Giáo trình Tín hiệu và hệ thống - Chương 4: Phân tích tín hiệu liên tục theo thời gian biến đổi Fourier

thời gian, chứng tõ cặp 2, 4, 13 và 14 trong bảng 2.1 (giả sử 
0l trong cặp 13, 1l và 02 >l 
trong cặp 14). 
Hướng dẫn: Dùng khai triển đa thức. Đối với cặp 12, dùng kết quả từ phương trình (1.23) 
4.3-9 Tín hiệu )(tf có băng thông giới hạn ở B Hz. Chứng tõ là tín hiệu )(tf n có băng thông 
nB Hz. Hướng dẫn: Bắt đầu với n = 2. Dùng đặc tính của tích chập theo tần số và đặc tính 
về độ rộng của phép tích chập. 
4.3-10 Tìm biến đổi Fourier của tín hiệu trong hình P4.3-3a với ba phương pháp khác nhau: 
(a) Lấy tích phân trực tiếp từ định nghĩa (4.8a) 
(b) Chỉ dùng cặp 17 và đặc tính dời theo thời gian 
(c) Dùng các đặc tính vi phân và dời theo thời gian, và 1)( Ûtd 
 Hướng dẫn: xx 2sin22cos1 =- 
4.3-11 (a) Chứng minh đặc tính vi phân theo tần số (đối ngẫu với vi phân theo thời gian) 
 )()( w
w
F
d
d
tjtf Û- 
(b) Dùng đặc tính này và cặp 1 (bảng 4.1), xác định biến đổi Fourier của )(tute at- 
4.4- 1 Hệ thống LT – TT – BB có hàm truyền 
1
1
)(
+
=
s
sH 
 Tìm đáp ứng trạng thái zêrô nếu ngõ vào )(tf là: 
 (a) )(2 tue t- (b) )(tue t- (c) )( tuet - (d) )(tu 
 Hướng dẫn: Từ phần (d), cần áp dụng kết quả của phương trình (1.23) 
4.4-2 Hệ thống LT – TT – BB có hàm truyền 
21
1
)(
-
-
=
w
w
j
H 
 Tìm đáp ứng xung của hệ thống và chứng tõ đây là hệ thống không nhân quả. Tìm đáp 
ứng trạng thái – zêrô của hệ thống khi ngõ vào )(tf là: (a) )(tue t- (b) )( tuet - 
4.4-3 Tín hiệu )10(10)( 441 trecttf = và )()(2 ttf d= là các ngõ vào của bộ lọc thông thấp lý 
tưởng ÷
ø
ö
ç
è
æ=
p
ww
000.40
)(1 rectH và ÷
ø
ö
ç
è
æ=
p
ww
000.20
)(2 rectH (hình P4.4-3). Các ngõ ra 
)(1 ty và )(2 ty của các bộ lọc được nhân với nhau để có )()()( 21 tytyty = . 
(a) Vẽ )(1 wF và )(2 wF 
(b) Vẽ )(1 wH và )(2 wH 
(c) Vẽ )(1 wY và )(2 wY 
(d) Tìm băng thông của )(1 ty , )(2 ty và )(ty 
 Hướng dẫn cho phần (d): Dùng đặc tính tích phân chập và đặc tính về độ rộng của tích 
phân chập để xác định băng thông của )()( 21 tyty . 
4.4-4 Hằng số thời gian của bộ lọc thông thấp thường được định nghĩa là độ rộng của đáp ứng 
xung )(th (xem phần 2.7-2). Xung vào )(tp có cường độ bằng với điện tích của )(tp nếu 
độ rộng của )(tp là rất bé so với hằng số thời gian của hệ thống. Giả sử )(tp là xung thông 
thấp, tức là có phổ tập trung tại các tần số thấp. Kiểm tra lại đáp ứng bằng cách xét hệ 
thống có đáp ứng xung đơn vị là ÷
ø
ö
ç
è
æ= -310
)(
t
rectth . Xung vào là xung tam giác 
÷
ø
ö
ç
è
æD= -610
)(
t
tp . Phần diện tích của xung là 6105,0 -= xA . Chứng tõ là đáp ứng của hệ 
thống với xung này rất giống với đáp ứng hệ thống khi ngõ vào là )(tAd . 
