Giáo trình Tín hiệu hệ thống - Chương 1: Giới thiệu về tín hiệu và hệ thống

ng không lẻ. Tuy nhiên, ta có thể phân tích tín hiệu đó ra 
thành tổng của hai tín hiệu- tín hiệu chẵn xe(t) và tín hiệu lẻ xo(t) như sau: 
)t(x)t(x)t(x oe += 
với 
)t(x))t(x)t(x(
2
1)t(x ee −=−+= 
và 
)t(x))t(x)t(x(
2
1)t(x 00 −=−−= 
Chương I 
- 12 - 
1.4.3 Tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn 
Tín hiệu tuần hoàn (periodic signal) là tín hiệu được lặp lại liên tục sau một khoảng thời gian 
nào đó. Khoảng thời gian đó được gọi là chu kỳ (periodic). Như vậy, tín hiệu tuần hoàn có 
giá trị như nhau tại những thời điểm cách nhau một chu kỳ. 
Về mặt toán học, tín hiệu x(t) là tuần hoàn khi và chỉ khi tồn tại một giá trị T0 > 0 sao cho: 
t)t(x)Tt(x 0 ∀=+ 
Những tín hiệu không thoả điều kiện trên là không tuần hoàn (aperiodic signal) 
Giá trị T0 nhỏ nhất trong các giá trị của T0 gọi là chu kỳ cơ bản (fundamental period). Định 
nghĩa này đúng ngoại trừ trường hợp tín hiệu là hằng số. Lúc này T0 có thể lấy giá trị bất kỳ 
nên không có giá trị T0 nhỏ nhất. 
Ta có thể biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dưới dạng tổng của vô số tín hiệu, mỗi tín hiệu là một 
chu kỳ: 
∑∞
−∞=
−=
i
0p )iTt(x)t(x 
với 
⎩⎨
⎧
≠
+≤≤=
t0
Tttt)t(x
)t(x 011p 
Lưu ý: 
1. Tổng của M tín hiệu tuần hoàn chưa chắc là tín hiệu tuần hoàn. 
2. Không có tín hiệu vật lý nào là hoàn toàn tuần hoàn vì tín hiệu vật lý không bắt đầu và kết 
thúc ở vô cùng. Tuy nhiên, nếu nó lặp lại có chu kỳ trong một khoảng thời gian đủ dài thì ta 
có thể xem nó là tuần hoàn. 
Ví dụ một cái quạt điện, sau khi bật được vài giây, nó sẽ đạt được một tốc độ ổn định không 
phụ thuộc vào thời điểm nó được bật/tắt, do đó khi cần tính dòng hay là công suất chẳng hạn, 
ta coi như là cái quạt đó đã được bật lên vào lúc −∞=t và sẽ được tắt đi vào lúc ∞=t và 
tín hiệu điện áp nguồn cung cấp cho quạt là dạng sin. 
Chương I 
- 13 - 
1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN HỆ THỐNG 
Cùng với mô hình toán học là phương trình hệ thống thì việc biển diễn hệ thống bằng các 
công cụ khác giúp ta thực hiện bài toán phân tích hệ thống. Mô hình toán giúp ta tính toán, 
phân tích định lượng các thông số trong hệ thống. Các phương pháp biểu diễn khác giúp ta 
nhìn thấy rõ sự kết nối giữa các thành phần hoặc là các phép toán trong hệ thống. 
1.5.1 Biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ khối 
Đối với nhiều hệ thống thì việc biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ khối (block diagram) rất thuận 
tiện cho việc phân tích. 
Trong sơ đồ khối, các phép toán trên tín hiệu được biểu diễn bằng các khối- là các hộp/vòng 
tròn có ghi ký hiệu bên trong. Đường đi của tín hiệu được biểu diễn bằng các đoạn thẳng kết 
nối các hộp/vòng tròn đó. Cuối các đoạn thẳng có mũi tên chỉ chiều đi của tín hiệu. Tín hiệu 
đi trên mỗi đường được ghi bên trong đoạn thẳng nối hay cuối đoạn thẳng. 
Các phép toán cơ sở trong hệ thống gồm: nhân với hằng số, đạo hàm, tích phân, cộng hai tín 
hiệu. Ký hiệu các khối này như hình sau: 
Dựa vào sơ đồ khối ta phân hệ thống ra thành hai loại: hệ có một đầu vào-một đầu ra (single-
input, single-output system) và hệ có nhiều đầu vào-nhiều đầu ra (multi-input, multi output 
system). 
