Giáo trình Tín hiệu và hệ thống - Chương 3: Biểu diễn tín hiệu dùng chuỗi Fourier

), f2(t), f3(t) và f4(t) 
vẽ trong hình P3.2-1. Cho biết bạn sẽ chọn cặp xung nào trong thông tin nhị phân 
nhằm cung cấp ngưỡng chống nhiễu lớn nhất trong đường truyền? 
3.3-1 Cho x1(t) và x2(t) là hai tín hiệu trực giao (tức là có các năng lượng là đơn vị) 
 trong khoảng từ t = t1 đến t2. Xét tín hiệu f(t) với 
 f (t) = c1x1(t) + c2x2(t) t1 £ t £ t2 
 Tín hiệu này được biểu diễn bằng vectơ hai chiều f(c1, c2). 
(a) Xác định vectơ biểu diễn sáu tín hiệu sau trong không gian vectơ hai chiều: 
(i) )()(2)( 211 txtxtf -= (iv) )(2)()( 214 txtxtf += 
(ii) )(2)()( 212 txtxtf +-= (v) )()(2)( 215 txtxtf += 
(iii) )()(2)( 211 txtxtf -= (vi) )(3)( 16 txtf = 
(b) Cho biết cặp các vectơ trực giao tương hỗ trong sáu vectơ trên. Chứng tõ là 
cặp các tín hiệu tương ứng với các vectơ trực giao cũng trực giao. 
3.4-1 (a) Vẽ tín hiệu 2)( ttf = với mọi t và tìm chuỗi Fourier lượng giác )(tj để biểu 
diễn )(tf trong khoảng ( - 1, 1). (b) Vẽ )(tj với mọi giá trị của t. 
3.4-2 (a) Vẽ tín hiệu ttf =)( với mọi t và tìm chuỗi Fourier lượng giác )(tj để biểu 
diễn )(tf trong khoảng ( - p, p). (b) Vẽ )(tj với mọi giá trị của t. 
3.4-3 Với từng tín hiệu tuần hoàn vẽ trong hình P4.4-3, tìm chuỗi Fourier lượng giác 
dạng gọn và vẽ phổ biên độ và phổ pha. Khi thiếu các thừa số sin hay cosin trong 
chuỗi Fourier, hảy giải thích tại sao? 
3.4-4 (a) Tìm chuỗi Fourier lượng giác của x(t) vẽ trong hình P3.3-1 
(b) Tín hiệu x(t) là tín hiệu nghịch theo thời gian của )(tj trong hình 3.7b. Do đó, 
)()( ttx -= j . Vậy có thể tìm chuỗi Fourier của x(t) bằng cách thay t bằng - t 
trong chuỗi Fourier (phương trình 3.56) của )(tj . Kiểm nghiệm là chuỗi Fourier 
có được giống với chuỗi trong phần (a) 
 (c) Chứng tõ là thường thì nghịch theo thời gian của tín hiệu tuần hoàn không gây 
 ảnh hưởng đến phổ biên độ và phổ pha không không thay đổi trừ việc đảo dấu. 
3.4-5 (a) Tìm chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu tuần hoàn x(t) vẽ trong hình P3.4-5. 
(b) Tín hiệu x(t) là tín hiệu )(tj được nén theo thời gian với hệ số 2 vẽ trong hình 
3.7b. Như thế )2()( ttx j= . Vậy, chuỗi Fourier của x(t) có thể tìm bằng cách thay 
t bằng 2t trong chuỗi Fourier (phương trình 3.56) của )(tj . Kiểm nghiệm là chuỗi 
Fourier có được giống với chuỗi trong phần (a). 
 (c) Chứng tõ là thường thì phép nén theo thời gian của tín hiệu tuần hoàn với thừa 
 số a mở rộng phổ với cùng thừa số a. Nói cách khác 0C , nC và nq không thay 
 đổi, nhưng tần số cơ bản tăng theo thừa số a, lam mở rộng phổ. Tương tự khi dãn 
 theo thời gian của tín hiệu tuần hoàn theo thừa số a làm nén phổ Fourier của 
 chúng theo thừa số a. 