4.4-5 Hằng số thời gian của bộ lọc thông thấp thường được định nghĩa là độ rộng của đáp ứng 
xung )(th (xem phần 2.7-2). Xung )(tp vào hệ thống không bị méo trong thực tế, nếu độ 
rộng của )(tp rất lớn hơn hằng só thời gian của hệ thống. . Giả sử )(tp là xung thông thấp, 
tức là có phổ tập trung tại các tần số thấp. Kiểm tra lại đáp ứng bằng cách xét hệ thống có 
đáp ứng xung đơn vị là ÷
ø
ö
ç
è
æ= -310
)(
t
rectth . Xung vào là xung tam giác ( )ttp D=)( . Chứng 
tõ là đáp ứng của hệ thống với xung này rất gần )(tkp với k là độ lợi của hệ thống khi ngõ 
vào là tín hiệu dc, tức là )0(Hk = . 
4.4-6 Tín hiệu nhân quả )(th có biến đổi Fourier là )(wH . Nếu )(wR và )(wX là phần thực và 
phần ảo của )(wH , tức là )()()( www jXRH += , chứng minh: 
 ò
¥
¥- -
=
y
X
R
w
w
p
w )(1)( và ò
¥
¥- -
-=
y
R
X
w
w
p
w )(1)( 
 Giả sử )(th không có xung tại gốc, thì cặp tích phân trên gọi là biến đổi Hilbert. 
 Hướng dẫn: gọi )(the và )(tho là các thành phần chẵn và lẻ của )(th . Dùng kết quả 
trong bài tập 4.1-3, xem phương trình 1.24 để tìm quan hệ giữa )(the và )(tho . Nhắc lại 
wjt /2)sgn( Û . Dùng đặc tính tích phân chập. 
 Bài tập này cho thấy các đặc tính quan trọng của hệ thống nhân quả: là phần thực và 
phần ảo quan hệ với nhau trong hàm truyền của hệ thống nhân quả. Nếu đã đặc trưng phần 
thực thì phần ảo không thể đặc trưng độc lập nũa. Phần ảo đã được định trước từ phần thực, 
và ngược lại. Kết quả này dẫn đến kết luận là biên độ và pha của )(wH có quan hệ với nhau 
khi mọi cực và zêrô đều nằm bên trái mặt phẳng phức. 
4.5-1 Xét bộ lọc có hàm truyền )( 02)( tjkeH www +-= 
 Chứng tõ hàm truyền này là không thực hiện được trong thực tế dùng các tiêu chuẩn trong 
miền thời gian [hàm )(th không nhân quả và các tiêu chuẩn trong miền tần số (Paley-Wiener). Bộ 
lọc này có thể thực hiện xấp xỉ không với việc chọn 0t đủ lớn? Dùng tiêu chuẩn riêng về xấo xỉ 
của bạn để xác định 0t . Hướng dẫn: Dùng cặp 22 trong bảng 4.1. 
4.5-2 Chứng tõ bộ lọc với hàm truyền 
 0
102
5
10
)10(2
)( tjeH w
w
w -
+
= 
 Là không thực hiện được. Có thể thực hiện mạch xấp xỉ khi cho t0 đủ lớn? Dùng tiêu chuẩn 
xấp xỉ của bạn để xác định t0. 
 Hướng dẫn: chứng tõ và đáp ứng xung là không nhân quả. 
4.5-3 Xác định xem các bộ lọc với hàm truyền sau là thực hiện được trong thực tế 
Nếu không thực hiện được, thì có thể thực hiện chúng một cách chính xác hay xấp xỉ bằng 
cách cho thời gian trễ hữu hạn trong đáp ứng? 
