Giáo trình Tín hiệu hệ thống - Chương 5: Thiết kế bộ lọc tương tự

ố cắt (cutoff frequency). Tùy vào bản chất của bộ lọc mà ta phân bộ lọc ra làm bốn 
loại chính. Đó là lọc thông thấp (lowpass filter), lọc thông cao (highpass filter), lọc thông dải 
(bandpass filter) và lọc chắn dải (bandstop filter). 
1. Bộ lọc thông thấp lý tưởng 
Bộ lọc thông thấp lý tưởng cho tất cả các thành phần tần số nhỏ hơn B (Hz) đi qua không 
méo và ngăn hoàn toàn các thành phần tần số lớn hơn B (Hz). 
-f1 f1 f1 -f1 
Chương V 
- 104 - 
Từ định nghĩa bộ lọc thông thấp lý tưởng và truyền dẫn không méo, ta thấy đáp ứng tần số 
của bộ lọc thông thấp lý tưởng là: 
τπ−∏ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛= f2jL eB2
fK)f(H 
Đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng: 
{ } [ ])t(B2csinBK2)f(HFT)t(h 1L τ−== − 
Bộ lọc thông thấp lý tưởng không phải là hệ thống nhân quả vì hL(t) khác 0 khi t < 0. Điều 
này ngụ ý rằng ta phải biết tín hiệu ra ở tất cả các thời điểm tương lai để tạo ra tín hiệu ra của 
bộ lọc ở một thời điểm nào đó bất kỳ. Do đó, ta không thể thực hiện được bộ lọc thông thấp 
lý tưởng trong thực tế. 
Chương V 
- 105 - 
2. Bộ lọc thông dải lý tưởng 
Bộ lọc thông dải lý tưởng cho tất cả các thành phần tần số bên trong dải B (Hz) đi qua không 
méo và ngăn hoàn toàn các thành phần tần số nằm ngoài dải B (Hz). 
Gọi tần số trung tâm của dải B là f0. Các tần số cắt là f0 – B/2 và f0 + B/2. 
Lập luận tương tự như trên, ta thấy đáp ứng tần số của bộ lọc thông dải lý tưởng là: 
τπ−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= ∏∏ f2j00B eBffBffK)f(H 
Đáp ứng xung của bộ lọc thông dải lý tưởng: 
{ } [ ] [ ])t(f2cos)t(BcsinBK2)f(HFT)t(h 0B1B τ−πτ−== − 
Bộ lọc thông dải lý tưởng không phải là hệ thống nhân quả. 
Chương V 
- 106 - 
3. Bộ lọc thông cao lý tưởng 
Bộ lọc thông cao lý tưởng cho tất cả các thành phần tần số lớn hơn B (Hz) đi qua không méo 
và ngăn hoàn toàn các thành phần tần số thấp hơn B (Hz). 
Lập luận tương tự như trên, ta thấy đáp ứng tần số của bộ lọc thông cao lý tưởng là: 
Đáp ứng xung của bộ lọc thông cao lý tưởng: 
Bộ lọc thông cao lý tưởng không phải là hệ thống nhân quả. 
Chương V 
- 107 - 
4. Bộ lọc chắn dải lý tưởng 
Bộ lọc chắn dải lý tưởng ngăn hoàn toàn các thành phần tần số nằm trong dải B (Hz) và cho 
các thành phần tần số bên ngoài dải B (Hz) đi qua không méo. 
Gọi tần số trung tâm của dải B là f0. Các tần số cắt là f0 – B/2 và f0 + B/2. 
Lập luận tương tự như trên, ta thấy đáp ứng tần số của bộ lọc chắn dải lý tưởng là: 
Đáp ứng xung của bộ lọc chắn dải lý tưởng: 
Bộ lọc chắn dải lý tưởng không phải là hệ thống nhân quả. 
Chương V 
- 108 - 
5.2 XẤP XỈ HÓA BỘ LỌC LÝ TƯỞNG 
Như trên ta thấy, các bộ lọc lý tưởng không phải là hệ thống nhân quả, do đó ta không thể 
thực hiện được các bộ lọc lý tưởng trong thực tế. Trong phần này, ta sẽ xem xét cách xấp xỉ 
hóa bộ lọc lý tưởng để có thể thực hiện được trong thực tế. 
Có nhiều phương pháp xấp xỉ hóa bộ lọc lý tưởng. Một số phương pháp thực hiện xấp xỉ đáp 
ứng biên độ càng gần lý tưởng càng tốt mà không quan tâm đến đáp ứng pha, như là xấp xỉ 
Butterworth, xấp xỉ Chebyshev và xấp xỉ elliptic. Một số phương pháp thực hiện xấp xỉ đáp 
ứng pha càng gần lý tưởng càng tốt mà không quan tâm đến đáp ứng biên độ, ví dụ như xấp 
xỉ Bessel. Ta không thể vừa xấp xỉ đáp ứng biên độ vừa xấp xỉ đáp ứng pha được, vì đáp ứng 
biên độ và đáp ứng pha của bộ lọc nhân quả ổn định có quan hệ chặt chẽ với nhau. Ta không 
thể chọn đáp ứng pha độc lập với đáp ứng biên độ được và ngược lại. 
