Giáo trình Mô hình hóa máy điện - Chương 2: Các phép biến đổi dùng trong máy điện

ên hiệp, nghĩa là 
1 2i i
∗
=
r r . Do 
2i
r
 là liên hiệp của 1i
r
 nên aj1i e
− α
r
và aj2i e
α
r
trong (57) là một cặp liên hiệp và tổng của 
chúng là một số thực. Nói cách khác, sF
r
 trong (57) là một đại lượng thực. Với hệ thống 
3 pha đối xứng, nghĩa là:
tcosIi ema ω=


 pi
−ω=
3
2tcosIi emb (60)


 pi
−ω=
3
4tcosIi emc
vec tơ dòng điện thứ tự không là zero và phương trình (58) có dạng:
[ ] e
1 m e m e e
m e m e
j t
m e e m
3 3 2 4i I cos t j I cos t cos t
2 2 3 3
3 3 2I cos t j I 2sin t sin
2 2 3
3 3I cos t jsin t I e
2 2
ω
pi pi    
= ω + ω − − ω −        
pi  
= ω + − ω −    
= ω + ω =
r
(61)
20
20
Biểu thức (61) nói rằng vec tơ không gian dòng điện thứ tự thuận có biên độ là 1.5 lần 
biên độ của dòng điện một pha. Nó có thể biểu diễn bằng một lá dòng điện phân bố 
hình sin trong không gian có biên độ bằng 1.5Im, quay theo hướng dương với tốc độ 
góc ωe. Dòng điện thứ tự nghịch là:
 ej t2 1 m
3i i I e
2
∗
− ω
= =
r r
(62)
có cùng biên độ như dòng điện thứ tự thuận, quay theo chiều ngược với cùng một tốc 
độ. 
Thay các biểu thức (61) và (62) vào (57) ta có:
( ) ( ) ( )a e a ej t j tsin sins m m a eW 3 W 3F I e e I cos t4 2 4 2
α − ω − α − ω    = + = α − ω       
r
(63)
Biểu thức (63) cho biết s.t.đ tổng sF
r
 trong khe hở không khí có thể coi là vec tơ không 
gian quay. sF
r
 phân bố hình sin trong không gian dọc theo khe hở không khí và quay 
với tốc độ ωe theo hướng dương của αa. Biên độ của nó bằng 1.5 lần biên độ của vec tơ 
không gian s.t.đ một pha.
Để dễ quan sát phép biến đổi, ta đưa thêm một hệ số tỉ lệ sao cho biên độ của 
vec tơ không gian dòng điện bằng biên độ của dòng điện một pha. Khi đó ta định 
nghĩa:
b c
1 a 0
2 i ii i i j i
3 3
−
≡ = + +
r r
(64)
Trong đó i0 tương ứng với vec tơ không gian dòng điện thứ tự không và bằng một 
phần ba tổng dòng điện 3 pha: i0 =(ia + ib +ic)/3 và là một số thực. Từ các quan hệ trên 
ta có thể biểu diễn dòng điện pha a theo i
r
:
a 0i i Re( i )− =
r
(65)
Và: ( ) ( )2 2 3 4 c aa b c b a b c2 i i 1a i a i a i a i i j i i i3 33
− 
= + + = + − + +  
r
(66)
hay: 2b 0i i Re(a i )− =
r
(67)
và: c 0i i Re(ai )− =
r
(68)
Như mong muốn, vec tơ không gian dòng điện thứ tự thuận, được xác định bởi (64) 
là một lá dòng điện phân bố hình sin trong không gian có cùng giá trị biên độ như 
dòng điện pha và cũng quay theo chiều dương với tốc độ góc ωe.
2. Phép biến đổi giữa hệ abc và hệ qd0 đứng yên: Quan hệ giữa các vec tơ dòng điện 
không gian 1i
r
, 2i
r
 và 0i
r
với ia, ib và ic có thể biểu diễn dưới dạng giống như phép biến 
đổi đối xứng cổ điển, nghĩa là:
2
1 a2
2 b
c0
1 a ai i
1 a ai i
1 1 1 ii 3 3 3
         =             
r
r
r
(69)
Từ (62) và (64), 2i
r
=
∗
1i
r =1.5
∗
i
r
, ma trận có thể viết lại dưới dạng:
21
21
2
a
2
b
0 c
i1 a ai
2 1 a a ii 3 1 1 1
i i2 2 2
∗
            =             
r
r
r
(70)
Từ phương trình trên ta thấy có thể bỏ hàng 2 mà không mất thông tin. Gọi s sq di i ji= −
r
và viết lại các phần thực và phần ảo thành 2 hàng riêng biệt ta có phương trình của 
phép biến đổi thực:
s 2
aq
s 2
bd
0 c
ii 1 Re(a) Re(a )
2 ii 0 Im(a) Im(a )
3
i 0.5 0.5 0.5 i
         