3.4-6 (a) Tìm chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu tuần hoàn g(t) trong hình P3.4-6. Sử 
dụng đặc tính đối xứng. 
(b) Quan sát thấy g(t) giống hệt f(t) trong hình 3.9 được dời đi 0,5 giây. Do đó, 
g(t) = f(t+0,5), và chuỗi Fourier cho g(t) có thể tìm bằng cách thay t bằng t 
+0,5 trong phương trình (3.63) [chuỗi Fourier của f(t)]. Kiểm nghiệm là chuỗi 
Fourier có được giống hệt chuỗi có được trong phần (a). 
(c) Chứng minh là, thông thường , khi dời theo chu kỳ tín hiệu với thời gian T 
giây thì không ảnh hưởng đến phổ biên độ. Tuy nhiện, pha của hài bậc n thì 
giảm (tăng) theo nw0T khi trể (sớm) T giây. 
3.4-7 Nếu hai nửa bán kỷ của tín hiệu tuần hoàn giống nhau về hình dạng nhưng một là 
phần âm của tín hiệu kia, tín hiệu tuần hoàn được gọi là có tính đối xứng nửa 
sóng. Nếu tín hiệu tuần hoàn f(t) với chu kỳ T0 thỏa điều kiện vầ tính đố icứng 
nửa sóng, thì 
 )()( 2
0 tftf T -=- 
 Trong trường hợp nàym chứng tõ là mọi hệ số hài bậc chẵn đều triệt tiêu, và các 
hệ số của thành phần hài bậc lẻ được cho bởi 
 ò=
2/
0 0
0
0
cos)(
4 T
n tdtntfT
a w và ò=
2/
0 0
0
0
sin)(
4 T
n tdtntfT
b w 
Dùng kết quả này, tìm chuỗi Fourier của các tín hiệu tuần hoàn trong hình P3.4-7. 
3.4-8 Trong một khoảng hữu hạn, tín hiệu có thể được biểu diễn bằng chuỗi Fourier 
lượng giác (hay dạng mủ). Thí cụ, nếu ta muốn biểu diễn f(t) = t trong khoảng 
10 ££ t dùng chuỗi Fourier có tần số cơ bản là w0 = 2, ta có thể vẽ xung f(t) = t 
trong khoảng 10 ££ t và lặp lại xung mỗi p giấy để T0 = p và w0 = 2. Nếu ta 
muốn chuỗi chỉ chứa thừa số cosin với w0 = 2, ta tạo xung f(t) = t trong khoảng 
10 ££ t , và lặp lại mỗi p giây (hình 3.4-8). Tín hiệu có được là hàm chẵn với chu 
kỳ p. Do đóm chuỗi Fourier sẽ chỉ có thừa số cosin với w0 = 2. Chuỗi Fourier biểu 
diễn f(t) = t trong khoảng mong muốn 10 ££ t . Ta không quan tâm đến những gì 
xuất hiện bên ngoải khoảng này. 
 Biểu diễn f(t) = t trong khoảng 10 ££ t dùng chuỗi Fourier có: 
 (a) 40
pw = và chứa mọi thành phần sóng hài, chỉ với thừa số sin. 
 (b) 20 =w và chứa mọi thành phần sóng hài, chỉ với thừa số sin. 
 (c) 20
pw = chứa mọi thành phần sóng hài, chỉ có thừa số một trong hai thừa số sin 
 hay cosin. 
 (d) 10 =w và chỉ có các hài lẻ và thừa số cosin. 
 (e) 20
pw = và chỉ có hài lẻ và thừa số sin. 
 (f) 10 =w và chỉ có các hài lẻ và một trong hai thừa số sin hay cosin. 