Trong phần này, ta chỉ xét phương pháp xấp xỉ đáp ứng biên độ. 
Trước tiên, ta đi tìm hàm truyền đạt tương ứng với một đáp ứng biên độ đã cho. 
Tiếp theo, ta xét một phương pháp xấp xỉ đáp ứng biên độ với một bộ lọc thông thấp lý 
tưởng. Phương pháp xấp xỉ ta chọn xét ở đây là xấp xỉ lọc thông thấp Butterworth. 
Cuối cùng, ta sẽ xét các phép biến đổi tần số để tạo ra bộ lọc thông cao, thông dải và chắn dải 
từ bộ lọc thông thấp. Các phép biến đổi tần số này cho phép ta chuyển đổi từ thiết kế bộ lọc 
thông thấp thành thiết kế bộ lọc thông cao, thông dải và chắn dải. 
5.2.1 Hàm truyền đạt tương ứng với một đáp ứng biên độ 
Tương ứng với một đáp ứng biên độ có thể có nhiều hàm truyền đạt. Tuy nhiên, mỗi hàm 
truyền đạt khác nhau sẽ tạo ra một đáp ứng pha khác nhau. 
Để tìm hàm truyền đạt từ một đáp ứng biên độ cho trước, trước tiên ta bình phương đáp ứng 
biên độ: 
)j(H)j(H)j(H)j(H|)j(H| *2 ω−ω=ωω=ω 
Ta có thể viết lại: 
ω=
−=ω
js
2 )s(H)s(H|)j(H| 
với H(s) là hàm truyền đạt của bộ lọc. Các điểm cực và không của H(-s) là đảo dấu của các 
điểm cực và không của H(s). Do đó, các điểm cực và không của tích H(s).H(-s) xuất hiện 
thành từng cặp đối xứng qua gốc. 
Vì tính đối xứng của các điểm cực và không nên: 
[ ]
[ ] )sp(s)p(
)sz(s)z(
C)s(H).s(H
k
n
1k
k
i
m
1i
i
−−−
−−−
=−
∏
∏
=
= 
ở đây zi và pk được chọn để cho 0)Re(zi ≥ và 0)Re(pk ≥ . 
Nhân các thừa số trên lại với nhau, ta được: 
Chương V 
- 109 - 
∏
∏
=
=
−
−
=− n
1k
22
k
m
1i
22
i
)sp(
)sz(
C)s(H).s(H 
Như vậy, s chỉ xuất hiện với số mũ chẵn trong tích H(s).H(-s). Do đó ta có thể viết lại: 
22s
2|)j(H|)s(H)s(H
ω−=
ω=− 
Bây giờ ta phân chia tích H(s).H(-s) ra để xác định H(s). Có nhiều cách phân chia. Ta có thể 
chia cho H(s) giữ hằng số C và một nửa số điểm cực và không, và H(-s) giữ hằng số 
C và một nửa số điểm cực và không đối xứng. 
Đáp ứng tần số chỉ tồn tại đối với hệ ổn định, do đó H(s).H(-s) không chứa các điểm cực nằm 
trên trục ảo và phải chọn các cực của H(s) nằm bên trái mặt phẳng s. Các điểm cực còn lại là 
đảo dấu của các điểm cực đã chọn thì phân cho H(-s). 
Về các điểm không thì không có một ràng buộc nào để lựa chọn. Tuy nhiên, ta thường chọn 
các điểm không của H(s) không nằm bên phải mặt phẳng s. Sự lựa chọn này tạo ra một hệ 
thống có trễ pha nhỏ nhất. 
Tóm lại, ta nên phân chia tích H(s).H(-s) ra như sau: 
[ ]
[ ] ⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=−
∏
∏
∏
∏
=
=
=
=
n
1k
k
m
1i
i
n
1k
k
m
1i
i
)sp(
)sz(
C
s)p(
s)z(
C)s(H).s(H 
Như vậy, hàm truyền đạt của hệ thống ổn định có trễ pha nhỏ nhất là: 
[ ]
[ ] ∏
∏
∏
∏
=
=
=
=
+
+
=
−−
−−
= n
1k
k
m
1i
i
n
1k
k
m
1i
i
)sp(
)sz(
C
s)p(
s)z(
C)s(H 
Ví dụ: 
Cho một bộ lọc có đáp ứng biên độ: 
42
2
25.025.725
5.75.7|)j(H| ω+ω+
ω+=ω 
Tìm hàm truyền đạt của bộ lọc ổn định pha tối thiểu tương ứng với đáp ứng biên độ trên. 
Chương V 
- 110 - 
5.2.2 Xấp xỉ Butterworth thông thấp 
Đây là phương pháp xấp xỉ đáp ứng biên độ của một bộ lọc thông thấp lý tưởng. Bộ lọc kết 
quả được gọi là bộ lọc thông thấp Butterworth. 
1. Định nghĩa bộ lọc thông thấp Butterworth 
Bộ lọc thông thấp Butterworth là bộ lọc có đáp ứng biên độ là 
( ) n2c
M
B
/1
G
|)j(H|
ωω+
=ω 
ở đây 1n ≥ là bậc của bộ lọc, cω là tần số cắt của bộ lọc. 
