Giáo trình Tín hiệu hệ thống - Chương 2: Phân tích thời gian cho tín hiệu và hệ thống

t2jAe)t(y πα= 
2.3 BIỂU DIỄN TÍN HIỆU DƯỚI DẠNG CHUỖI FOURIER TỔNG QUÁT 
2.3.1 Phân tích tín hiệu ra các thành phần 
Ta biết rằng đáp ứng của hệ tuyến tính thỏa mãn nguyên lý xếp chồng. Điều này cho phép ta 
tìm đáp ứng của hệ đối với một tín hiệu vào bằng cách phân tích tín hiệu vào thành tổng của 
các thành phần, tìm đáp ứng của hệ đối với mỗi thành phần đó rồi cộng các đáp ứng này lại 
với nhau. 
Việc phân tích tín hiệu thành tổng các thành phần còn chỉ ra được các đặc điểm quan trọng 
và đặc biệt của tín hiệu. 
Nhìn chung thì ta không thể biết được cách làm thế nào để phân tích một tín hiệu phức tạp 
thành tổng các thành phần mà các thành phần này mang một đặc điểm đơn giản và xác định 
nào đó. Tuy nhiên, ta có thể xấp xỉ tín hiệu x(t) trong một khoảng thời gian t1 < t < t2 bằng 
một tổng tuyến tính như sau: 
Chương II 
- 31 - 
∑
=
∧ φ=
N
1n
nn )t(A)t(x 
Tín hiệu )t(nφ gọi là tín hiệu cơ sở (basic signal). Ta chọn )t(nφ tùy ý sao cho có thể làm 
nổi bật các đặc điểm đặc trưng của tín hiệu hoặc là có thể cung cấp các thành phần đơn giản 
giúp cho việc phân tích hệ thống được dễ dàng. Trong một số trường hợp, nên cho n chạy từ: 
-N đến N hay đặt N là vô cùng. 
Sau khi chọn tín hiệu cơ sở, ta chọn hệ số An sao cho )t(x
∧
 gần với x(t) nhất trong khoảng 
khai triển của x(t). 
Để đánh giá sự xấp xỉ tốt hay không, ta dựa vào các tiêu chuẩn xấp xỉ, tính từ sai số xấp xỉ. 
Sau đây là 3 tiêu chuẩn hay dùng: 
Tiêu chuẩn 1: 
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −∧ |)t(x)t(x|maxmin 
Tiêu chuẩn 2: 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ −∫ ∧ dt|)t(x)t(x|min 2
1
t
t
Tiêu chuẩn 3: 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −∫ ∧ dt)t(x)t(xmin 2
1
t
t
2
Tiêu chuẩn 1 dựa trên cơ sở sai số tối đa xuất hiện tại từng thời điểm, tiêu chuẩn 2 và 3 bao 
gồm sai số tại tất cả các thời điểm trong khoảng tồn tại của tín hiệu nên nó chứa nhiều dữ liệu 
về sai số hơn so với tiêu chuẩn 1. Tiêu chuẩn 3 là năng lượng trong tín hiệu sai số và hay 
được dùng hơn. Tiêu chuẩn 3 có nghĩa là: cho trước các tín hiệu cơ sở, ta tính chọn hệ số An 
sao cho tích phân sai số bình phương là nhỏ nhất: 
∫ ∑∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −φ=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=ε
=
∧ 2
1
2
1
t
t
2N
1n
nn
t
t
2
N dt)t(x)t(Adt)t(x)t(x 
Lưu ý là sự xấp xỉ hóa chỉ xét trong khoảng t1 < t < t2, không quan tâm đến t ngoài khoảng 
đó. 
2.3.2 Chuỗi Fourier tổng quát 
Việc chọn tín hiệu cơ sở ảnh hưởng đến hệ số An. Có những tín hiệu cơ sở mà khi thêm số 
hạng vào công thức xấp xỉ thì phải tính lại An, nhưng có những tín hiệu cơ sở mà khi thêm số 
hạng vào thì hệ số An vẫn không thay đổi. Ta luôn mong chọn được tín hiệu cơ sở ở loại thứ 
hai. 