Hướng dẫn: trong các phần d, e và f, cần dùng tính đối xứng nửa sóng đã thảo luận trong 
bài tập 3.4-7, Thừa số cosin cho thấy có khả năng có thành phần dc. 
3.4-9 Xét tính tuần hoàn hay không tuần hoàn của các tín hiệu sau. Nếu tín hiệu là tuần 
hoàn, tìm chu kỳ và cho phép hài hiện diện trong chuỗi. 
 (a) tt 3sin2sin3 + (f) )30sin(3cos3sin 075625 +++ ttt 
 (b) tt 7cos44sin52 ++ (g) 415cos33sin tt + 
 (c) tt pcos73sin2 + (h) ( )25sin2sin3 tt + 
 (d) tt pp 2sin5cos7 + (i) ( )32sin5 t 
 (e) tt 2cos52cos3 + 
3.4-10 Tìm chuỗi Fourier lượng giác của f(t) vẽ trong hình P3.4-10 trong khoảng [0, 1]. 
Dùng w0 = 2p. Vẽ chuỗi Fourier j(t)với mọi t. Tính năng lượng của tín hiệu sai số 
e(t) nếu số thừa số trong chuỗi Fourier là N với N = 1, 2, 3, và 4. 
Hướng dẫn: Dùng phương trình (3.40) để tính năng lượng sai sô 
3.4-11 Hàm Walsh có thể chỉ lấy hai giá trị biên độ, tạo nên một tập đầy đủ các hàm trực 
giao và có tầm rất quan trọng trong ứng dụng số thực tế do có thể dễ dàng tạo ra 
chúng dùng mạch lọgic và do phép nhân các hàm này có thể được thiết lập một 
cách đơn giản dùng chuyển mạch đảo dấu. 
Hình P3.4-11 vẽ tám hàm đầu tiên trong tập này. Biểu diễn f(t) trong hình P3.4-11 
trong khoảng [0, 1] với chuỗi Fourier Walsh dùng 8 hàm cơ bản này. Tình năng 
lượng e(t), sai số phép xấp xỉ dùng N thừa số khác không đầu tiên trong chuỗi với 
N = 1, 2, 3 và 4. So sánh chuỗi Walsh với chuỗi Fourier lượng giác trong bài tập 
3.4-10 theo quan điểm năng lượng sai số với số N cho trước? 
3.4-12 Tập đa thức Legendre Pn(t), (n = 0, 1, 2, 3, . . .) tạo ra tập đầy đủ các hàm trực 
giao trong khoảng – 1< t < 1. Các đa thức này được định nghĩa là 
 n
n
n
nn tdt
d
n
tP )1(
2!
1
)( 2 -= n = 0, 1, 2, 3, . . . 
Do đó P0(t) = 1 P1(t) = 1 
 )13(
2
1
)( 22 -= ttP , )35(2
1
)( 33 tttP -= v,v, 
Đa thức Legendre là trực giao. Độc giả có thể kiểm tra là 
 ò-
+
î
í
ì
¹
=
=
1
1
12
2
0
)()(
nm
nm
dttPtP mnm 
(a) Biểu diễn f(t) trong hình P3.4-12a dùng chuỗi Fourier Legendre trong khoảng 
11 <<- t . Chỉ tính hai hệ số khác không đầu tiên trong chuỗi. Tính năng lượng e(t), sai 
số của phép xấp xỉ với một hay hai thừa số khác không. 
(b) Biểu diễn f(t) trong hình P3.4-12b dùng chuỗi Fourier Legendre. Tính hai hệ số khác 
không đầu tiên trong chuỗi. 
Hướng dẫn: Dù chuỗi chỉ có giá trị trong 11 <<- t , ta vẫn có thể mở rộng đến khoảng 
bất kỳ dùng phép tỉ lệ theo thời gian. 