)(wH = (a) )10(sin10 66 w-- c (b) ÷
ø
ö
ç
è
æD-
p
w
000.40
10 4 (c) )(2 wpd 
4.6-1 Chứng tõ là năng lượng của xung Gauss 
 2
2
2
2
1
)( e
t
etf
ps
= là 
ps2
1
. Kiểm nghiệm kết quả bằng cách tìm năng lượng fE từ 
)(wF dùng định lý Parseval. Hướng dẫn: Xem cặp 22 trong bảng 4,1. Dùng sự kiện 
 ò
¥
¥-
- = p22/
2
dxe x 
4.6-2 Chứng tõ là 
 ò
¥
¥-
=
k
dxkxc
p
)(sin 2 
 Hướng dẫn: thừa nhận là tích phân trên là năng lượng của )(sin)( ktctf = . Tìm năng lượng 
dùng định lý Parseval. 
4.6-3 Tín hiệu thông thấp )(tf được đưa qua linh kiện có tính bình phương. Ngõ ra )(2 tf được 
đưa qua mạch lọc thông thấp có băng thông là FD (Hz) trong hình P4.6-3. Chứng tõ là nếu 
FD rất nhỏ ( 0®DF ), thì ngõ ra là tín hiệu dc fEty f D» 2)( . 
Hướng dẫn: Nếu 
)()(2 wAtf Û , chứng minh là )(])0(4[)( wdpw FAY D» nếu 0®DF , chứng minh rằng 
fEA =)0( 
4.6-4 Tổng quát hóa định lý Parseval để chứng minh là với tín hiệu thực, có biến đổi Fourier 
)(1 tf và )(2 tf thì 
 òòò
¥
¥-
¥
¥-
¥
¥-
-=-= www
p
www
p
dFFdFFdttftf )()(
2
1
)()(
2
1
)()( 212121 
4.6-5 Cho tín hiệu 
 22
2
)(
at
a
tf
+
= 
 Xác định băng thông chủ yếu B Hz của )(tf sao cho năng lượng chứa trong các thành 
phần phổ của )(tf có tần số thấp hơn B Hz là 99% của năng lượng tín hiệu fE . Hướng dẫn: Xem 
bài tập E 4.5b 
4.7-1 Với mỗi trong ba tín hiệu băng nền 
(i) ttm 1000cos)( = (ii) tttm 2000cos1000cos2)( += (iii) tttm 3000cos1000)( = 
(a) Vẽ phổ của )(tm 
(b) Vẽ phổ của tín hiệu DSB – SC ttm 000.10cos)( . 
(c) Tìm phổ của biên tần trên (USB) và biên tần dưới (LSB) 
(d) Tìm các tần số trong băng nền, và các tần số tương ứng của phổ DSB – SC, USB và LSB. Tìm 
bản chất của sự dời tần trong từng trường hợp. 
4.7-2 Bạn được yếu cầu thiết kế bộ điều chế DSB – SC tạo tín hiệu điều chế ttkm cwcos)( , trong 
đó )(tm là tín hiệu có băng thông giới hạn là B Hz (hình P4.7-2a). Hình P4.7-2b vẽ bộ điều 
chế DSB – SC thích hợp. Bộ lọc thông dải chỉnh ở tần số cw . Máy phát sóng mang không 
tạo ra tcwcos mà tạo ra tcw3cos 
(a) Bạn có thể tạo ra tín hiệu cần thiết chỉ dùng thiết bị này không? nếu được, cho biết k là 
bao nhiêu? 
(b) Xác định phổ tín hiệu tại điểm b và c, và cho biết dải tần số của các phổ trên 
(c) Cho biết giá trị tối thiểu để cw còn được dùng? 
(d) Sơ đồ này có hoạt động được không nếu ngõ ra của máy phát sóng mang là tcw3cos ? 