Tín hiệu cơ sở thuận tiện nhất để tính An là tín hiệu trực giao. Các tín hiệu thực )t(iφ là trực 
giao nhau trong khoảng t1 < t < t2 nếu và chỉ nếu: 
∫ ⎩⎨
⎧
≠
=λ=φφ
2
1
t
t
n
mn mn0
mn
dt)t()t( 
Chương II 
- 32 - 
Chọn tín hiệu cơ sở là tín hiệu trực giao sao cho tiêu chuẩn xấp xỉ thứ 3 thỏa mãn, ta có công 
thức xấp xỉ có dạng chuỗi và chuỗi đó được gọi là chuỗi Fourier tổng quát (generalized 
Fourier serie). Vậy ta có định nghĩa sau: 
Chuỗi Fourier tổng quát là một tổng có trọng số của các tín hiệu cơ sở trực giao, tổng này 
xấp xỉ hóa một tín hiệu trong khoảng t1 < t < t2 bằng cách tối thiểu hóa sai số Nε . 
Các hệ số An tính được như sau: 
∫ φλ=
2
1
t
t
n
n
n dt)t()t(x
1A 
Có thể mở rộng chuỗi Fourier cho tín hiệu cơ sở là tín hiệu phức và số số hạng trong chuỗi 
Fourier là vô cùng. 
Chương II 
- 33 - 
2.4 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG DỰA VÀO PHƯƠNG TRÌNH HỆ THỐNG 
Trong phần này, ta sẽ xem xét một phương pháp trực tiếp để phân tích hệ thống trong miền 
thời gian. Trong cách phân tích này, ta xác định đáp ứng của hệ thống đối với một tín hiệu 
vào cụ thể với 0tt ≥ và các điều kiện đầu xác định tại t = t0. 
Đối với hệ tuyến tính, đáp ứng là tổng của đáp ứng đối với điều kiện đầu và đáp ứng đối với 
tín hiệu vào. Đáp ứng đối với điều kiện đầu được gọi là đáp ứng đầu vào 0 (zero-input 
response). Đáp ứng đối với tín hiệu vào được gọi là đáp ứng trạng thái 0 (zero-state 
response), ở đây trạng thái của hệ thống là tập hợp các giá trị của tín hiệu xác định bởi năng 
lượng lưu trong hệ thống. 
Để phân tích hệ thống trong miền thời gian, trước hết ta tìm phương trình hệ thống từ sơ đồ 
khối hoặc sơ đồ thành phần hệ thống. Sau đó giải phương trình để tìm tín hiệu ra phụ thuộc 
vào tín hiệu vào và các điều kiện đầu cụ thể. 
Sau đây ta xét một ví dụ phân tích hệ thống trong miền thời gian. 
Ví dụ: 
Cho bộ lọc thông thấp gồm R và C mắc nối tiếp. Tìm tín hiệu ra y(t) với 0tt ≥ theo tín hiệu 
vào x(t), cho biết năng lượng lưu trong tụ điện tại thời điểm t = t0 là y(t0) = Y0. 
Trước tiên ta tìm phương trình hệ thống: 
Sau đó ta giải phương trình: 
Chương II 
- 34 - 
Tín hiệu ra là: 
0
RC/)tt(
0
t
t
RC/)t( tteYdte
RC
1)(x)t(y 0
0
≥+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡τ= −−τ−−∫ 
Số hạng thứ nhất là đáp ứng trạng thái 0 và số hạng thứ hai là đáp ứng đầu vào 0. 
Chương II 
- 35 - 
2.5 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG DỰA VÀO ĐÁP ỨNG CỦA HỆ THỐNG 
2.5.1 Đáp ứng xung 
Trong phần này ta xét tích phân xếp chồng như là một mô hình toán học khác của hệ tuyến 
tính bất biến với điều kiện đầu là 0. Trong mô hình này, hệ thống được đặc trưng bằng đáp 
ứng xung (impulse response). 