= − −                 
(71)
s
aq
s
bd
0 c
1 0.5 0.5 ii
2 3 3 i0i 3 2 2
i i0.5 0.5 0.5
− −               =
−             
(72)
Viết gọn lại ta có:
s s
qd0 qd0 abci T i    =      (73)
Trong đó sqd0i   và [ ]abci là các vec tơ cột của các thành phần dòng điện qd0 và dòng 
điện các pha. Ma trận sqd0T   là ma trận hệ số trong phương trình (72). Nó 
biến đổi các dòng điện pha abc thành các dòng điện qd0. Phép biến đổi trên là phép 
biến đổi từ hệ abc thành hệ qd0 đứng yên. Chỉ số trên s để nói lên hệ đứng yên. Ma 
trận nghịch đảo, biến đổi từ hệ qd0 đứng yên thành hệ abc, là:
s 1
qd0
1 0 1
1 3 1T 2 2
1 3 1
2 2
−
   
− −  =        
(74)
và: [ ] 1s sabc qd0 qd0i T i−   =    
Khi hệ thống dòng điện 3 pha đối xứng cho bởi:
a m ei I cos( t )= ω + ϕ


 ϕ+pi−ω=
3
2tcosIi emb (75)


 ϕ+pi−ω=
3
4tcosIi emc
thì phép biến đổi (72) tạo ra:
s
q m ei I cos( t )= ω + ϕ
s
d m e m ei I sin( t ) I cos t 2
pi 
= − ω + ϕ = ω + ϕ +   (76)
0i0 =
Như vậy, vec tơ không gian dòng điện đối với các dòng điện đối xứng là:
22
22
( ) ( ){ } ( )e
e e
j ts s
q d m e e m
j t j tj
m a
i i ji I cos t jsin t I e
I e e 2I e
ω + ϕ
ω ωϕ
= − = ω + ϕ + ω + ϕ =
= =
r
(77)
Trong đó Ia là trị hiệu dụng của dòng điện pha a.
Như vậy, với hệ thống dòng điện ba pha cân bằng, các dòng điện qd sqi và sdi là 
trực giao và chúng có cùng giá trị biên độ như dòng điện các pha abc. Từ các biểu 
thức trên ta có thể thấy là sdi vượt trước 
s
qi góc pi/2 và dòng điện tổng i
r
 quay theo 
chiều âm với tốc độ ωe từ vị trí ban đầu ϕ tới trục pha a tại t = 0. Phương trình (77) 
cũng chỉ ra quan hệ giữa vec tơ không gian và vec tơ thông thường.
3. Phép biến đổi giữa abc và hệ toạ độ quay qd0: Phương trình (77) cho thấy dòng 
điện tổng i
r
 quay với tốc độ ωe. Do vậy ta có thể suy ra rằng một người quan sát 
chuyển động với tốc độ này sẽ thấy vec tơ không gian dòng điện i
r
 là vec tơ không 
gian hằng, chứ không phải là các thành phần qd biến thiên theo thời gian như ở hệ 
toạ độ cố định qd như trong phương trình (76). Quan hệ hình học giữa hệ toạ độ qd 
cố định và qd quay như hình vẽ. 
 ba pha và hệ qd cố định hệ qd cố dịnh và quay
Ta phân tích vec tơ không gian dòng điện đối xứng abc cho trong các phương trình 
(75) và (76). Các thành phần của nó theo hệ mới là:
s
q q
s
d d
i cos sin i
i sin cos i
θ − θ     
=     θ θ      (78)
Góc θ giữa các trục q là hàm của tốc độ quay ω(t) của hệ qd được xác định bởi:
)0(dt)t()t(
t
0
θ+ω=θ ∫ (79)
Khi các thành phần qd kết hợp thành vec tơ không gian ta có:
js s s s s s
q d q d q d q di ji i cos i sin j(i sin i cos ) (i ji )e
− θ
− = θ − θ − θ + θ = − (80)
Biến đổi ngược lại là:
s
q q
s
dd
i cos sin i
sin cos ii
    θ θ
=     
− θ θ          
(81)
Tương ứng, phép biến đổi ngược có thể biểu diễn bằng:
js s
q d q di ji (i ji )e
θ
− = − (82)
23
23
qsqs
ds ds
d
q
as
bs
cs
θ
Hệ số θje có thể xem là toán tử quay. Vec tơ nào nhân với nó đều sẽ quay đi một góc θ. 
Như vậy, phương trình (80) chỉ ra rằng để chuyển các biến qd cố định thành các biến 