Giải thích? 
(e) Sơ đồ này có hoạt động được không nếu ngõ ra của máy phát sóng mang là tcn wcos ? 
Với các giá trị số nguyên 2³n ? 
4.7-3 Trong thực tế, việc nhân tín hiệu analog thường phức tạp và tốn kém. Do đó, trong bộ điều 
chế biên độ, cần tìm ra cách khác để nhân )(tm với tcwcos . May mắn là trong trường hợp 
này, ta có thể thay phép nhân bằng tác động chuyển mạch. Tương tự cho trường hợp giải 
điều chế. Trong sơ đồ hình P4.7-3a, chu kỳ của xung vuông tuần hoàn )(tx trong hình 
P4.7-3b là cT wp /20 = . Bộ lọc thông dải có tần số trung tâm là cw± . Chú ý là phép nhân 
xung vuông tuần hoàn )(tx trong hình P4.7-3b thực ra là chuyển mạch on –off theo chu kỳ 
của )(tm . Đây là sơ đồ tương đối đơn giản và rẽ tiền. 
Chứng tõ là sơ đồ này có thể tạo tín hiệu đã điều chế tk cwcos . Xác định giá trị của k. 
Chứng tõ là sơ đồ này còn có thể dùng giải điều chế khi thay bộ lọc thông dải trong hình 
P4.7-3a bằng bộ lọc thông thấp (hay băng nền). 
4.7-4 Hình P4.7-4 giới thiệu sơ đồ giải điều chế đồng bộ. Chứng tõ là sơ đồ này có thể giải điều 
chế tín hiệu AM, ttmA cwcos)]([ + bất chấp giá trị A. 
4.7-5 Vẽ tín hiệu AM, ttmA cwcos)]([ + của tín hiệu tuần hoàn tam giác )(tm vẽ trong hình 
P4.7-5 tương ứng với các chỉ số điều chế (a) 5,0=m (b) 1=m (c) 2=m và (d) ¥=m . 
Hảy diễn giải trường hợp ¥=m 
4.7-6 Với từng tín hiệu trong ba tín hiệu băng nền 
 (i) ttm 100cos)( = (ii) tttm 300cos2100cos)( += (iii) tttm 500cos100cos)( = 
(a) Vẽ phổ của )(tm 
(b) Vẽ phổ của tín hiệu DSB – SC ttm 000.1cos)(2 . 
(c) Từ phổ của phần (b), loại phổ biên tần dưới (LSB) để có phổ biên tần trên USB. 
(d) Biết được phổ USB trong (b), viết biểu thức )(tUSBj của tín hiệu USB. 
(e) Làm lại phần (c) và (d) đề có tín hiệu LSB )(tLSBj 
4.8-1 Vẽ )(tFMj và )(tPMj của tín hiệu điều chế )(tm trong hình P4.8-1, cho biết 7102 xc pw = , 
 5102 xk f p= và p50=pk . 
4.8-2 Một tín hiệu băng nền )(tm là tín hiệu sóng răng cưa vẽ trong hình P4.8-2. Vẽ )(tFMj và 
)(tPMj của tín hiệu điều chế )(tm nếu 6102 xc pw = , p000.20=fk và 2/p=pk . Giải 
thích tại sao phải có p<pk trong trường hợp này? 
4.8-3 Tín hiệu điều chế 
 tttm p000.2cos18100cos2)( += 
 Tìm băng thông tương ứng với )(tFMj và )(tPMj nếu p000.1=fk và 1=pk . 
4.8-4 Tín hiệu điều chế góc mô tả bằng phương trình 
 )0002sin1,0cos(10)( ttt cEM pwj += 
 (a) Tìm độ dời tần FD (b) Ước lượng băng thông của )(tEMj 
4.8-5 Làm lại bài tập P4.8-4 nếu 
 )2000sin101000sin20cos(5)( tttt cEM ppwj ++=