Ta định nghĩa đáp ứng xung như sau: 
Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến, ký hiệu h(t), là đáp ứng trạng thái 0 của hệ 
thống đối với tín hiệu vào là xung đơn vị đưa vào hệ thống tại thời điểm t = 0. 
Vậy, 
)t(h)t(y)t()t(x =⇒δ= 
Muốn xác định đáp ứng xung, ta giải phương trình hệ thống với tín hiệu vào là xung đơn vị 
và điều kiện đầu bằng 0. 
Ví dụ: 
Tìm đáp ứng xung của mạch lọc RC trên: 
0
RC/)tt(
0
t
t
RC/)t( tteYdte
RC
1)(x)t(y 0
0
≥+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡τ= −−τ−−∫ 
Để tìm đáp ứng xung, cho )t()t(x,t,0Y 00 δ=−∞== : 
)t(ue
RC
1
0t0
0te
RC
1
de
RC
1)()t(h RC/t
RC/tt
RC/)t( −
−
∞−
τ−− =
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
>=τ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡τδ= ∫ 
2.5.2 Đáp ứng trạng thái 0 của hệ tuyến tính bất biến 
Ta có thể sử dụng tín hiệu vào x(t), đáp ứng xung h(t) và mô hình tích phân xếp chồng để tìm 
đáp ứng trạng thái 0 của hệ tuyến tính bất biến. 
1. Tích phân xếp chồng/ chập liên tục 
Xét tín hiệu vào có dạng xung chữ nhật: 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
τ∆∏τ∆==
t1)t(x)t(x r 
Đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu này là: 
)t(h)t(ylim
)t(y)t(y
r0
r
=
=
→τ∆
Ta xấp xỉ hóa tín hiệu vào x(t) với một tín hiệu bậc thang ),t(x τ∆∧ như hình vẽ: 
),t(xlim)t(x τ∆= ∧∞→τ∆ 
Chương II 
- 36 - 
Ta tìm đáp ứng của hệ đối với tín hiệu ),t(x τ∆∧ , gọi đó là ),t(y τ∆∧ . Sau đó suy ra đáp ứng của 
hệ thống, là: ),t(ylim)t(y τ∆= ∧∞→τ∆ 
∫
∞
∞−
ττ−τ= d)t(h)(x)t(y 
Ta gọi tích phân này là tích phân xếp chồng (superposition integral). Vì nó cộng tất cả các 
đầu ra )t(h)(x τ−τ từ tất cả các giá trị của tín hiệu vào ∞≤τ≤∞−τ),(x để tạo thành tín 
hiệu ra ở thời điểm t. 
Tích phân xếp chồng của hệ liên tục tuyến tính bất biến có dạng của phép chập nên ta còn gọi 
đây là phép chập liên tục (continious convolution). Ta có thể đổi biến 1t τ−=τ để được một 
dạng khác của phép chập liên tục: 
∫
∞
∞−
ττ−τ= 111 d)t(x)(h)t(y 
τ∆3 
),t(x τ∆∧ x(t) 
0 
Chương II 
- 37 - 
Khi dùng mô hình toán học biểu diễn hệ thống là đáp ứng xung, ta sử dụng sơ đồ khối sau: 
Lưu ý: quan hệ y(t) = x(t).h(t) là hoàn toàn không đúng. 
2. Hệ nhân quả 
Từ biểu thức phép chập liên tục, ta tính được tín hiệu ra tại thời điểm t = t1 như sau: 
∫∞
∞−
ττ−τ= d)t(h)(x)t(y 11 
Nếu hệ nhân quả thì y(t1) không phụ thuộc vào x(t) với t > t1, suy ra: 
11 t0)t(h >τ=τ− 
Ngược lại, nếu 
11 t0)t(h >τ=τ− 
thì y(t1) không phụ thuộc vào x(t) với t > t1, tức là hệ nhân quả. 