Ví dụ: Hệ có một đầu vào-một đầu ra Hệ có nhiều đầu vào-nhiều đầu ra 
Khối nhân 
x1(t)+x2(t) 
x2(t) 
dt
)t(dx 
ττ∫
∞−
d)(x
t
Kx(t) 
x1(t) 
x(t) 
x(t) 
K 
∫
∞−
t
dt
d 
x(t) 
Khối tích phân 
Khối đạo hàm 
Khối cộng 
y(t) x1(t) 
x2(t) 
x(t) ∫
∞−
t
K 
Chương I 
- 14 - 
Trong môn học này, ta chỉ xét hệ có một đầu vào-một đầu ra. Công cụ sử dụng để phân tích 
hệ một đầu vào-một đầu ra cũng hữu hiệu đối với phân tích hệ nhiều đầu vào-nhiều đầu ra vì 
ta có thể xem hệ nhiều đầu vào-nhiều đầu ra là ghép nối của các hệ con một đầu vào-một đầu 
ra. 
Từ sơ đồ khối, ta có thể tìm được phương trình biểu diễn hệ thống. 
Ví dụ: 
Ta xét ví dụ hệ một đầu vào-một đầu ra trên đây. 
Ta viết 3 phương trình cho 3 thành phần của hệ thống là khâu cộng, tích phân và nhân như 
sau: 
Kết hợp 3 phương trình trên, ta được phương trình hệ thống như sau: 
)t(x)t(Ky
dt
)t(dy =+ 
1.5.2 Biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ thành phần hệ thống 
Ta có thể mô tả hệ thống một cách rõ ràng và chi tiết hơn bằng sơ đồ thành phần hệ thống 
(system-component diagram). Sơ đồ này gồm các ký hiệu và các đoạn thẳng biểu diễn cho 
các thành phần của hệ thống và kết nối các thành phần đó. 
Ví dụ hệ thống là một mạch điện thì các thành phần của hệ thống gồm các linh kiện như điện 
trở, cuộn dây, tụ điện, các nguồn điện như nguồn dòng, nguồn áp, các tín hiệu như dòng, 
áp 
Từ sơ đồ thành phần hệ thống, ta cũng có thể tìm được phương trình biểu diễn hệ thống. 
Ví dụ: 
Tìm phương trình của hệ thống là mạch điện sau. Cho biết tín hiệu vào là v1(t) và tín hiệu ra 
là v2(t). 
Phương trình hệ thống: 
dt
)t(dv)t(v
C
R
dt
)t(dv 1
2
2 =+ 
∫
∞−
ττ=
=
−=
t
1
2
21
d)(x)t(y
)t(Ky)t(x
)t(x)t(x)t(x
Chương I 
- 15 - 
1.6 CÁC ĐẶC ĐIỂM CỦA HỆ THỐNG 
Trên đây ta đã xét các sơ đồ dùng để biểu diễn hệ thống bên cạnh mô hình toán học. Trong 
phần này ta sẽ xét các đặc điểm của hệ thống và mối liên quan giữa mô hình toán học với các 
đặc điểm của một hệ vật lý. 
1.6.1 Hệ có thông số tập trung và thông số phân tán 
Tín hiệu không truyền tức thời qua các thành phần của hệ thống. Ví dụ tín hiệu điện là tín 
hiệu điện từ truyền với tốc độ bằng tốc độ ánh sáng. Như vậy, các giá trị của tín hiệu là hàm 
theo cả không gian và thời gian. 
Tuy nhiên, nếu tín hiệu biến đổi chậm trong thời gian truyền qua một khoảng cách nào đó thì 
tín hiệu gần như là hằng số trong khoảng cách đó. Nếu khoảng cách đó lớn hơn khoảng cách 
giữa hai thành phần hệ thống thì tín hiệu truyền giữa hai thành phần đó chỉ là hàm theo thời 
gian. Ta chỉ cần dùng phương trình hệ thống thông thường phụ thuộc biến thời gian là đủ để 
biểu diễn hệ thống. Ta gọi hệ như vậy là hệ có thông số tập trung (lumped-parameter 
system). 
Thực tế có những hệ thống có khoảng cách giữa hai thành phần hệ thống quá nhỏ so với 
khoảng cách mà tín hiệu là hằng số trong khoảng đó. Ta gọi những hệ như vậy là hệ có thông 
số phân tán (distribited-parameter system). Ví dụ như, hệ thống là đường truyền tải điện 
Bắc-Nam dài cả ngàn cây số, ta không thể xem tín hiệu là hằng số khi truyền qua một khoảng 
cách xa như vậy, ngay cả khi tín hiệu thay đổi rất ít. Một ví dụ khác là bộ khuếch đại vi ba, 
tín hiệu thay đổi quá nhanh nên không thể xem là hằng số được mặc dù khoảng cách giữa hai 
thành phần hệ thống rất nhỏ. Đối với hệ có thông số phân tán, ta phải dùng phương trình phụ 
thuộc vào cả biến không gian và thời gian mới đủ để biểu diễn hệ thống. 
Trong môn học này, ta chỉ xét hệ có thông số tập trung. 
