)( 22222 baass
BAs
bas
BAs
sH
+++
+
=
++
+
= 
6.6-8 Dùng op –amp thực hiện hàm truyền sau: 
(i) 
5
10
+
-
s
 (ii) 
5
10
+s
 (iii) 
5
2
+
+
s
s
6.6-9 Dùng op – amp thực hiện mạch có hàm truyền sau 
5
3
1
5
2
)(
+
-=
+
+
=
ss
s
sH 
6.6-10 Dùng op amp thực hiện chính tắc (canonical realization) hàm truyền sau 
104
73
)( 2 ++
+
=
ss
s
sH 
6.6-11 Dùng op amp thực hiện chính tắc (canonical realization) hàm truyền sau 
134
25
)( 2
2
++
++
=
ss
ss
sH 
6.7-1 Tìm thời gian lên tr, thời gian thiết lập ts, phần trăm vọt lố (PO), và sai số xác lập 
es, er , và ep cho các hệ thống sau, có hàm truyền là: 
(a) 
93
9
2 ++ ss
 (b) 
43
4
2 ++ ss
 (c) 
10010
95
2 ++ ss
6.7-2 Hệ thống điều khiển vị trí, vẽ ở hình P6.7-2, đáp ứng bước đơn vị cho thấy thời 
gian đỉnh 4/p=pt , phần trăm vọt lố (PO = 9%), và giá trị xác lập của ngõ ra với 
tín hiệu bước đơn vị là 2=SSy . Tìm 21, KK và a. 
6.7-3 Hệ thống điều khiển vị trí, vẽ ở hình P6.7-3, có các đặc tính sau 3.0£rt , 1£st , 
phần trăm vọt lố (PO %30£ ), và 0=se . Cho biết đặc tính nào không phù hợp 
với hệ thống có giá trị K bất kỳ? Đặc tính nào phù hợp với chỉnh định K đơn 
giản? 
6.7-4 Hàm truyền vòng hở của bốn hệ vòng kín cho dưới đây. Vẽ quỹ đạo nghiệm cho 
từng trường hợp 
(a) 
)5)(3(
)1(
++
+
sss
sK
 (c) 
)3(
)5(
+
+
ss
sK
(b) 
)7)(5)(3(
)1(
+++
+
ssss
sK
 (d) 
)22)(4(
)1(
2 +++
+
ssss
sK
6.7-5 Trong hệ phản hồi đơn vị ở hình P6.7-5. Ta cần đạt các đặc tính sau %,16³PO 
2,0£rt , 5,0£st , 0=se và 06,0£re . Có khả năng thực hiện các đặc tính này 
bằng cách chỉnh định K không? Nếu không, đề nghị dạng mạch bù thích hợp và 
tìm lại các giá trị ,PO rt , st , se và re . 
6.8-1 Tìm vùng hội tụ, nếu tồn tại của biến đổi Laplace (hai bên) của các tín hiệu sau: 
(a) )(ttue (b) )(ttue- (c) 21
1
t+
 (d) 
te+1
1
 (e) 
2kte- 
6.8-2 Tìm biến đổi Laplace (hai bên) và vùng hội tụ tương ứng của các tín hiệu sau: 
(a) te- (b) te t cos- (c) )()( 2 tuetue tt -+ 
 (d) )(ttue- (e) )( ttue - (f) )()(cos 0 tuettu
t -+w 
6.8-3 Tìm biến đổi nghịch của biến đổi Laplace (hai bên) 
(a) 23
)3)(2(
52
-<<-
++
+ s
ss
s
(b) 32
)3)(2(
52
<<
--
- s
ss
s
(c) 1
)2)(1(
32
->
++
+ s
ss
s
(d) 2
)2)(1(
32
-<
++
+ s
ss
s
(e) 51
)5)(3)(1(
1723 2
<<-
-++
-- s
sss
ss
6.8-4 Tìm biến đổi nghịch của biến đổi Laplace (hai bên) 
)2)(1)(1(
622 2
+-+
--
sss
ss
 nếu vùng hội tụ là 
 (a) 1Re >s (b) 2Re -<s (c) 1Re1 <<- s (d) 1Re2 -<<- s 
6.8-5 Hệ LT – TT – BB và nhân quả có hàm truyển 
1
1
)(
+
=
s
sH , tìm ngõ ra )(ty khi ngõ vào )(tf là 
 (a) 2/te- (d) )()(2 tuetue tt -+ 
 (b) )()( 2 tuetue tt -+ (e) )()( 2/4/ tuetue tt -+ -- 
 (c) )()( 4/2/ tuetue tt -+ -- (f) )()( 23 tuetue tt -+ --