Hay nói cách khác, h(t) = 0 với mọi t < 0. 
Vậy ta có thể phát biểu: 
Hệ tuyến tính bất biến là nhân quả khi và khỉ khi h(t) = 0 với mọi t < 0. 
Lúc đó phép chập liên tục được viết lại là: 
∫
∞−
ττ−τ=
t
d)t(h)(x)t(y 
2.5.3 Cách tính phép chập liên tục 
Phép chập liên tục giữa hai tín hiệu f1(t) và f2(t) là: 
ở đây t là biến độc lập và τ là biến giả dùng trong tích phân. 
Việc tính chập hai tín hiệu f1(t) và f2(t) có thể được thực hiện bằng phương pháp giải tích hay 
đồ thị. 
Nếu tính bằng phương pháp giải tích, ta theo các bước sau: 
- Thay biến t bằng τ , ta được f1( τ ) và f2( τ ) 
- Viết phương trình của f2(t- τ ) 
 - Tính tích phân của tích f1( τ ) f2(t- τ ) để tìm f3(t) với mọi t. 
Nếu tính bằng đồ thị, ta theo các bước sau: 
y(t) x(t) h(t) 
∫∞
∞−
∗≡ττ−τ= )t(f)t(fd)t(f)(f)t(f 21213
Chương II 
- 38 - 
- Thay biến t bằng τ , ta được f1( τ ) và f2( τ ). Vẽ đồ thị của f1( τ ) và f2( τ ). 
- Đảo thời gian f2( τ ), ta được f2(- τ ) 
- Dịch chuyển f2(- τ ) đi một đoạn là |t|, dịch sang phải nếu t > 0 và sang trái nếu t < 0, 
ta được f2(t- τ ) 
- Lấy tích phân của tích f1( τ ).f2(t- τ ) trên toàn trục thời gian, ta được f3(t). 
Ví dụ: 
Tính chập hai tín hiệu sau: 
2te)t(f −= và 2t3)t(g = với mọi t. 
Ví dụ: 
Cho tín hiệu x(t) = 3cos(2t) đi vào hệ tuyến tính bất biến có đáp ứng xung là: 
|t|e)t(h −= 
Tìm tín hiệu ra khi các điều kiện đầu bằng 0. 
Chương II 
- 39 - 
Ví dụ: 
Tính chập hai tín hiệu sau: 
6 
-2 
2
-1-1 1 2 21 
Chương II 
- 40 - 
Chương II 
- 41 - 
2.5.4 Tính chất của phép chập liên tục 
Tính chất giao hoán: 
)t(f)t(g)t(g)t(f ∗=∗ 
Tính chất kết hợp: 
[ ] [ ] )t(h)t(g)t(f)t(h)t(g)t(f ∗∗=∗∗ 
Tính chất phân phối: 
[ ] )t(h)t(f)t(g)t(f)t(h)t(g)t(f ∗+∗=+∗ 
Tính chất độ dài: 
Nếu tín hiệu f1(t) dài L1 và tín hiệu f2(t) dài L2 thì chập của f1(t) và f2(t) có chiều dài là: 
L3 = L1 + L2 
Rìa bên trái của f3(t) là rìa bên trái của f1(t) cộng với rìa bên trái của f2(t) 
Rìa bên phải của f3(t) là rìa bên phải của f1(t) cộng với rìa bên phải của f2(t) 
Chương II 
- 42 - 
Tính chất chập với hàm xung: 
)tt(x)tt()t(x
)t(x)t()t(x
11 −=−δ∗
=δ∗
Ví dụ: 
Cho các tín hiệu: )1t(4)5.0t(2)t(y),5.1t(5.1)5.1t(5.1)t(x −δ+−δ=−δ++δ= 
Và: ⎩⎨
⎧
≠
<≤=
t0
2t0t
)t(z 
Tìm và vẽ các tín hiệu: x(t), y(t), z(t), )t(y)t(x ∗ và x(t)*z(t).