1.6.2 Hệ có nhớ và không nhớ 
Hệ thống có thể có nhớ hay không có nhớ. Hệ có nhớ có khả năng lưu giữ các thông tin trong 
quá khứ. Ta có các định nghĩa sau đây: 
Hệ không nhớ (memoryless system) là hệ có tín hiệu ra ở thời điểm t = t1 phụ thuộc vào tín 
hiệu vào tại cùng thời điểm. Hệ không nhớ không chứa các phần tử lưu trữ năng lượng như tụ 
điện, cuộn dây Phương trình hệ không nhớ không có phép đạo hàm, tích phân mà chỉ đơn 
giản là phương tình đại số. 
Hệ có nhớ (memory system) là hệ có tín hiệu ra ở thời điểm t = t1 phụ thuộc vào tín hiệu vào 
tại cùng thời điểm và tại các thời điểm khác. Hệ có nhớ có chứa các phần tử lưu trữ năng 
lượng như tụ điện, cuộn dây Phương trình hệ có nhớ có phép đạo hàm, tích phân và đó là 
phương trình vi phân. 
Ví dụ: Các hệ sau đây là có nhớ hay không có nhớ? 
Chương I 
- 16 - 
1.6.3 Hệ nhân quả 
Hệ nhân quả (causal system) là hệ có tín hiệu ra ở thời điểm t = t1 phụ thuộc vào tín hiệu vào 
ở các thời điểm 1tt ≤ . 
Theo định nghĩa này ta thấy hệ không nhớ là hệ nhân quả. Các hệ vật lý là hệ nhân quả, vì 
các giá trị của tín hiệu vào trong tương lai là chưa có nên không thể ảnh hưởng đến tín hiệu 
ra được. 
Ví dụ: Hệ 
6
5)t(x
12
1)t(y −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= là hệ nhân quả. 
1.6.4 Bậc của hệ thống 
Bậc của hệ thống (system order) được định nghĩa là bậc của phương trình vi phân biểu diễn 
hệ thống. 
Như vậy bậc của hệ thống chính là bậc của đạo hàm cao nhất của tín hiệu ra trong phương 
trình vi phân mô tả hệ thống. 
Ví dụ: Bậc của hệ )t(x
dt
)t(dx)t(y2
dt
)t(dy3
dt
)t(yd
3
3
+=++ là: 3. 
1.6.5 Hệ tuyến tính 
Hệ tuyến tính (linear system) là hệ thỏa điều kiện sau: 
)t(yB)t(yA)t(y
)t(xB)t(A x)t(x
21
21
+=
+=
ở đây yi(t) là tín hiệu ra khi tín hiệu vào là xi(t), A và B là hằng số. 
Các hệ thống tuyến tính có thể được mô tả bởi phương trình vi phân tuyến tính. Ta có thể giải 
các phương trình vi phân tuyến tính bằng các phương pháp kinh điển. Ngược lại, phương 
trình mô tả hệ phi tuyến là phương trình vi phân phi tuyến và giải các phương trình phi tuyến 
này rất khó hay đôi khi không giải được. 
Trong môn học này, ta chỉ xét hệ tuyến tính. 
Chương I 
- 17 - 
Ví dụ: 
Xét tính tuyến tính của các hệ sau đây: 
(a) 
6
5)t(x
12
1)t(y −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 
(b) )t(x
dt
)t(dx)t(y2
dt
)t(dy3
dt
)t(yd
3
3
+=++ 
Chương I 
- 18 - 
1.6.6 Hệ bất biến 
Hệ bất biến (time-invariant system) là hệ không thay đổi theo thời gian. 
Về mặt toán học, hệ bất biến là hệ thỏa điều kiện sau: 
)t(y)t(y
)t(x)t(x
1
1
τ−=
τ−=
Phương trình mô tả hệ bất biến là phương trình vi phân hệ số hằng, tức là các thành phần của 
hệ thống là hằng số. Thực tế thì các thành phần của hệ vật lý có thay đổi theo thời gian nhưng 
sự thay đổi đó rất nhỏ nên ta bỏ qua và xem hệ vật lý là hệ bất biến. 
Ví dụ: xét tính bất biến của các hệ sau đây: 
(a) y(t) = t.x(t) - 4 
(b) )t(x
dt
)t(dx)t(y2
dt
)t(dy3
dt
)t(yd
3
3
+=++ 
1.6.7 Hệ ổn định 
Trước khi định nghĩa hệ ổn định, ta định nghĩa tín hiệu hữu hạn (bounded signal)- đó là tín 
hiệu có biên độ hữu hạn. Khi thiết kế hệ thống, ta luôn mong muốn hệ được ổn định theo 
nghĩa là tín hiệu ra hữu hạn khi tín hiệu vào hữu hạn, để cho tín hiệu ra không tăng lên mà 
không kiểm soát được. Hệ như vậy được gọi là hệ ổn định BIBO (Bounded Input Bounded 
Output). 
Ta sẽ xét kỹ hơn về hệ ổn định trong các chương tiếp theo sau.