qd quay ta cần quay các thành phần của nó đi một góc -θ. Việc lựa chọn tốc độ quay 
và góc ban đầu θ0 = θ(0) phụ thuộc vào cách đơn giản hoá phương trình hay vào việc 
chọn lựa công thức thích hợp cho ứng dụng mà ta đang xét. Ngoài hệ cố định có tốc 
độ quay ω = 0, người ta còn dùng hệ qd quay đồng bộ với ω = ωe và hệ qd quay với tốc 
độ bằng tốc độ của roto.
Bây giờ ta sẽ xét bản chất của các thành phần qd khi chọn ω = ωe. Ta sẽ dùng chỉ 
số e để chỉ những biến trong hệ qd quay này nhằm phân biệt nó với các biến trong hệ 
qd cố định có chỉ số s và chú ý là tốc độ quay đồng bộ ωe = const. Lúc đó ta có:
)0(t)0(dt)t( eee
t
0
ee θ+ω=θ+ω=θ ∫ (83)
Vec tơ không gian i
r
trong hệ toạ độ qd mới là:
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
e e e ee
e
j t (0) j t (0)j( t )e e s s
q d q d m
j (0)
m m e m e
(i ji ) (i ji )e I e e
I e I cos (0) jI sin (0)
− ω + θ − ω + θω + ϕ
ϕ − θ
− = − =
= = ϕ − θ + ϕ − θ
(84)
Vì ϕ và θe(0) là hằng số nên giá trị eqi và eqi trong hệ trục qd quay đồng bộ là cố định. 
Nếu ban đầu (t = 0) ta chọn trục q của hệ trục qd quay đồng bộ trùng với trục của dây 
quấn pha a thì θe(0) = 0. Trong trường hợp đó, các phương trình (77) và (84) có thể 
biểu diễn theo cách sau:
e ej t j ts s e e
q d a q di i ji 2I e (i ji )e
− ω − ω
= − = = −
r & (85)
hay: e eq d a(i ji ) 2I− = & (86)
Phương trình (86) chỉ ra rằng các thành phần q và d trong hệ trục quay đồng bộ cũng 
giống như các phần thực và phần ảo của giá trị biên độ của dòng điện pha a. Phép 
biến đổi đầy đủ từ hệ cố định qd0 sang hệ quay qd0 với thành phần thứ tự không 
được đưa vào để trọn vẹn là:
s
qq
s
d d
0 0
ii cos sin 0
i sin cos 0 i
i 0 0 1 i
    θ − θ     
= θ θ               
(87)
Trong đó θ = ωt + θ(0). Biểu diễn dưới dạng ma trận ta có:
s
qd0 qd0i T iθ     =      (88)
Theo các dòng điện ban đầu abc:
s
qd0 qd0 abci T T iθ       =        (89)
Thay sqd0T Tθ       bằng qd0T   ta có:
qd0 qd0 abci T i     =      (90)
Thực hiện phép nhân ma trận và rút gọn ta có:
24
24
qd0
2 4cos cos cos
3 3
2 2 4T sin sin sin
3 3 3
1 1 1
2 2 2
pi pi    θ θ − θ −        
pi pi      = θ θ − θ −             
(91)
Phép biến đổi ngược cho bởi:
1
qd0
cos sin 1
2 2cos sin 1T 3 3
4 4cos sin 1
3 3
−
θ θ  pi pi    θ − θ −     =        pi pi    θ − θ −        
(92)
Cũng như với sqd0T   , phép biến đổi qd0T   không đồng nhất bởi vì Tqd0T   ≠
1
qd0T
−   , nghĩa là biến đổi không bất biến công suất. Ta đưa công suất tổng tức thời 
vào mạch 3 pha tính theo các đại lượng abc rồi sau đó biến đổi thành các đại lượng 
qd0:
ccbbaaabc iuiuiup ++=
















=
c
b
a
T
c
b
a
i
i
i
u
u
u
(93)
T
q q
1 1
qd0 d qd0 d
0 0
u i
T u T i
u i
− −
               =                      
(94)
qT 11
q d 0 qd0 qd0 d
o
i
u u u T T i
i
−
−
       =            
(95)
Như vậy:
T 11
qd0 qd0
3 0 0
2
3T T 0 0
2
10 0
2
−
−
          =          
(96)
Kết quả:
abc q q d d 0 0
3 1p (u i u i ) u i
2 3
= + + (97)
25
25