3.5-1 Với từng tín hiệu trong hình P3.4-3, tìm chuỗi Fourier mủ và vẽ phổ tương ứng 
3.5-2 Chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu tuần hoản cho bởi 
 ( )321 5cos3sin2sin2cos33)( p+-+++= tttttf 
(a) Vẽ phổ Fourier lượng giác 
(b) Kiểm tra chuỗi trong phần a, vẽ phổ chuỗi Fourier mủ của f(t). 
(c) Kiểm tra chuỗi trong phần b, viết chuỗi Fourier mủ của f(t). 
Hướng dẫn: Để viết chuỗi Fourier thành dạng gọn, kết hợp các thừa số sin và cosin 
cùng tần số. Điều này luôn thực hiện được bằng cách chỉnh pha thích hợp. 
3.5-3 Chuỗi Fourier mủ của tín hiệu tuần hoàn được cho bởi 
 tjjtjttj ejejejejtf 33 )22(232)22()( -+-+++= -- 
(a) Vẽ phổ Fourier mủ 
(b) Kiểm tra chuỗi trong phần a, vẽ phổ chuỗi Fourier mủ của f(t). 
(c) Tìm chuỗi Fourier dạng gọn tử các phổ này 
(d) Tìm băng thông của tín hiệu 
3.5-4 Nếu tín hiệu tuần hoàn f(t) được biểu diễn theo chuỗi Fourier dạng mủ 
 å
¥
-¥=
=
n
tjn
neDtf
0)( w 
(a) Chứng tõ là chuỗi Fourier mủ của )()(ˆ Ttftf -= được cho bởi 
 å
¥
-¥=
=
n
tjn
neDtf
0ˆ)(ˆ w trong đó 
 nn DD =ˆ và TnDD nn 0ˆ w-Ð=Ð 
Điều này cho thấy là dời tín hiệu tuần hoàn đi T giây chỉ đơn giản là thay đổi phổ pha 
lượng nw0T. Phổ biên độ không đổi. 
(b) Chứng tõ là chuỗi Fourier mủ của f(t) = f(at) được cho bởi 
 å
¥
-¥=
=
n
tajn
neDtf
)( 0)(
~ w 
Kết quã này cho thấy là nén theo thời gian của tín hiệu tuần hoàn một lượng a thì làm 
dãn phổ Fourier đi cùng thừa số a. Tương tự, dãn theo thời gian của tín hiệu tuần hoàn 
một lượng a thì làm nén phổ Fourier đi cùng thừa số a. 
3.5-5 (a) Chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn trong hình 3.10a được cho trong bài tập 
E3.6. Kiểm tra lại định lý Parseval cho chuỗi này, với 
 å
¥
=
=
1
4
4 90
1
n n
p
 (b) Nếu xấp xỉ f(t) dùng N thừa số đầu tiên trong chuỗi, tìm N để công suất của tín 
 hiệu sai số nhỏ hơn 1% Pf. 
3.5-6 (a) Chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn trong hình 3.10b được cho trong bài tập 
E3.6. Kiểm tra lại định lý Parseval cho chuỗi này, với 
 å
¥
=
=
1
2
2 6
1
n n
p
 (b) Nếu xấp xỉ f(t) dùng N thừa số đầu tiên trong chuỗi, tìm N để công suất của 
 Tín hiệu sai số nhỏ hơn 10% Pf. 
3.5-7 Tín hiệu f(t) trong hình 3.18 được xấp xỉ dùng 2N+1 thừa số (từ n = – N đến N) 
trong chuỗi Fourier mủ cho trong bài tập E3.10. Xác định giá trị của N nếu công 
suất của chuỗi (2N+1) thừa số này không bé hơn 99,75% công suất của f(t). 
3.6-1 Tìm đáp ứng của hệ LT – TT – BB với hàm truyền 
32
)( 2 ++
=
ss
s
sH khi ngõ vào là tín hiệu tuần hoàn vẽ trong hình 3.7b.