Có hai tiêu chuẩn được dùng trong xấp xỉ Butterworth. Tiêu chuẩn thứ nhất là độ lợi của bộ 
lọc ở tần số cắt là 2/G M với GM là độ lợi tối đa của bộ lọc. Tiêu chuẩn thứ hai là đáp ứng 
biên độ có độ bằng phẳng cực đại ở 0=ω . Nghĩa là đáp ứng biên độ có càng nhiều đạo hàm 
bằng 0 tại 0=ω càng tốt. Đáp ứng biên độ có 2n – 1 đạo hàm bằng 0 tại 0=ω và vì vậy, nó 
trở nên bằng phẳng hơn khi bậc tăng lên. 
Chương V 
- 111 - 
2. Hàm truyền đạt của bộ lọc thông thấp Butterworth 
Chương V 
- 112 - 
5.2.3 Xấp xỉ hóa bộ lọc thông cao, thông dải và chắn dải 
Việc xấp xỉ hóa bộ lọc thông cao, thông dải và chắn dải đạt được từ lọc thông thấp bằng các 
phép biến đổi tần số phi tuyến. Ta thực hiện thay thế biến tần số Lω trong đáp ứng tần số của 
bộ lọc thông thấp )j(H LL ω . Ta dùng biến Lω thay cho ω là để tránh nhầm lẫn khi thay biến 
tần số. 
Phương trình thay đổi biến đối với lọc thông cao là: 
ωωω=ω
ω=ω
/
LLH
chcL
)j(H)j(H 
ở đây cω là tần số cắt của bộ lọc thông thấp, chω là tần số cắt của bộ lọc thông cao. 
Phương trình thay đổi biến đối với lọc thông dải là: 
)(/)(
LLB
lulu
2
cL
)j(H)j(H
ω−ωωωω−ωω=ω
ω=ω 
Phương trình thay đổi biến đối với lọc chắn dải là: 
)/()(
LLS
lu
2
lucL
)j(H)j(H
ωω−ωω−ωωω=ω
ω=ω 
ở đây uω là tần số cắt trên và lω là tần số cắt dưới của bộ lọc thông dải và chắn dải. 
Chương V 
- 113 - 
Chương V 
- 114 - 
5.3 THIẾT KẾ BỘ LỌC THÔNG THẤP BUTTERWORTH 
Trong nhiều ứng dụng, ta cần một bộ lọc thông thấp, thông cao, thông dải hay chắn dải thỏa 
các yêu cầu về dải thông, dải chắn cụ thể. Như đã nói trên, ta có thể thiết kế bộ lọc dựa vào 
một phương pháp xấp xỉ hóa bộ lọc lý tưởng nào đó. Trong phần này, ta xét phương pháp 
xấp xỉ Butterworth và việc thiết kế bộ lọc ở đây bắt đầu từ thiết kế bộ lọc thông thấp 
Butterworth, sau đó bằng các phép biến đổi tần số ta có thể chuyển đổi thành thiết kế bộ lọc 
thông cao, thông dải và chắn dải. 
Ta sẽ xét các bước thiết kế đối với bộ lọc thông thấp Butterworth chuẩn hóa, tức là bộ lọc có 
tần số cắt là s/rad1c =ω . Việc thiết kế các bộ lọc có tần số cắt khác s/rad1c =ω sẽ được 
thực hiện bằng cách co giãn tần số. 
Bước đầu tiên trong thiết kế là lựa chọn tần số cắt cω . Tần số này được xác định bởi băng 
thông yêu cầu. 
Bước thứ hai là lựa chọn bậc của bộ lọc. Ta thường chọn bậc của bộ lọc từ độ lợi tại một tần 
số cụ thể 1ω nào đó trong dải chắn. Các đường cong biểu diễn độ lợi thay đổi theo tần số với 
các bậc bộ lọc khác nhau thường được dùng để xác định bậc của bộ lọc. 
Bước thứ ba là tính chọn các hệ số của mẫu số của hàm truyền đạt: 
n
N
1n
N1nN10
0
NN ssb...sbb
a
)s(H ++++= −−
ở đây ta dùng chữ N là để ký hiệu cho bộ lọc chuẩn hóa. 
Bước thứ tư là chọn hệ số a0, chọn sao cho bộ lọc có độ lợi lớn nhất. 
Bước cuối cùng, ta thay đổi thang tần số để có được bộ lọc có tần số cắt thỏa yêu cầu: 
n
c
1n
c1nc10
0
L )/s()/s(b...)/s(bb
a
)s(H ω+ω++ω+= −−
Ví dụ: 
Thiết kế một bộ lọc thông thấp thỏa các yêu cầu sau: 
- Độ lợi tối đa là 2 
- Thay đổi độ lợi nhỏ hơn hay bằng 3 dB trong khoảng từ 0 đến 50 Hz 
- Độ lợi nhỏ hay bằng -50 dB so với độ lợi tối đa với Hz250f ≥ 
Chương V 
- 115 - 
Chương V 
- 116 -